Imagine (matematică)

Imaginea unei funcții este mulțimea tuturor valorilor pe care le oferă funcția.

Mai general, calculând valoarea unei anumite funcții pentru fiecare element dintr-un anumit subset al domeniului funcției, rezultă o mulțime numită „ imagine pentru funcție ”. În mod similar, imaginea inversă (sau preimaginea ) a unui subset dat al codomeniului unei funcții este setul tuturor elementelor domeniului care se mapează la elementele mulțimii . $f$ $A$ $A$ $f$ $B$ $f$ $B$

Imaginea și imaginea inversă pot fi definite și pentru relații binare generale , nu doar pentru funcții.

Definiție

Cuvântul „imagine” este folosit în trei moduri legate. În aceste definiții , este o funcție set - to-set . $f\coloan X\la Y$ $X$ $Y$

Imagine element

Dacă este un element al mulțimii , atunci imaginea elementului pentru funcție , notată cu [1] , este valoarea funcției pentru argument . $X$ $X$ $X$ $f$ $f(x)$ $f$ $X$

Subset imagine

Imaginea unei submulțimi pentru funcția , notată cu , este o submulțime a mulțimii , care poate fi definită folosind următoarea notație [2] : $A\subseteq X$ $f$ $fa]$ $Y$

f[A]=\{f(x)\mid x\in A\)

Dacă nu există riscul de confuzie, se scrie simplu ca . Această convenție este în general acceptată. Sensul dorit trebuie determinat din context. Acest lucru face din f [.] o funcție al cărei domeniu este gradul lui X (mulțimea tuturor submulților lui X ) și al cărei codomeniu este gradul lui Y. Vezi secțiunea § Notare . $fa]$ $fa)$

Imaginea funcției

Imaginea unei funcții este imaginea întregului domeniu de definiție , cunoscut și sub numele de domeniul funcției [3] .

Generalizare la relații binare

Dacă este o relație binară arbitrară pe X Y , atunci mulțimea se numește imaginea relației . Mulțimea se numește domeniul relației . $R$ $\times$ $\{y\in Y\|xRy,x\in X\)$ $R$ $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ $R$

Imagine inversă

Fie o funcție de la până la . Imaginea anterioară sau imaginea inversă a unui set pentru o funcție , notat cu , este un subset definit ca: $f$ $X$ $Y$ $B\subseteq Y$ $f$ $f^{-1}[B]$ $X$

f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.

Sunt posibile și alte denumiri, cum ar fi: [4] și . [5] $f^{-1}(B)$ $f^{-}(B)$

Reciprocul unui singleton , notat cu sau , se mai numește strat pentru sau set de nivel de element . Setul tuturor straturilor pentru elemente este o familie de subseturi indexate de elemente . $f^{-1}[\{y\}]$ $f^{-1}[y]$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

De exemplu, pentru o funcție, opusul va fi . Din nou, dacă nu există riscul de confuzie, acesta poate fi notat ca și poate fi considerat ca o funcție din mulțimea tuturor submulților (boolean) ale mulțimii în booleanul mulțimii . Notația nu trebuie confundată cu inversul lui , deși este în concordanță cu inversul obișnuit pentru bijecții prin faptul că retragerea pentru este imaginea pentru . $f(x) = x^2$ $\{4\)$ $\{-2,2\)$ $f^{-1}[B]$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $X$ $f^{-1}$ $B$ $f$ $B$ $f^{-1}$

Notație pentru imagine și imagine inversă

Notația tradițională folosită în secțiunile anterioare poate fi dificil de înțeles. O alternativă [6] este să specificați nume explicite pentru imaginea și preimaginea funcțiilor între booleeni:

Notație săgeată

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ pentru $f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\)$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ pentru $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\)$

Notație cu asterisc

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ în loc de $f^{\to )$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ în loc de ${\displaystyle f^{\leftarrow ))$

Altă terminologie

Notația alternativă folosită în logica matematică și teoria mulțimilor este [7] [8] . $fa]$ $f^{\prime \prime }A$
Unele cărți se referă la o imagine ca un domeniu de valoare , dar acest lucru ar trebui evitat deoarece termenul „domeniu de valoare” este utilizat pe scară largă pentru a se referi și la codomeniul unei funcții . $f$ $f$ $f$

Exemple

$f\colon \{1,2,3\}\la \{a,b,c,d\)$ definit ca $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ if }}x=1\\a,&{\mbox{ if }}x=2\\c, &{\mbox{ dacă }}x=3.\end{matrice}}\right.$ Imaginea setului {2, 3} pentru funcție este . Imaginea funcției este . Prototipul este . Prototipul setului este de asemenea . Prototipul unui set este setul gol . $f$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $f$ $\{a,c\)$ $A$ $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\)$ $\{a,b\}$ $\{1,2\}$ $\{b,d\)$ $\{\}$
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ definit ca . $f(x) = x^2$ Imaginea pentru funcție este , iar imaginea funcției este . Prototipul pentru este . Imaginea inversă a mulțimii pentru este mulțimea goală, deoarece numerele negative nu au rădăcini pătrate în mulțimea numerelor reale. $\{-2,3\)$ $f$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $f$ $\mathbf {R} ^{+)$ $\{4,9\}$ $f$ $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\)$ $N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\)$ $f$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ definit ca . $f(x,y)=x^{2}+y^{2)$ Straturile sunt cercuri concentrice în jurul originii , singurul punct al originii sau al setului gol, care este,saurespectiv. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $a=0$ $a<0$
Dacă este o varietate și este o proiecție canonică de la pachetul tangent la , atunci fibrele hărții sunt spațiile tangente pentru . Acesta este, de asemenea, un exemplu de spațiu fibros . $M$ $\pi :TM\la M$ $TM$ $M$ $\pi$ $T_{x}(M)$ $x \în M$
Un grup de factori este o imagine homomorfă.

Proprietăți

Contraexemple

Contraexemple bazate pe arătarea că această egalitate eșuează de obicei pentru unele legi: $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$

Caz general

Pentru orice funcție și toate submulțimile și , sunt valabile următoarele proprietăți: $f\coloan X\la Y$ $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$

Imagine	prototip
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (egal dacă , adică surjectiv) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $f$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (egal dacă injectiv) [9] [10] $f$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow\exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [unsprezece]	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [unsprezece]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [unsprezece]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [unsprezece]

De asemenea:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Pentru funcții multiple

Pentru funcții și cu submulțimi și , sunt valabile următoarele proprietăți: $f\coloan X\la Y$ $g\colon Y\la Z$ $A\subseteq X$ $C\subseteq Z$

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Mai multe subseturi ale unui domeniu sau codomeniu

Următoarele proprietăți sunt valabile pentru funcție și submulțimi și : $f\coloan X\la Y$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

Imagine	prototip
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (egal dacă injectiv [13] ) $f$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (egal dacă [13] este injectiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [unsprezece]
$f(A_{1}\triunghi A_{2})\supseteq f(A_{1})\triunghi f(A_{2})$ (egal dacă este injectiv) $f$	$f^{-1}(B_{1}\triunghi B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triunghi f^{-1}(B_{2})$

Rezultatele pentru imagini și preimagini ale intersecției ( boolean ) și algebrei de unire funcționează pentru orice colecție de submulțimi, nu doar perechi de subseturi:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Aici poate exista un set infinit, chiar nenumărat .) $S$

În ceea ce privește algebra submulțimii descrisă mai sus, funcția de mapare inversă este un homomorfism de rețea , în timp ce funcția de mapare este doar un homomorfism de rețea (adică, nu păstrează întotdeauna intersecțiile).

Vezi și

Bijecție, injecție și surjecție
Imagine (teoria categoriei)
Kernel (teoria mulțimilor)

Note

↑ Compendiu de simboluri matematice ? . Math Vault (1 martie 2020). Preluat la 28 august 2020. Arhivat din original la 6 decembrie 2020. (nedefinit)
↑ 5.4: La Funcții și Imagini/Preimagini ale seturi . Matematică LibreTexts (5 noiembrie 2019). Preluat la 28 august 2020. Arhivat din original la 27 octombrie 2020.
^ Weisstein , Eric W. Imagine . mathworld.wolfram.com . Preluat la 28 august 2020. Arhivat din original la 19 martie 2020.
↑ Lista cuprinzătoare a simbolurilor algebrei ? . Math Vault (25 martie 2020). Preluat la 28 august 2020. Arhivat din original la 1 aprilie 2020. (nedefinit)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , p. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , p. 5.
↑ Rubin, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU Arhivat 7 februarie 2018 la Wayback Machine , 29 decembrie 2005, pe: Semantic Scholar, p. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , p. 39.
↑ 12 Munkres , 2000 , p. 19.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , p. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , p. [ [1] în „ Google Books ” 85]
↑ 12 Munkres , 2000 , p. 21.

Literatură

John M. Lee Introducere în varietăți topologice. — al 2-lea. - New York, Dordrecht, Heidelberg, Londra: Springer, 2011. - V. 202. - (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubin. Teoria multimilor pentru matematician . - Holden-Day, 1967. - S. xix.
Michael Artin . Algebră. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Latice și structuri algebrice ordonate. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Fundamentele de convergență ale topologiei. - New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Teoria multimilor naiva . - van Nostrand Company, 1960. - (Seria universitară în matematică de licență).
John L. Kelly. topologie generală. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Vol. 27. - ( Texte de absolvent de matematică ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topologie. - Ed. a doua - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .