Metoda lui Godunov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 aprilie 2016; verificările necesită 4 modificări .

Metoda Godunov este o implementare a schemelor de contorizare care poate fi utilizată pentru a calcula debite gazodinamice cu discontinuități în parametrii din domeniul computațional. Această schemă a fost propusă de S. K. Godunov în 1959. Metoda Godunov este o variantă a metodei volumului de control . Debitele prin feţele laterale sunt determinate din soluţionarea problemei decăderii unei discontinuităţi arbitrare . Să explicăm cu un exemplu.

Exemplu

Luați în considerare construcția metodei numerice Godunov de ordinul întâi de precizie utilizând exemplul de rezolvare a sistemului de ecuații ale dinamicii gazelor instabile unidimensionale, scris în formă divergentă :

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial \rho u}{\partial x))&=&0 \\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t))+{\frac {\partial (p+\rho u^{2})}{\partial x))&=&0\\{ \frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial u(E+p)}{\partial x}}&=&0\end{array}}\end{cases}}

Aici:

$\rho$ - densitate
$p$ - presiune
$u$ - viteza
$E$ este energia totală pe unitatea de volum

Observa asta:

Prima ecuație exprimă legea conservării masei
A doua ecuație exprimă legea conservării impulsului
A treia ecuație exprimă legea conservării energiei $E=e+{\frac {\rho u^{2}}{2}}$ $e=\rho \varepsilon ,$ $\varepsilon =\varepsilon (p,\rho ),$ $\varepsilon ={\frac {1}{\gamma -1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}$ , unde este exponentul adiabatic $\gamma$

Forma diferențială

Sistemul inițial poate fi scris într-o formă mai compactă:

{\frac {\partial q}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial x))=0

Unde:

$q$ este vectorul variabilelor conservative $q=\left({\begin{array}{c}\rho \\\rho \,u\\E\end{array}}\right)$
$f$ este vectorul fluxului $f=\left({\begin{array}{c}\rho \,u\\p+\rho \,u^{2}\\u(E+p)\end{array}}\right)$

Forma integrală

În loc de forma diferențială a ecuațiilor, derivăm o nouă formă integrală a ecuațiilor, mai potrivită pentru reprezentarea unei soluții slabe . Aici, o soluție slabă este o funcție generalizată definită de egalități integrale obținute din ecuațiile diferențiale corespunzătoare și din condițiile inițiale ale problemei. Pentru a face acest lucru, selectăm un anumit volum de control și integrăm sistemul de ecuații peste acest volum. Aplicăm teorema generalizată Stokes integralei divergenței obținute (pentru două variabile independente, aceasta va fi teorema lui Green și formula Ostrogradsky-Gauss în spațiul tridimensional). În acest caz, introducem direcția de ocolire a conturului în sens invers acelor de ceasornic . $\Omega$

Separat, luând în considerare ecuația de continuitate , obținem:

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\right)d \,xd\,t=\oint \limits _{{\partial \Omega }}\rho dx-\rho udt

Pentru întregul sistem de ecuații

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)d\,xd \,t=0\Leftrightarrow \oint \limits _{{\partial \Omega }}(qdx-fdt)=0

Scrierea sistemului în formă extinsă:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&= &0\\\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\ oint \limits _{{\partial \Omega }}(E\;d\,xu(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}

Aproximare

Se face trecerea de la forma diferențială de scriere a sistemului original de ecuații la forma integrală. Forma integrală este scrisă ca egalitate cu zero a integralelor peste contur (limita volumului de control selectat) din vectorii variabilelor conservative și fluxurilor. Reprezentăm integrala de contur ca suma integralelor pe secțiuni (intervale) 1-2 , 2-3 , 3-4 , 4-1 ale volumului de control din figură (care nu este încă disponibilă) și pe fiecare secțiune aproximăm integrala folosind metoda dreptunghiurilor ca produs al integrandului din centrul intervalului cu lungimea intervalului de integrare:

{\begin{array}{c}q_{{12}}\cdot (x_{{2}}-x_{{1}})-f_{{12}}\cdot (t_{{2}}-t_ {{1}})+\\\qquad q_{{23}}\cdot (x_{{3}}-x_{{2}})-f_{{23}}\cdot (t_{{3}} -t_{{2}})+\\\qquad \qquad q_{{34}}\cdot (x_{{4}}-x_{{3}})-f_{{34}}\cdot (t_{ {4}}-t_{{3}})+\\\qquad \qquad \qquad q_{{41}}\cdot (x_{{1}}-x_{{4}})-f_{{41} }\cdot (t_{{1}}-t_{{4}})=0\end{array}}\Rightarrow q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t} {\Delta x}}(f_{{23}}-f_{{{41}})

luând în considerare egalitățile care sunt valabile pentru volumul de control construit pe grila de calcul carteziană:

$x_{3}-x_{2}=0$
$x_{1}-x_{4}=0$
$t_{2}-t_{1}=0$
$t_{4}-t_{3}=0$

În plus:

$x_{2}-x_{1}=\Delta x$
$x_{4}-x_{3}=-\Delta x$
$t_{3}-t_{2}=\Delta t$
$t_{1}-t_{4}=-\Delta t$

găsiți valorile vectorului variabilelor conservatoare pe intervalul 3-4 aparținând noului strat:

q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{{23}}-f_{{{41}})\qquad \Rightarrow \qquad q_ {{j}}^{{n+1}}=q_{{j}}^{{n}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{j+{\frac { 1}{2))))-f_{{j-{\frac {1}{2)))))

În acest caz, valorile cu indici semiîntregi denotă fluxurile de valori stocate prin limitele celulei de calcul în timpul sau fluxurile prin fețele laterale ( 2-3 și 4-1 ) ale controlului volum. Dacă viteza de curgere este direcționată în aceeași direcție cu normala exterioară față de fața laterală, atunci debitul este negativ , adică curge din volumul de control și invers.

Extins:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\rho _{{j}}^{{n+1}}&=&\rho _{{j}}^{{n}}-{ \frac {\Delta t}{\Delta x))((\rho u)_{{j+{\frac {1}{2))))-(\rho u)_{{j-{\frac { 1}{2}}}})\\(\rho u)_{{j}}^{{n+1}}&=&(\rho u)_{{j}}^{{n}} -{\frac {\Delta t}{\Delta x))((p+\rho u^{2})_{{j+{\frac {1}{2))))-(p+\rho u^{ 2})_{{j-{\frac {1}{2)))))\\E_{{j}}^{{n+1}}&=&E_{{j}}^{{n} }-{\frac {\Delta t}{\Delta x))((u(p+E))_{{j+{\frac {1}{2))))-(u(p+E)) _{{j-{\frac {1}{2}}}})\end{array}}\end{cases}}

Curgerile prin fețele laterale și sunt determinate din soluționarea problemei decăderii unei discontinuități arbitrare . $f_{{j+{\frac {1}{2))))$ $f_{{j-{\frac {1}{2))))$

Declarație de condiții la limită

O caracteristică a stabilirii și implementării condițiilor limită în metodele volumului de control (inclusiv metoda Godunov) este necesitatea de a specifica sau calcula debite prin fața volumului de control care coincide cu limita domeniului de calcul. Pentru prima și ultima celulă ale stratului de calcul, este necesar să se determine masa, impulsul și energia fluxurilor prin fețe.

Adesea, celulele de calcul „virtuale” sunt introduse pentru a seta condițiile limită. Pentru a face acest lucru, mai este introdusă o celulă suplimentară în stânga primei celule și în dreapta ultimei celule, în fiecare dintre care astfel de parametri de curgere sunt specificați astfel încât debitele necesare să fie modelate pe fața laterală la rezolvarea lui Riemann. problema .

Tipuri de proceduri de delimitare

Toate ipotezele sunt făcute în raport cu marginea din stânga

Perete rigid rigid

Condiția principală este absența curgerii debitului de masă de gaz prin graniță, care corespunde condiției de viteză de curgere zero pe fața dată .În celula virtuală, trebuie apoi setați următorii parametri de debit: $U=0$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &-u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

"w" - parametrii într-o celulă virtuală
„1” - parametrii din prima celulă

Parametrii de curgere obținuți în problema decăderii discontinuității pe fața laterală realizează un flux de masă zero prin această față.

Rezervor de capacitate nelimitată

Din punct de vedere matematic, acest caz corespunde setării valorii presiunii pe față . Debitul de intrare poate fi determinat prin formula ${\tilde {P}}$

{\tilde {U}}=u_{1}+{\frac {{\tilde {P}}-p_{1}}{c_{1}}}

în care:

dacă , atunci ${\tilde {P}}>p_{1}$ $c_{1}={\frac {{\sqrt {\rho _{1}\cdot ((\gamma +1){\tilde {P))+(\gamma +1)p_{1})))} {2}}$
dacă , atunci ${\tilde {P}}<p_{1}$ $c_{1}={\frac {a_{1}\rho _{1}(\gamma -1)\left(1-{\frac {P}{p_{1))}\right)}{2\ gamma \left(1-\left({\frac {P}{p_{1))}\right)^{({\frac {\gamma -1}{2\gamma ))))\right)))$

Flux supersonic afluent

Fie ca sublinierea să desemneze parametrii fluxului supersonic, apoi dacă , atunci ${\bar {U}}>{\bar {c}}={\sqrt {\frac {\gamma {\bar {P}}}{\bar {\rho }}}}$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&{\bar {P}}\\\rho _{w}&=&{\bar {\rho }}\\ u_{w}&=&{\bar {U}}\\\end{array}}\end{cases}}

Evadarea fluxului supersonic

În acest caz, în celula virtuală sunt setați următorii parametri de flux:

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

Selectarea opțiunilor de plasă

Etapa grilei de calcul de-a lungul coordonatei de timp în metoda Godunov poate fi determinată din criteriul de stabilitate Courant-Friedrichs-Levy . În ceea ce privește schema luată în considerare, această condiție este formulată după cum urmează:

Undele care apar în problema decăderii unei discontinuități arbitrare la punctul nu trebuie să ajungă în timp pe fețele laterale și să distorsioneze soluția autosimilară . $j+{\frac {1}{2}}$ $\Delta t$ $j+{\frac {3}{2}}$ $j-{\frac {1}{2}}$

Implementarea acestui principiu conduce la următoarele relații:

\Delta t_{j}=r{\frac {\Delta x_{j}}{\max \left(|D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|, |D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|\dreapta)))

Unde

$D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}$ este valoarea vitezei undei din stânga în declinul discontinuității;
$D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{R}}$ este valoarea vitezei undei celei din dreapta în declinul discontinuității;

Ca urmare, luăm:

\Delta t=\min _{j}\Delta t_{j}

Literatură

Rezolvarea numerică a problemelor multidimensionale de dinamică a gazelor. Album / editor Godunov S. K. . — M .: Nauka, 1976. — 400 p. - 6500 de exemplare.
Samarsky A.A., Popov Yu.P. Metode diferite pentru rezolvarea problemelor de dinamică a gazelor. - M . : Nauka, 1992. - 2470 exemplare.

Link -uri

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă