Transformarea Z modificată

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 martie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Transformarea Z modificată (deplasată) este un caz mai general al transformării Z obișnuite , care conține o întârziere ideală care este un multiplu al frecvenței de eșantionare . Scris matematic ca:

F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty}f(kT+m)z^{-k)

Unde

T - perioada de prelevare
m ("parametru de compensare") - parte a perioadei de eșantionare $[0,T).$

Transformarea Z modificată este utilizată pe scară largă în teoria controlului, în special, pentru modelarea mai precisă a sistemelor cu întârzieri.

Proprietăți

Dacă parametrul offset m este fix, atunci toate proprietățile transformării z modificate sunt aceleași cu cele ale transformării Z normale.

Linearitate

Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Timeshift

Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Slăbire

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Înmulțirea unui argument

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Teorema valorii finite

\lim _{k=\infty}f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).

Tabelul transformărilor de bază

f(t)	F(z, m)
1 (t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -at	${\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT)})$
1-e- la	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Exemplu

Lăsați originalul să convertească . Apoi: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\stânga[\cos \left(\omega\left(kT+m\dreapta)\right)\right]

F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT) \dreapta]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Dacă , atunci coincide cu transformarea Z: $m=0$ $F(z,m)$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

Procesare digitală a semnalului
Teorie	Semnal semnal discret teorema lui Kotelnikov Teoria estimărilor statistice Teoria detectării semnalului
Subsecțiuni	Procesare digitală a semnalului audio Teoria controlului automat Procesarea digitală a imaginii Procesarea vorbirii Procesarea statistică a semnalului
Tehnici	Transformată Fourier discretă (DFT) Transformată Fourier discretă în timp (DTFT) impuls Transformare biliniară consistent Transformarea Z Transformarea Z modificată
Prelevarea de probe	Supereșantionare subeșantionare Reducerea rezoluției Creșterea rezoluției Alianta Filtru Frecvența de eșantionare frecvența Nyquist