Matricea Hilbert

În algebra liniară , matricea Hilbert (introdusă de David Hilbert în 1894 ) este o matrice pătrată H cu intrări:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}),i,j=1,2,3,...,n

De exemplu, o matrice Hilbert 5×5 este:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 }{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

Matricea Hilbert poate fi văzută ca fiind obținută din integrale:

H_{{ij}}=\int _{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

adică ca pe matricea Gram pentru puterile lui x . Apare la aproximarea funcțiilor prin polinoame prin metoda celor mai mici pătrate .

Matricele Hilbert sunt un exemplu standard de matrici prost condiționate , ceea ce le face dificil de calculat cu metode instabile din punct de vedere computațional . De exemplu, numărul condiției relativ la norma - pentru matricea de mai sus este 4,8 · 10 5 . $\left\|\cdot \right\|_{2}$

Istorie

Hilbert (1894) a introdus matricea Hilbert în timp ce studia următoarea întrebare: „Să presupunem că I = [ a , b ] este un interval real. Este atunci posibil să găsim un polinom P diferit de zero cu coeficienți întregi astfel încât integrala

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

ar fi mai mic decât orice număr dat ε > 0?” Pentru a răspunde la această întrebare, Hilbert a derivat o formulă exactă pentru determinantul matricelor Hilbert și a studiat asimptoticele acestora. A ajuns la concluzia că răspunsul este pozitiv dacă lungimea intervalului b − a < 4 .

Proprietăți

Matricea Hilbert este o matrice definită pozitivă simetrică . Mai mult, matricea Hilbert este o matrice complet pozitivă .

Matricea Hilbert este un exemplu de matrice Hankel .

Determinantul matricei Hilbert poate fi exprimat explicit, ca un caz special al determinantului Cauchy . Determinantul unei matrice Hilbert n × n este

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \over {c_{{2n}}}},

Unde

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.

Hilbert a observat deja faptul curios că determinantul matricei Hilbert este reciproca unui număr întreg (vezi secvența A005249 în OEIS ). Rezultă din egalitate

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \alege [i/2]}.

Folosind formula Stirling, putem stabili următorul rezultat asimptotic:

\det(H)\approx a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

unde a n converge la o constantă la , unde A este constanta Glaisher-Kinkelin . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\aproximativ 0,6450$ $n\rightarrow\infty$

Matricea inversă matricei Hilbert poate fi exprimată explicit în termeni de coeficienți binomi :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \alegeți nj}{n+j -1 \alegeți ni}{i+j-2 \alegeți i-1}^{2}

unde n este ordinul matricei. Astfel, elementele matricei inverse sunt numere întregi. $H^{{-1}}$

Numărul de condiție al unei matrice Hilbert n × n crește cu . $O((1+{\sqrt {2}})^{{4n}}/{\sqrt {n}})$

Vezi și

Contribuția lui David Hilbert la știință
spatii	Spațiul Hilbert Spațiul pre-Hilbert Cărămidă Gilbert
axiomatica	axiomatica lui Hilbert
Teoreme	Teorema lui Hilbert 90 Teorema de bază a lui Hilbert Teorema nulă a lui Hilbert Teorema Hilbert-Schmidt
Operatori	Transformarea Hilbert operator Hilbert-Schmidt
Relativitatea generală	Ecuații Einstein-Hilbert „ Hilbert și ecuațiile câmpului gravitațional ”
Alte	Probleme Hilbert curba Hilbert matricea Hilbert Problema Hilbert-Arnold Seria Hilbert și polinomul Hilbert Paradoxul „Grand Hotel”

Link -uri

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms , Acta Mathematica (Springer Olanda) . — T. 18: 155–159, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02418278 . Retipărit în Hilbert, David. articolul 21 // Lucrări adunate (neopr.) . - T. II.
Beckermann, Bernard. Numărul de condiție al matricelor reale Vandermonde, Krylov și Hankel definite pozitive // Numerische Mathematik : jurnal. - 2000. - Vol. 85 , nr. 4 . - P. 553-577 . - doi : 10.1007/PL00005392 .
Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix // American Mathematical Monthly : jurnal . - 1983. - Vol. 90 , nr. 5 . - P. 301-312 . - doi : 10.2307/2975779 . — .
Todd, John. The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : journal. - 1954. - Vol. 39 . - P. 109-116 .
Wilf, H.S. Secțiuni finite ale unor inegalități clasice . - Heidelberg: Springer, 1970. - ISBN 3-540-04809-X .