Nonamino

Nonamino (sau 9-mino ) - poliomino cu nouă celule , sau poligoane , compuse din 9 pătrate egale legate prin laturi [1] [2] .

Dacă nu facem distincție între figurile obținute între ele prin rotații și reflexii, atunci există 1285 nonomino [1] [2] [3] . Dacă suntem de acord să distingem reflexiile în oglindă, numărul de nonamino crește la 2500 [4] , iar dacă distingem între rotații, atunci până la 9910 [5] [6] [7] .

Subseturi

37 din 1285 de nonamino conțin găuri [7] [8] . Unul dintre nonamino conține o gaură în formă de domino ; poliominoele mai mici au doar găuri unice.

Doar un nonomino este un poligon, ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt egale cu una (monominoele au această proprietate înaintea nonominoelor, X este pentomino și unul dintre 369 octomino ) [9] [10] .

Simetrii

Cele 1285 nonomino bilaterale pot fi împărțite în mai multe submulți în funcție de grupurile lor de simetrie [6] :

• 1196 nonamino sunt asimetrici - grupul lor de simetrie este banal [11] ;
• 38 nonamino au o singură axă de simetrie , paralelă cu marginile parchetului pătrat, iar grupul lor de simetrie este format din două elemente - transformare și reflexie identice [12] ;

• 26 de nonamino au o singură axă diagonală de simetrie, iar grupul lor de simetrie constă tot din două elemente [13] ;

• 19 nonamino au simetrie centrală de ordinul doi, iar grupul lor de simetrie este format din două elemente - transformare și rotație identice cu 180° [14] ;

• 4 nonomino-uri au două axe de simetrie reciproc perpendiculare, paralele cu laturile poliomino-urilor; grupul lor de simetrie este format din patru elemente — o transformare identică, două reflexii și o rotație de 180° [15] ;

• 2 nonominoe au patru axe de simetrie (două paralele cu laturile poliominoelor și două diagonale) și o simetrie centrală de ordinul al patrulea. Grupul lor de simetrie este format din 8 elemente [16] .

Spre deosebire de octamino , nu există figuri printre nonamino cu simetrie centrală de ordinul 4 sau figuri cu două axe diagonale de simetrie.

Numărul de nonomino cu două fețe sau libere (figuri care pot fi rotite și răsturnate) este astfel

numărul de nonomino unilateral (figuri care pot fi rotite, dar nu răsturnate) poate fi găsit prin formula

și numărul de nonomino fix (cifre care nu pot fi nici rotite, nici răsturnate) - conform formulei

Placare plană

1050 de nonamino cu două fețe (toate cu excepția celor 235, care includ 37 de nonamino „cu scurgeri”) acoperă planul [17] [18] [19] ; 1048 dintre acești 1050 nonomino fie satisfac criteriul lui Conway singuri, fie sunt capabili să formeze un „petic” din două copii ale nonomino care satisface criteriul lui Conway. Cele două nonomino excepționale care acoperă avionul în ciuda faptului că nu au eșuat testul lui Conway sunt prezentate în figura din dreapta; 9 este cel mai mic număr pentru care există astfel de excepții [20] .

Efectuarea configurațiilor din nonamino

37 de nonomino conțin „găuri”, așa că din toate cele 1285 de nonomino nu poate fi pliat niciun dreptunghi [1] . Cu toate acestea, în 1972-1973. D. Bird (David Bird) a construit mai multe configurații simetrice folosind toate cele 1285 nonomino; două construcții se încadrează într-un pătrat de 109  ×  109 [2] [21] . În 2005, Peter Esser a construit din toate cele 1285 de nonomino cinci dreptunghiuri congruente de 17  ×  137, fiecare dintre acestea conținând 12 găuri aranjate simetric cu o suprafață totală de 16 celule [22] ; a construit, de asemenea, 16 dreptunghiuri 18  ×  39 din 1248 nonominoe pur și simplu conectate [22] .  Patrick Hamlyn a construit 48 dreptunghiuri de 18 × 13 din 1248 nonominos conectate simplu  ; nu este exclusă posibilitatea construirii a 96 dreptunghiuri identice [22] .

Pseudononamino

Pseudopoliomino este o generalizare a poliomino, un set de câmpuri ale unei table de șah infinite pe care regele le poate ocoli [1] . Există 118.133 pseudononamino cu două fețe [23] , 235.456 pseudononamino cu o singură față [24] și 940.982 pseudononamino fix [25] .

Note

1. ↑ 1 2 3 4 Golomb, 1975 .
2. ↑ 1 2 3 Golomb, 1994 .
3. ↑ Secvența A000105 în OEIS
4. ↑ Secvența OEIS A000988 _
5. ↑ Secvența A001168 în OEIS
6. ↑ 12 Redelmeier , 1981 .
7. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Polyomino  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
8. ↑ Secvența OEIS A001419 _
9. ↑ Col. George Sicherman. Catalogul Poliominoilor Unitari (29 iulie 2014). Consultat la 15 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 17 noiembrie 2015. (nedefinit)
10. ↑ Secvența A245620 în OEIS
11. ↑ Secvența OEIS A006749 _
12. ↑ Secvența OEIS A006746 _
13. ↑ Secvența OEIS A006748 _
14. ↑ Secvența OEIS A006747 _
15. ↑ Secvența OEIS A056877 _
16. ↑ Secvența OEIS A142886 _
17. ↑ Rawsthorne, 1988 .
18. ↑ Joseph Myers. Placi poliomino, polihex și poliamond . Consultat la 15 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 17 noiembrie 2015. (nedefinit)
19. ↑ Secvențe OEIS A054359 , A054360 , A054361 _
20. ↑ Rhoads, 2005 .
21. ↑ David Bird's Polyomino Constructions . Paginile Poly. Consultat la 20 noiembrie 2015. Arhivat din original pe 4 martie 2016. (nedefinit)
22. ↑ 1 2 3 Poliominoe . Paginile Poly. Consultat la 20 noiembrie 2015. Arhivat din original la 14 mai 2015. (nedefinit)
23. ↑ Secvența OEIS A030222 _
24. ↑ Secvența OEIS A030233 _
25. ↑ Secvența OEIS A006770 _

Literatură

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. din engleza. V. Firsova. cuvânt înainte şi ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 p.
• Solomon W. Golomb . poliominoe. — Ed. a II-a. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• D. Hugh Redelmeier. Numărarea poliominoelor: încă un atac // Matematică discretă : jurnal. - 1981. - Vol. 36. - P. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Complexitatea de plasare a n -ominoelor mici ( n < 10)  // Matematică discretă: jurnal. - 1988. - Vol. 70.—P. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Placări plane prin poliominoe, polihexuri și poliamande // Journal of Computational and Applied Mathematics : journal. - 2005. - Vol. 174. - P. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .