Inel non-asociativ

Un inel non-asociativ ( nu neapărat un inel asociativ ) este o structură algebrică generală , o generalizare a conceptului de inel , este definită într-un mod similar cu un inel, dar asociativitatea înmulțirii nu este necesară. Uneori, „ring” este înțeles ca fiind această generalizare a acestuia, dar majoritatea surselor de algebră includ în definiția termenului „ring” condiția ca înmulțirea să fie asociativă .

Definiție

Un inel non-asociativ este o mulțime pe care sunt date două operații binare : și (numite adunare și înmulțire), cu următoarele proprietăți care sunt valabile pentru orice : $R$ $+$ $\times$ $a,b,c\in R$

$a + b = b + a$ — comutativitatea adunării;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - asociativitatea adunării;
$\există 0 \în R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - existenţa unui element neutru în raport cu adăugarea;
$\forall a\in R\;\există b\în R\left(a+b=b+a=0\right)$ - existenta elementului opus fata de adunare;
$\left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{ matrice}\dreapta.$ - distributivitatea .

Cu alte cuvinte, un inel non-asociativ este o algebră universală , astfel încât algebra este un grup abelian și operația este distributivă la stânga și la dreapta în raport cu . $\langle R,+,\times ,0\rangle$ $\langle R,+\rangle$ $\times$ $+$

Un inel în care operația de înmulțire are proprietatea de alternativitate se numește alternativ .

Proprietăți

Chiar dacă inelul are o unitate , conceptul obișnuit al unui element inversabil nu funcționează : inversul poate exista pe o parte și poate fi absent pe cealaltă, poate exista pe ambele părți, dar poate fi diferit sau poate exista diverse unilaterale. inversă unui element. De asemenea, prezența oricăror inverse nu garantează că elementul nu împarte zero și nu este păstrat atunci când este înmulțit.

La fel ca inelele obișnuiteun inel non-asociativ poate fi considerat ca o algebră non-asociativă peste inelul numerelor întregi.

Exemple

Algebrele (nu neapărat asociative) peste un câmp sau peste un inel sunt inele neasociative.

Inelele non-asociative sunt algebre Lie și algebre Jordan (ținând cont de definiția ca algebre peste inelul numerelor întregi).

Semicâmpul este o structură de diviziune în care elementele nenule formează un cvasigrup de multiplicare și este, de asemenea, un inel neasociativ.

Link -uri

L. A. Bokut. Inele și algebre non-asociative // Mathematical Encyclopedia . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985. (Rusă)