Formarea unei forme de stea este procesul de extindere a unui poligon (într-un spațiu de dimensiunea 2) sau a unui poliedru în spații de dimensiunea 3 și mai mare, cu formarea unei noi figuri.
Pornind de la figura inițială, procesul extinde unele elemente precum muchiile și fețele (2D), menținând în general simetria, până când se întâlnesc și formează limitele închise ale noii figuri. Noua formă se numește forma stea a formei originale.
În 1619 , Kepler a definit formarea stelară a poligoanelor și poliedrelor ca fiind procesul de propagare a muchiilor sau fețelor până când acestea se intersectează pentru a forma un nou poligon sau poliedru.
El a construit stelările dodecaedrului regulat și a obținut două poliedre stelate regulate, dodecaedrul stelat mic și dodecaedrul stelat mare .
El a construit, de asemenea, formele stelate ale octaedrului regulat și a obținut octaedrul stelat , un compus regulat de două tetraedre (Kepler ia dat numele latin de stella octangula ).
La formarea unei forme de stea a unui poligon regulat, se obține un poligon stea regulat sau un compus de poligoane regulate. Aceste poligoane sunt definite de un număr m , care este numărul de ori în care chenarul se înfășoară în jurul centrului formei. Ca și în cazul tuturor poligoanelor obișnuite, vârfurile formelor de stele se află pe un cerc. Numărul m corespunde numărului de vârfuri care trebuie trecute de-a lungul cercului pentru a trece de la un vârf de muchie la altul (începând de la 1).
Un poligon stelat regulat este reprezentat de simbolul Schläfli { n/m }, unde n este numărul de vârfuri și m este pasul folosit pentru a conecta vârfurile, m și n sunt coprime (adică nu au un divizor comun ). Dacă luăm m = 1, obținem un poligon convex { n }.
Dacă n și m au un divizor comun, obținem un compus de poligoane regulate. De exemplu, {6/2} este un compus din două triunghiuri {3} sau o hexagramă , iar {10/4} este un compus din două pentagrame {5/2}.
Unii autori folosesc simbolul Schläfli pentru astfel de compuși. Alții preferă să folosească un simbol care reprezintă o singură cale care se înfășoară de m ori în jurul n/m vârfuri, astfel încât o margine să se suprapună pe alta și fiecare vârf să fie vizitat de m ori. În acest caz, un simbol modificat poate fi folosit pentru a conecta, de exemplu, 2{3} pentru o hexagramă și 2{5/2} pentru a conecta două pentagrame obișnuite.
Un n -gon obișnuit are ( n -4)/2 forme de stea dacă n este par și ( n -3)/2 forme de stea dacă n este impar.
Pentagrama , {5/2}, este singurul pentagon în formă de stea |
Hexagrama , {6/2}, este un hexagon în formă de stea și un compus din două triunghiuri. |
Pentagonul {9} are 3 forme de eneagramă : {9/2}, {9/3}, {9/4}, unde {9/3} este un compus din 3 triunghiuri. |
|
| ||
La fel ca heptagonul , octogonul are, de asemenea, două forme de stea de octogramă , una, {8/3}, este un poligon stea , iar cealaltă, {8/2}, este un compus din două pătrate .
Forma de stea a unui poliedru se formează prin alungirea muchiilor și fețelor până când acestea se intersectează și formează un nou poliedru sau conexiune. Interiorul noului poliedru este împărțit după fețele sale într-un anumit număr de celule. Fețele plate ale poliedrului pot împărți spațiul într-un număr mare de astfel de celule, iar continuarea procesului de expansiune poate captura mai multe celule. Pentru poliedre simetrice, aceste celule se despart în grupuri (seturi) de celule congruente. Spunem că celulele din astfel de mulțimi congruente sunt de același tip. O metodă obișnuită pentru găsirea formelor de stele este selectarea unuia sau mai multor tipuri de celule.
Această abordare poate duce la un număr mare de forme posibile, așa că sunt utilizate criterii suplimentare pentru a reduce numărul acestor forme de stele.
Setul de celule care formează un nivel închis în jurul nucleului se numește înveliș (strat). Pentru poliedre simetrice, învelișul poate consta din unul sau mai multe tipuri de celule.
Pe baza acestei idei, pot fi luate în considerare câteva categorii limitative.
Putem defini alte categorii:
Solidele arhimediene și duale lor pot fi, de asemenea, reduse la o formă de stea. De obicei, în acest caz, se adaugă o regulă că toate planurile originale ale fețelor trebuie să participe la construcția formei, adică formele parțial stelate nu sunt permise. De exemplu, cubul nu este de obicei considerat o stelare a cuboctaedrului .
Generalizând regulile lui Miller, obținem:
Șaptesprezece poliedre uniforme neconvexe sunt forme stelate ale solidelor arhimediene.
În Cele cincizeci și nouă de icosaedre, Miller a propus un set de reguli pentru a determina ce stelări ar trebui considerate „suficient de semnificative și distincte”.
Aceste reguli au fost adaptate pentru a obține forme de stea pentru orice poliedru. Folosind regulile lui Miller, găsim:
Multe „stelări Miller” nu pot fi obținute direct folosind metoda lui Kepler. De exemplu, mulți au centre goale, unde fețele și marginile poliedrului original sunt complet absente - nu există nimic de unde să începeți. Pe de altă parte, metoda lui Kepler produce stelații complet interzise de regulile lui Miller, deoarece celulele lor sunt conectate prin vârfuri sau muchii, chiar dacă fețele lor sunt simple poligoane. Această distincție nu a atras atenția în mod explicit până la articolul lui Inchbald [1] .
Regulile lui Miller nu implică modalități „corecte” de a numerota stelațiile. Regulile se bazează pe combinarea părților într -o diagramă în stea într-un anumit mod și nu țin cont de topologia fețelor rezultate. Ca urmare, există stelare bine întemeiate ale icosaedrului care nu sunt incluse în lista lui Coxeter. Un poliedru a fost descoperit de James Bridge în 1974 [2] . Pe de altă parte, se pune întrebarea dacă unele dintre „stelările Miller” sunt deloc stelații - una dintre forme include niște celule complet detașate care plutesc simetric în spațiu.
Un set alternativ de reguli care acceptă toate aceste puncte nu a fost încă pe deplin dezvoltat. Cel mai mare progres a fost făcut atunci când s-a observat că formarea stelelor este procesul invers (dual) față de fațetare , în care părțile sunt îndepărtate din poliedru fără a crea noi vârfuri. Pentru orice stelare a unui poliedru, există o fațetare duală a poliedrului dual și invers. Studiind fațetele poliedrului dual, obținem o înțelegere a formelor stelelor poliedrului original. Bridge și-a găsit icosaedrul stelat studiind tăieturile dodecaedrului său dublu.
Unii matematicieni care studiază poliedre iau în considerare faptul că formarea formelor de stele este un proces în două sensuri, astfel încât oricare două poliedre care au același set de planuri faciale sunt forme stelare una ale celeilalte. O astfel de înțelegere este acceptabilă dacă se dezvoltă un algoritm general pentru un program de calculator, dar este de puțin folos în alte cazuri.
Multe exemple de forme de stele pot fi găsite în articolul Lista modelelor de poliedre Wenninger .
Procesul de stelare poate fi aplicat și poliedrelor din spații dimensionale superioare. Diagrama stelar a unui poliedru n-dimensional este situată pe hiperplanul (n-1)-dimensional al unei fațete date (o față care are o dimensiune cu 1 mai mică decât dimensiunea spațiului).
De exemplu, în spațiul cu 4 dimensiuni, marele mare cu 120 de celule stelate este etapa finală în formarea stelarelor cu 120 de celule regulate cu patru dimensiuni .
Prima încercare de a da denumiri sistematice poliedrelor stelate obișnuite a fost făcută de Cayley (cunoscut acum sub numele de solide Kepler-Poinsot ). Acest sistem a fost adaptat pe scară largă, dar nu întotdeauna în mod constant, la alte poliedre în 3D și nu numai.
Conway a dezvoltat o terminologie pentru poligoane stelare, poliedre tridimensionale și cu patru dimensiuni [3] .
Wenninger a observat că unele poliedre, cum ar fi cubul, nu au forme de stea. Cu toate acestea, celulele pentru formarea formelor de stele pot fi construite ca prisme care merg la infinit. Figurile care includ astfel de prisme sunt semipoliedre. După majoritatea definițiilor poliedrelor, aceste stelare nu sunt, strict vorbind, poliedre.
Împreună cu contribuția sa la matematică, Magnus Wenninger este scris în contextul conexiunii dintre matematică și artă, ca persoană care a realizat modele „deosebit de frumoase” de poliedre stelate complexe [4]
Artistul renascentist italian Paolo Uccello a creat o podea de mozaic înfățișând un mic dodecaedru stelat în Bazilica San Marco din Veneția (circa 1430). Această imagine a lui Uccello a fost folosită ca simbol al Bienalei de la Veneția în 1986 (tema este „Artă și Știință” [5] ) . Aceeași formă de stea este centrul a două litografii de Escher - Contrast (Order and Chaos) , 1950 și Gravity , 1952 [6] .