Matrice ortogonală

O matrice ortogonală este o matrice pătrată cu elemente reale , al cărei rezultat al înmulțirii cu matricea transpusă este egal cu matricea de identitate [1] : $A$ $A^{T}$

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

sau, în mod echivalent, matricea sa inversă (care există în mod necesar) este egală cu matricea transpusă:

A^{-1}=A^{T}.

Analogul complex al unei matrice ortogonale este matricea unitară .

O matrice ortogonală cu un determinant se numește ortogonală specială . $+1$

Proprietăți

O matrice ortogonală este unitară ( ) și, prin urmare, normală ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Coloanele și rândurile unei matrice ortogonale formează sisteme de vectori ortonormali , adică:

\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk)

și

\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk)

unde , este ordinea matricei și este simbolul Kronecker .

i\în \{1,\;\ldots ,\;n\}

n

\delta _{{jk}}

Cu alte cuvinte, produsul punctual al unui rând cu el însuși este 1, iar cu orice alt rând este 0. Același lucru este valabil și pentru coloane.

Determinantul unei matrice ortogonale este , care rezultă din proprietățile determinanților: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
Setul de matrici de ordin ortogonal peste câmp formează un grup de multiplicare , așa-numitul grup ortogonal care este notat cu sau (dacă este omis, se presupune că este ). $n$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\mathbb{R}$
Operatorul liniar , dat de o matrice ortogonală, mapează o bază ortonormală a unui spațiu liniar la una ortonormală.
Matricea de rotație este ortogonală specială. Matricea de reflexie este ortogonală.
Orice matrice ortogonală reală este similară cu o matrice bloc-diagonală cu blocuri de formă

(\pm1)

și

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - un exemplu de matrice de rotație

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - un exemplu de matrice de permutare

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha)\cos(\gamma)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)&-\sin(\alpha)\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ este matricea de rotație exprimată în termeni de unghiuri Euler

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. - a 4-a ed. - M: Nauka, 1999. - p. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .