Măsura radonului

Măsura Radonului este o măsură pe sigma-algebra seturilor Borel pe un spațiu topologic Hausdorff X care este finit local și regulat intern.

Definiție

Fie μ o măsură pe sigma-algebra multimilor Borel într-un spațiu topologic Hausdorff X .

Se spune că o măsură μ este intrinsec regulată dacă, pentru orice mulțime Borel B , μ ( B ) este aceeași cu suprema μ ( K ) pentru submulțimile compacte K din B.

O măsură μ se spune că este regulată exterioară dacă, pentru orice mulțime Borel B , μ ( B ) este infimul lui μ ( U ) peste toate mulțimile deschise U care conțin B.

O măsură μ se spune a fi local finită dacă fiecare punct din X are o vecinătate U pentru care valoarea μ ( U ) este finită. (Dacă μ este finit local, atunci μ este finit pe mulțimi compacte.)

O măsură μ se numește măsură Radon dacă este regulată intern și finită local.

Notă

Definiția poate fi generalizată la spații non-Hausdorff prin înlocuirea cuvintelor „compact” cu „închis și compact” peste tot, dar această generalizare nu are încă aplicații.

Exemple

Exemple de măsuri de radon:

Măsură Lebesgue pe spațiul euclidian (restrânsă la submulțimile Borel);
Măsură Haar pe orice grup topologic compact local;
Măsură Dirac pe orice spațiu topologic;
Măsuri gaussiene pe un spațiu euclidian cu sigma-algebra lui Borel; $\mathbb {R} ^{n}$
Măsuri de probabilitate pe σ-algebra mulțimilor Borel ale oricărui spațiu polonez. Acest exemplu nu numai că generalizează exemplul anterior, dar include multe măsuri pe spații compacte local, cum ar fi măsura Wiener asupra spațiului de funcții continue reale pe intervalul [0,1].

Următoarele măsuri nu sunt măsuri de radon:

O măsură de numărare pe un spațiu euclidian nu este o măsură Radon, deoarece nu este finită local.
Spațiul ordinalelor până la primul ordinal nenumărabil cu topologie de ordine este un spațiu topologic compact. O măsură care este 1 pe orice set care conține un set închis nenumărat și 0 în caz contrar, este o măsură Borel, dar nu o măsură Radon.
Fie X mulțimea [0,1) echipată cu topologia săgeată . Măsura Lebesgue pe acest spațiu topologic nu este o măsură Radon, deoarece nu este regulată în interior. Acesta din urmă rezultă din faptul că seturile compacte din această topologie sunt cel mult numărabile.
Măsura standard a unui produs cu un număr nenumărabil nu este o măsură Radon, deoarece orice set compact este conținut în produsul unui număr nenumărabil de intervale închise, fiecare măsură fiind mai mică de 1. $(0,1)^{\kappa )$ $\kappa$

Proprietăți

În cele ce urmează , X denotă un spațiu topologic compact local , μ măsura Radon pe . $X$

Măsura μ definește o funcțională liniară pe spațiul tuturor funcțiilor finite de pe X , adică funcții continue cu suport compact: $I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu$

În plus:

Această funcționalitate definește complet măsura în sine.
Această funcționalitate este continuă și pozitivă. Pozitiv înseamnă că dacă . $I(f)\geqslant 0$ $f\geqslant 0$

metrica radonului

Conului tuturor măsurătorilor radonului i se poate da structura unui spațiu metric complet . Distanța dintre două măsuri de radon este definită după cum urmează: $X$ $\mu _{1},\mu _{2)$

\rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}- \mu _{2})(x)\right\},

unde supremul este preluat de toate funcţiile continue $f\colon X\la [-1,1]$

Această metrică se numește metrica radonului . Convergența măsurilor în metrica Radon este uneori numită convergență puternică .

Spațiul probabilității radonului măsoară pe , $X$

{\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},

nu este compactă secvenţial în raport cu această metrică, adică nu este garantat că orice succesiune de măsuri de probabilitate va avea o subsecvenţă care converge.

Convergența în metrica radonului implică o convergență slabă a măsurilor:

\rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu

Reversul nu este adevărat în general.

Integrare

Definiția integralei pentru o clasă mai largă de funcții (cu suport nu neapărat compact) se realizează în mai mulți pași:

Integrala superioară μ*(g) a funcțiilor pozitive (reale) semicontinue inferioare g este definită ca supremul (posibil infinit) al numerelor pozitive μ ( h ) pentru funcțiile continue finite h ≤ g .
Integrala superioară μ*( f ) pentru o funcție arbitrară cu valoare reală pozitivă f este definită ca infimumul integralelor superioare μ*(g) pentru funcțiile semi-continue inferioare g ≥ f .
Spațiul vectorial F = F ( Х ; μ ) este definit ca spațiul tuturor funcțiilor f pe X pentru care integrala superioară μ*(|f|) este finită; Integrala superioară cu valoare absolută definește un seminorm pe F și F este un spațiu complet în raport cu topologia definită de acest seminorm.
Spațiul L 1 ( X , μ ) al funcțiilor integrabile este definit ca închiderea în F a spațiului funcțiilor finite continue.
Integrala pentru funcții din L 1 ( X , μ ) se determină prin extensie prin continuitate (după verificarea faptului că μ este continuă în raport cu topologia lui L 1 ( X , μ )).
Măsura mulțimii este definită ca integrala (când există) a funcției de indicator al mulțimii.

Se poate observa că aceste operații dau o teorie identică cu cea care începe cu măsura Radonului, definită ca o funcție care atribuie un număr fiecărui set Borel din X .

Literatură

Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
Dieudonné, Jean (1970), Tratat de analiză , voi. 2 Presa Academică
Hewitt, Edwin & Stromberg, Karl (1965), Analiza reală și abstractă , Springer-Verlag .
König, Heinz (1997), Măsurarea și integrarea: un curs avansat în proceduri și aplicații de bază , New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Măsurile radonului pe spații topologice arbitrare și măsuri cilindrice , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Link -uri

R.A. Minlos (2001), Măsurarea radonului , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4