Corpul arhimedian

Solidul arhimedian (sau poliedrul arhimedian ) este un poliedru convex având două sau mai multe tipuri de poligoane regulate ca fețe adiacente vârfurilor identice . Aici, „vârfurile identice” înseamnă că pentru oricare două vârfuri există o izometrie a întregului corp care duce un vârf la altul.

Solidele arhimediene diferă de solidele platonice ( poliedre regulate ), care constau dintr-un singur tip de poligon la aceleași vârfuri, și de poliedrele Johnson, ale căror fețe poligonale regulate aparțin unor tipuri diferite de vârfuri.

Uneori este necesar doar ca fețele adiacente unui vârf să fie izometrice față de fețele de la celălalt vârf. Această diferență de definiții determină dacă un girobicupol pătrat alungit (pseudo-rombicuboctaedru) este considerat un solid arhimedian sau un poliedru Johnson  - este singurul poliedru convex în care fețele poligonale învecinează un vârf în același mod la fiecare vârf, dar poliedrul nu nu au o simetrie globală care să ducă orice vârf la oricare altul. Pe baza existenței pseudorhombicuboctaedrului, Grünbaum [1] a propus o distincție terminologică în care un corp arhimedian este definit ca având aceeași figură de vârf la fiecare vârf (inclusiv girobicupolul pătrat alungit), în timp ce un poliedru uniform este definit ca având orice vârf. este simetric cu oricare altul (care exclude girobicupolisul ).

Prismele și antiprismele , ale căror grupuri de simetrie sunt grupuri diedrice , nu sunt considerate în general solide arhimediene, în ciuda faptului că se încadrează în definiția dată mai sus. Cu această constrângere, există doar un număr finit de solide arhimediene. Toate corpurile, cu excepția cupolei giroscopice pătrate alungite, pot fi obținute prin construcțiile lui Wythoff din solide platonice folosind simetrii tetraedrice , octaedrice și icosaedrice .

Nume sursa

Corpurile arhimedeene poartă numele lui Arhimede , care le-a discutat într-o lucrare acum pierdută. Papp se referă la această lucrare și afirmă că Arhimede a enumerat 13 poliedre [1] . În timpul Renașterii, artiștii și matematicienii au apreciat formele pure și le-au redescoperit pe toate. Aceste studii au fost finalizate aproape complet în jurul anului 1620 de către Johannes Kepler [2] , care a definit conceptele de prisme , antiprisme și corpuri neconvexe, cunoscute sub numele de corpuri Kepler-Poinsot .

Kepler poate să fi găsit și un girobicupol pătrat alungit (pseudorhombicuboctaedru ) - cel puțin a susținut că există 14 solide arhimediene. Cu toate acestea, enumerările sale publicate includ doar 13 poliedre uniforme, iar prima afirmație clară despre existența unui pseudorhombicosaedru a fost făcută în 1905 de Duncan Somerville [1] .

Clasificare

Există 13 solide arhimediene (fără a număra girobicupolul pătrat alungit ; 15 dacă se iau în considerare imaginile în oglindă ale celor două enantiomorfe , care sunt enumerate separat mai jos).

Aici configurația vârfurilor se referă la tipurile de poligoane regulate care sunt adiacente unui vârf. De exemplu, configurația vârfurilor (4,6,8) înseamnă că pătratul , hexagonul și octogonul se întâlnesc la vârf (ordinea de enumerare este luată în sensul acelor de ceasornic de la vârf).

Titlu
(titlu alternativ) 		Schläfli
Coxeter 		Transparent Opac Scanează
Figura de vârf 		chipuri coaste Vârfurile Volum
(cu o singură
margine) 		Grup de
puncte
tetraedru trunchiat {3,3}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
( rotire ) 		3.6.6
 opt 4 triunghiuri
4 hexagoane 		optsprezece 12 2,710576 T d
Cuboctaedru
(rombotetraedru)		 r{4,3} sau rr{3,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngsauCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png
( rotire ) 		3.4.3.4
 paisprezece 8 triunghiuri
6 pătrate 		24 12 2,357023 O h
cub trunchiat t{4,3}
CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
( rotire ) 		3.8.8
 paisprezece 8 triunghiuri
6 octagoane 		36 24 13,599663 O h
Octaedru trunchiat
(tetrateraedru trunchiat)		 t{3,4} sau tr{3,3}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngsauCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png

( rotire )

4.6.6
 paisprezece 6 pătrate
8 hexagoane 		36 24 11.313709 O h
Rombicuboctaedru
(rombicuboctaedru mic)		 rr{4,3}
CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png
( rotire ) 		3.4.4.4
 26 8 triunghiuri
18 pătrate 		48 24 8,714045 O h
Cuboctaedru trunchiat
(rombicuboctaedru mare)		 tr{4,3}
CDel nodul 1.pngCDel 4.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png
( rotire ) 		4.6.8
 26 12 pătrate
8 hexagoane
6 octagoane 		72 48 41,798990 O h
Cub
snub (cuboctaedru snub)		 sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
( rotire ) 		3.3.3.3.4
 38 32 triunghiuri
6 pătrate 		60 24 7,889295 O
icosidodecaedru r{5,3}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
( rotire ) 		3.5.3.5
 32 20 de triunghiuri
12 pentagoane 		60 treizeci 13,835526 eu h
dodecaedru trunchiat t{5,3}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
( rotire ) 		3.10.10
 32 20 de triunghiuri
12 decagoane 		90 60 85,039665 eu h
Icosaedru trunchiat t{3,5}
CDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
( rotire ) 		5.6.6
 32 12 pentagoane
20 hexagoane 		90 60 55,287731 eu h
Rombicosidodecaedru
(rombicosidodecaedru mic)		 rr{5,3}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png
( rotire ) 		3.4.5.4
 62 20 de triunghiuri
30 de pătrate
12 pentagoane 		120 60 41,615324 eu h
Icosidodecaedru rombotruncat tr{5,3}
CDel nodul 1.pngCDel 5.pngCDel nodul 1.pngCDel 3.pngCDel nodul 1.png
( rotire ) 		4.6.10
 62 30 pătrate
20 hexagoane
12 decagoane 		180 120 206.803399 eu h
Dodecaedru
snub (icosidodecaedru snub)		 sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
( rotire ) 		3.3.3.3.5
 92 80 de triunghiuri
12 pentagoane 		150 60 37,616650 eu

Unele definiții ale poliedrelor semiregulate includ un alt solid, girobicupolul pătrat alungit sau „pseudo-rombicuboctaedrul” [3] .

Proprietăți

Numărul de vârfuri este egal cu raportul de 720° la defectul de colț de la vârf.

Cuboctaedrul și icosidodecaedrul sunt margini omogene și se numesc cvasiregulare .

Poliedrele duale ale solidelor arhimediene se numesc solide catalane . Împreună cu bipiramidele și trapezoedrele , sunt corpuri uniforme în fețe cu vârfuri regulate.

Chiralitate

Cubul snub și dodecaedrul snub sunt chirale deoarece apar în variante pentru stângaci și dreptaci. Dacă ceva are mai multe tipuri, care sunt imagini tridimensionale în oglindă unul cu celălalt, aceste forme sunt numite enantiomorfi (acest nume este folosit și pentru unele forme de compuși chimici ).

Construcția solidelor arhimediene

Diferitele solide arhimediene și platonice pot fi derivate una de la alta cu o mână de operații. Începând cu solidele platonice, puteți utiliza operația de trunchiere a colțurilor . Pentru a păstra simetria, trunchierea se face printr-un plan perpendicular pe dreapta care leagă colțul cu centrul poligonului. În funcție de cât de adânc se efectuează trunchierea (vezi tabelul de mai jos), obținem diverse solide platonice și arhimediene (și altele). Întinderea sau teșirea se face prin deplasarea fețelor (într-o direcție) departe de centru (aceeași distanță pentru a păstra simetria) și apoi creând o carcasă convexă. Extinderea cu rotație se realizează și prin rotirea fețelor, acest lucru desface dreptunghiurile care apar în locurile marginilor în triunghiuri. Ultima construcție pe care o prezentăm aici este trunchierea atât a colțurilor, cât și a marginilor. Dacă scalarea este ignorată, extinderea poate fi considerată și ca trunchiere de colț și margine, dar cu o relație specifică între trunchierea colțului și a muchiei.

Construcția solidelor arhimediene
Simetrie tetraedric
 Octaedral
icosaedric

Funcționarea inițială a corpului		 Caracter
{p, q}
CDel nodul 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png 		Tetraedru
{3,3}
 Cubul
{4,3}
 Octaedru
{3,4}
 Dodecaedru
{5,3}
 Icosaedru
{3,5}
Trunchiere (t) t{p, q}
CDel nodul 1.pngCDel p.pngCDel nodul 1.pngCDel q.pngCDel node.png 		tetraedru trunchiat
 cub trunchiat
 octaedru trunchiat
 dodecaedru trunchiat
 Icosaedru trunchiat
Trunchiere completă (r)
Amvon (a)		 r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel nodul 1.pngCDel q.pngCDel node.png 		tetratetraedru
 Cuboctaedru
 icosidodecaedru
Trunchiere adâncă (2t)
(dk)		 2t{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel nodul 1.pngCDel q.pngCDel nodul 1.png 		tetraedru trunchiat
 octaedru trunchiat
 cub trunchiat
 icosaedru trunchiat
 dodecaedru trunchiat
Trunchiere completă dublă (2r)
Duală (d)		 2r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel nodul 1.png 		tetraedru
 octaedru
 cub
 icosaedru
 dodecaedru
Teșire (rr)
Întindere (e)		 rr{p, q}
CDel nodul 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel nodul 1.png 		Cuboctaedru
 Rombicuboctaedru
 rombicosidodecaedru
Îndreptare snub (sr)
Îndreptare (e)		 sr{p, q}
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png 		tetratetraedru snub
 cub snub
 icosidodecaedru snub
bevel-truncation (tr)
Bevel (b)		 tr{p, q}
CDel nodul 1.pngCDel p.pngCDel nodul 1.pngCDel q.pngCDel nodul 1.png 		octaedru trunchiat
 Cuboctaedru trunchiat
 Icosidodecaedru rombotruncat

Observați dualitatea dintre cub și octaedru și dintre dodecaedru și icosaedru. De asemenea, datorită parțial auto-dualității tetraedrului, doar un solid arhimedian are o singură simetrie tetraedrică.

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
  2. ↑ Field, 1997 , p. 241-289.
  3. ↑ Malkevitch, 1988 , p. 85.

Literatură

Link -uri