Matricea iacobiană

Matricea Jacobi a unei mapări într-un punct descrie partea liniară principală a unei mapări arbitrare într-un punct . ${\mathbf {u}}\colon \mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R} ^{m}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\mathbf {u}$ $X$

Definiție

Să fie dată o mapare care are la un moment dat toate derivatele parțiale de ordinul întâi. Matricea compusă din derivatele parțiale ale acestor funcții în punct se numește matricea Jacobi a sistemului dat de funcții. $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m}, \mathbf {u} =(u_{1},\ldots, u_{m}) ^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}),i=1,\ldots,m,$ $X$ $J$ $X$

J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}} (x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\ parțial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\ parțial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

Cu alte cuvinte, matricea Jacobi este derivata unei funcții vectoriale a unui argument vectorial.

Definiții înrudite

Dacă , atunci determinantul matricei Jacobi se numește determinant Jacobi sau jacobian al sistemului de funcții . $m=n$ $|J|$ $u_{1},\ldots ,u_{n}$
O mapare se numește nedegenerată dacă matricea sa jacobiană are rangul maxim posibil ; acesta este, ${\mathrm {rang}}\,J=\min(m,n)$

Proprietăți

Dacă toate sunt diferențiabile continuu într-un cartier , atunci $tu_{i}$ ${\mathbf {x}}_{0}$ ${\mathbf {u}}(x)={\mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{ 0})+o(|{\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{0}|)$
Fie mapările diferențiabile și matricele lor Jacobi. Atunci matricea Jacobi a compoziției mapărilor este egală cu produsul matricelor lor Jacobi ( proprietatea functorială ): $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{m}, ~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\la \mathbb {R} ^ {k}$ $J_{\varphi },J_{\psi }$ $J_{{\psi \circ \varphi }}(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

Vezi și

iacobian

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare