Paradoxul lui Russell

Paradoxul lui Russell ( antinomia lui Russell , de asemenea paradoxul lui Russell - Zermelo ) este un paradox teoretic al seturilor ( antinomia ), descoperit în 1901 [1] de matematicianul britanic Bertrand Russell și care demonstrează inconsecvența sistemului logic al lui Frege , care a fost o încercare timpurie. pentru a oficializa teoria multimilor naiva a lui George Cantor . Descoperit anterior, dar nepublicat de Ernst Zermelo .

În limbajul informal, paradoxul poate fi descris după cum urmează. Să fim de acord să numim o mulțime „obișnuită” dacă nu este propriul său element. De exemplu, setul tuturor oamenilor este „obișnuit”, deoarece setul în sine nu este o persoană. Un exemplu de mulțime „neobișnuită” este mulțimea tuturor mulțimilor , deoarece ea însăși este o mulțime și, prin urmare, este ea însăși un element propriu [2] .

Este posibil să se considere o mulțime formată numai din toate mulțimile „obișnuite”, o astfel de mulțime se numește mulțime Russell . Un paradox apare atunci când se încearcă să se determine dacă această mulțime este „obișnuită” sau nu, adică dacă se conține ca element. Există două posibilități.

În orice caz, obținem o contradicție [2] .

Declarația paradoxului

Paradoxul lui Russell poate fi formulat în teoria multimilor naivă . Prin urmare, teoria mulțimilor naivă este inconsistentă . Un fragment controversat al teoriei mulțimilor naive, care poate fi definit ca o teorie de ordinul întâi cu o relație de apartenență binară și o schemă de selecție : pentru fiecare formulă logică cu o variabilă liberă în teoria mulțimilor naive există o axiomă

.

Această schemă de axiome spune că pentru orice condiție există o mulțime formată din cele care îndeplinesc condiția [3] .

Acest lucru este suficient pentru a formula paradoxul lui Russell după cum urmează. Să existe o formulă (Adică , înseamnă că mulțimea nu se conține ca element sau, în terminologia noastră, este o mulțime „obișnuită”.) Apoi, conform axiomei selecției, există o mulțime ( Russell set) astfel încât

.

Deoarece acest lucru este valabil pentru orice , atunci este valabil și pentru That is

De aici rezultă că în teoria multimilor naivă se deduce o contradicție [3] .

Paradoxul nu ar apărea dacă am presupune că setul Russell nu există. Cu toate acestea, această ipoteză în sine este paradoxală: în teoria mulțimilor lui Cantor , se crede că orice proprietate determină mulțimea de elemente care satisfac această proprietate. Deoarece proprietatea unei mulțimi de a fi „obișnuită” pare bine definită, trebuie să existe o mulțime de toate mulțimile „obișnuite”. Acum o astfel de teorie se numește teoria mulțimilor naivă [4] [5] .

Versiuni populare ale paradoxului

Există mai multe versiuni ale paradoxului lui Russell. Spre deosebire de paradoxul în sine, ele nu pot fi exprimate în general în limbaj formal .

Paradoxul mincinosului

Paradoxul lui Russell este legat de paradoxul mincinosului cunoscut din cele mai vechi timpuri, care este următoarea întrebare. Dată o declarație:

Această afirmație este falsă.

Este adevărată sau nu această afirmație?

Este ușor să arăți că această afirmație nu poate fi nici adevărată, nici falsă.

Russell a scris despre acest paradox [6] :

Aceasta este o ghicitoare străveche pe care nimeni nu a tratat-o ​​mai mult decât ca pe o glumă până când s-a descoperit că această întrebare are de-a face cu probleme atât de importante și practice precum existența celui mai mare număr cardinal sau ordinal .

Text original  (engleză)[ arataascunde] Este un puzzle străvechi și nimeni nu a tratat așa ceva ca pe o glumă până când s-a descoperit că are de-a face cu probleme atât de importante și practice, cum ar fi dacă există cel mai mare număr cardinal sau ordinal.

Russell însuși a explicat în acest fel paradoxul mincinosului. Pentru a spune ceva despre enunțuri, trebuie mai întâi să definim însuși conceptul de „enunț”, fără a folosi concepte care nu au fost încă definite. Astfel, pot fi definite enunțuri de primul tip care nu spun nimic despre enunțuri. Apoi se pot defini enunțuri de al doilea tip care vorbesc despre enunțuri de primul tip și așa mai departe. Afirmația „această afirmație este falsă” nu se încadrează în niciuna dintre aceste definiții și, prin urmare, nu are sens [6] .

Paradoxul frizerului

Russell menţionează următoarea versiune a paradoxului, formulată ca o ghicitoare pe care cineva i-a sugerat-o [6] .

Să locuiască într-un anumit sat un frizer, care să-i radă pe toți locuitorii satului care nu se rad, și numai pe ei.

Se rade frizerul?

Orice răspuns duce la o contradicție. Russell notează că acest paradox nu este echivalent cu paradoxul său și este ușor de rezolvat [6] . Într-adevăr, așa cum paradoxul lui Russell arată că nu există un set Russell, paradoxul frizerului arată că nu există un astfel de frizer. Diferența este că nu este nimic surprinzător în inexistența unui astfel de frizer: nu pentru nicio proprietate există un frizer care rade oamenii cu această proprietate. Cu toate acestea, faptul că nu există un set de elemente date de o proprietate bine definită contrazice ideea naivă de mulțimi și necesită explicație [5] [7] .

Opțiune despre directoare

Cea mai apropiată în formulare de paradoxul lui Russell este următoarea versiune a prezentării sale [8] :

Cataloagele bibliografice sunt cărți care descriu alte cărți. Unele directoare pot descrie alte directoare. Unele directoare se pot descrie chiar pe ele însele.

Este posibil să catalogăm toate cataloagele care nu se descriu singure?

Un paradox apare atunci când încercați să decideți dacă acest director ar trebui să se descrie singur. În ciuda aparentă apropiere a formulărilor (acesta este de fapt paradoxul lui Russell, în care cataloagele sunt folosite în loc de seturi), acest paradox, ca și paradoxul frizerului, se rezolvă simplu: un astfel de catalog nu poate fi alcătuit.

Paradoxul Grelling-Nelson

Acest paradox a fost formulat de matematicienii germani Kurt Grelling și Leonhard Nelson în 1908. Este de fapt o traducere a versiunii originale a paradoxului a lui Russell în termeni de logica a predicatului (vezi scrisoarea către Frege mai jos ) într-un limbaj non-matematic.

Vom numi un adjectiv reflexiv dacă acest adjectiv are o proprietate determinată de acest adjectiv. De exemplu, adjectivele „rusă”, „polisilabic” au proprietățile pe care le definesc (adjectivul „rus” este rus, iar adjectivul „polisilabic” este polisilab), deci sunt reflexive, iar adjectivele „germană”, „ monosilabice” sunt nereflexive .

Adjectivul „non-reflexiv” va fi sau nu reflexiv?

Orice răspuns duce la o contradicție [8] [9] . Spre deosebire de paradoxul frizerului, soluția la acest paradox nu este atât de simplă. Nu se poate spune pur și simplu că un astfel de adjectiv („non-reflexiv”) nu există, din moment ce tocmai l-am definit. Paradoxul rezultă din faptul că definiția termenului „non-reflexiv” este incorectă în sine. Definiția acestui termen depinde de sensul adjectivului căruia i se aplică. Și întrucât cuvântul „non-reflexiv” este el însuși un adjectiv în definiție, apare un cerc vicios [10] .

Istorie

Russell și-a descoperit probabil paradoxul în mai sau iunie 1901 [11] . Potrivit lui Russell însuși, el încerca să găsească o eroare în dovada lui Cantor a faptului paradoxal (cunoscut sub numele de paradoxul lui Cantor ) că nu există un număr cardinal maxim (sau mulțimea tuturor mulțimilor ). Drept urmare, Russell a obținut un paradox mai simplu [12] . Russell și-a comunicat paradoxul altor logicieni, în special Whitehead [13] și Peano [14] . În scrisoarea sa către Frege din 16 iunie 1902, el a scris că a găsit o contradicție în Calculul conceptelor , cartea lui Frege publicată în 1879. El și-a expus paradoxul în termeni de logică și apoi în termeni de teoria mulțimilor, folosind definiția lui Frege a unei funcții [14] :

Am întâmpinat dificultăți într-un singur loc. Pretindeți (p. 17) că o funcție poate acționa ea însăși ca o necunoscută. Așa credeam și eu. Dar acum acest punct de vedere mi se pare îndoielnic din cauza următoarei contradicții. Fie w un predicat: „a fi un predicat care nu se aplică în sine”. Putem fi aplicabil în sine? Orice răspuns implică contrariul. Prin urmare, trebuie să concluzionăm că w  nu este un predicat. În mod similar, nu există nicio clasă (în ansamblu) a acelor clase care, luate în ansamblu, nu le aparțin. De aici trag concluzia că uneori un anumit set nu formează o formațiune holistică.

Text original  (germană)[ arataascunde] Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet [15] .

Frege a primit scrisoarea exact când a finalizat al doilea volum din Legile fundamentale ale aritmeticii ( germană:  Grundgesetze der Arithmetik ). Frege nu a avut timp să-și corecteze teoria mulțimilor. El a adăugat doar un apendice la volumul al doilea cu o expunere și analiza sa asupra paradoxului, care a început cu celebra remarcă:

Este puțin probabil să i se întâmple ceva mai rău unui om de știință decât dacă pământul i-ar fi scos de sub picioare chiar în momentul în care își încheie munca. În această poziție m-am găsit când am primit o scrisoare de la Bertrand Russell, când munca mea era deja finalizată [16] .

Text original  (germană)[ arataascunde] Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte [17] .

Frege a continuat sugerând următoarea modalitate de a-și corecta teoria pentru a evita paradoxul lui Russell. În loc de axiomă:

,

care spunea că este posibil să se construiască un set de elemente care să satisfacă proprietatea pe care a sugerat-o folosind următoarea axiomă:

,

eliminând astfel posibilitatea ca un set să fie membru al său. Totuși, o ușoară modificare a paradoxului lui Russell demonstrează că această axiomă duce și la o contradicție: și anume, se poate considera mulțimea tuturor singletonurilor astfel încât , atunci enunțul va fi o antinomie [18] .

Russell și-a publicat paradoxul în cartea sa Principles of Mathematics în 1903 [11] .

Ernst Zermelo a pretins că a descoperit acest paradox independent de Russell și l-a raportat înainte de 1903 lui Hilbert și altora [19] . Acest lucru a fost confirmat și de Hilbert, scriindu-i lui Frege pe 7 noiembrie 1903, că era conștient de acest paradox. Hilbert a scris: „Cred că Zermelo a găsit-o acum 3-4 ani... Am găsit alte contradicții și mai convingătoare acum 4-5 ani”. În plus, în 1978, formularea acestui paradox a fost descoperită în lucrările lui Edmund Husserl , pe care Zermelo le-a comunicat lui Husserl la 16 aprilie 1902. În această formulare, se demonstrează că mulțimea M care conține toate submulțimile sale ca elemente duce la o contradicție. Pentru demonstrație, considerăm o submulțime M , formată din mulțimi care nu se conțin [20] .

Soluții

Nu există nicio greșeală în paradoxul lui Russell: demonstrează cu adevărat inconsecvența teoriei multimilor naive. Pentru a scăpa de contradicție, trebuie să corectăm teoria mulțimilor, astfel încât să nu admită o mulțime ruselliană. Acest lucru se poate face în mai multe moduri. Cel mai natural mod este de a interzice într-un fel sau altul seturile care se pot conține ca element. Astfel, setul de toate seturile va fi de asemenea interzis ( cel puțin setul de toate seturile nu va fi el însuși un set) [21] . Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, pe de o parte, pur și simplu interzicerea mulțimii să se aibă pe sine ca element nu este suficient pentru a scăpa de contradicție (cum a arătat prima încercare a lui Frege de a-și corecta sistemul). Pe de altă parte, a permite seturilor să se includă ca membri nu duce în sine la contradicții. De exemplu, nimic nu vă împiedică să creați un director care să includă toate directoarele, inclusiv descrierea în sine. Multe limbaje de programare permit containerelor să se includă ca element [22] . Există sisteme logice lipsite de paradoxuri precum cel al lui Russell care permit mulțimilor să se conțină singure (ex . New Foundations by W. V. O. Quine ) [23] .

Mai jos sunt câteva dintre posibilele abordări ale construirii unui sistem de axiome libere de paradoxurile lui Russell.

Teoria tipurilor a lui Russell

Russell însuși a fost primul care a propus o teorie liberă de paradoxul lui Russell. El a dezvoltat o teorie a tipurilor, a cărei primă versiune a apărut în Principles of Mathematics a lui Russell în 1903 24] . Această teorie se bazează pe următoarea idee: obiectele simple din această teorie au tipul 0, mulțimile de obiecte simple au tipul 1, seturile de mulțimi de obiecte simple au tipul 2 și așa mai departe. Astfel, nici o mulțime nu se poate avea ca element. Nici mulțimea tuturor mulțimilor și nici mulțimea Russell nu pot fi definite în această teorie. O ierarhie similară este introdusă pentru instrucțiuni și proprietăți. Propozițiile despre obiecte simple aparțin tipului 1, propozițiile despre proprietățile propozițiilor de tip 1 aparțin tipului 2 și așa mai departe. În general, o funcție, prin definiție, este de tip superior variabilelor de care depinde. Această abordare ne permite să scăpăm nu numai de paradoxul Russell, ci și de multe alte paradoxuri, inclusiv paradoxul mincinosului ( vezi mai sus ), paradoxul Grelling-Nelson , paradoxul Burali-Forti . Russell și Whitehead au arătat cum să reducă întreaga matematică la axiomele teoriei tipurilor în Principia Mathematica , în trei volume , publicată în 1910-1913 [25] .

Cu toate acestea, această abordare a întâmpinat dificultăți. În special, apar probleme în definirea unor astfel de concepte ca cea mai mică limită superioară pentru mulțimi de numere reale. Prin definiție, o limită superioară minimă este cea mai mică dintre toate limitele superioare. Prin urmare, atunci când se determină cea mai mică limită superioară, se utilizează mulțimea numerelor reale. Prin urmare, cea mai mică limită superioară este un obiect de tip mai mare decât numerele reale. Aceasta înseamnă că nu este în sine un număr real. Pentru a evita acest lucru, a trebuit să introducem așa-numita axiomă a reductibilității . Din cauza arbitrarului său, mulți matematicieni au refuzat să accepte axioma reductibilității, iar Russell însuși a numit-o un defect în teoria sa. În plus, teoria s-a dovedit a fi foarte complexă. Drept urmare, nu a primit o aplicare largă [25] .

Teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel

Cea mai cunoscută abordare a axiomatizării matematicii este teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel (ZF), care a apărut ca o extensie a teoriei lui Zermelo (1908). Spre deosebire de Russell, Zermelo a păstrat principiile logice și a schimbat doar axiomele teoriei mulțimilor [26] . Ideea acestei abordări este că este permisă utilizarea numai a mulțimilor construite din mulțimi deja construite folosind un anumit set de axiome [5] . Astfel, de exemplu, una dintre axiomele lui Zermelo spune că este posibil să se construiască o mulțime din toate submulțimile unei mulțimi date ( axioma booleană ). O altă axiomă ( schema de selecție ) spune că din fiecare mulțime este posibil să se selecteze o submulțime de elemente care au o proprietate dată. Aceasta este principala diferență dintre teoria mulțimilor Zermelo și teoria mulțimilor naivă: în teoria mulțimilor naivă, se poate lua în considerare mulțimea tuturor elementelor care au o proprietate dată, în timp ce în teoria mulțimilor Zermelo, se poate selecta doar o submulțime dintr-o mulțime deja construită. . În teoria mulțimilor Zermelo, nu se poate construi mulțimea tuturor mulțimilor . Astfel, nici multimea Russell nu poate fi construita acolo [21] .

Clasele

Uneori, în matematică, este util să se ia în considerare toate seturile ca un întreg, de exemplu, să se ia în considerare totalitatea tuturor grupurilor . Pentru a face acest lucru, teoria mulțimilor poate fi extinsă prin noțiunea de clasă , ca, de exemplu, în sistemul Neumann-Bernays-Gödel (NBG). În această teorie, colecția tuturor mulțimilor este o clasă . Totuși, această clasă nu este o mulțime și nu este un element al vreunei clase, evitând astfel paradoxul lui Russell [27] .

Un sistem mai puternic care permite să luăm cuantificatori după clasă, și nu doar după mulțimi, este, de exemplu, teoria mulțimilor Morse-Kelly (MK) [28] . În această teorie, conceptul principal este conceptul de clasă , nu de mulțime . Mulțimile din această teorie sunt acele clase care sunt ele însele elemente ale unor clase [29] . În această teorie, formula este considerată echivalentă cu formula

.

Deoarece în această teorie înseamnă că o clasă este o mulțime , această formulă trebuie înțeleasă ca ceea ce este clasa tuturor mulțimilor (și nu claselor) astfel încât . Paradoxul lui Russell în această teorie este rezolvat prin faptul că nu fiecare clasă este o mulțime [30] .

Puteți merge mai departe și luați în considerare colecții de clase - conglomerate , colecții de conglomerate și așa mai departe [31] .

Influența asupra matematicii

Axiomatizarea matematicii

Paradoxul lui Russell, împreună cu alte antinomii matematice [4] descoperite la începutul secolului al XX-lea, a stimulat o revizuire a fundamentelor matematicii, care a avut ca rezultat construirea unor teorii axiomatice care să justifice matematica, dintre care unele sunt menționate mai sus.

În toate noile teorii axiomatice construite, paradoxurile cunoscute până la mijlocul secolului al XX-lea (inclusiv paradoxul lui Russell) au fost eliminate [32] . Totuși, a demonstra că noi paradoxuri similare nu pot fi descoperite în viitor (aceasta este problema consistenței teoriilor axiomatice construite) s-a dovedit a fi imposibil în înțelegerea modernă a acestei probleme [33] [34] (vezi incompletitudinea lui Gödel). teoreme ).

Intuiționism

În paralel, a apărut o nouă tendință în matematică, numită intuiționism , al cărei fondator este L. E. Ya. Brouwer . Intuiționismul a apărut independent de paradoxul lui Russell și de alte antinomii. Totuşi, descoperirea antinomiilor în teoria mulţimilor a crescut neîncrederea intuiţioniştilor în principiile logice şi a accelerat formarea intuiţionismului [25] . Teza principală a intuiționismului spune că pentru a demonstra existența unui obiect este necesară prezentarea unei metode de construcție a acestuia [35] . Intuiționiștii resping astfel de concepte abstracte ca mulțimea tuturor mulțimilor. Intuiționismul neagă legea mijlocului exclus , cu toate acestea, trebuie remarcat că legea mijlocului exclus nu este necesară pentru a deriva o contradicție din antinomia lui Russell sau din oricare alta (în orice antinomie se dovedește că negația implică și negația implică , totuși ). , chiar și în logica intuiționistă urmează o contradicție) [36] . De asemenea, este de remarcat faptul că în axiomatizările ulterioare ale matematicii intuiționiste au fost găsite paradoxuri similare cu ale lui Russell, cum ar fi, de exemplu, paradoxul lui Girard în formularea originală a teoriei tipului intuiționist a lui Martin-Löf [37] .

Argument diagonal (autoaplicabilitate)

În ciuda faptului că raționamentul lui Russell duce la un paradox, ideea principală a acestui raționament este adesea folosită în demonstrarea teoremelor matematice. După cum am menționat mai sus, Russell și-a obținut paradoxul analizând dovada lui Cantor că nu există cel mai mare număr cardinal . Acest fapt contrazice existența unei mulțimi a tuturor mulțimilor, deoarece cardinalitatea acesteia trebuie să fie maximă. Cu toate acestea, după teorema lui Cantor , mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime dată are mai multă cardinalitate decât mulțimea în sine. Dovada acestui fapt se bazează pe următorul argument diagonal:

Să existe o corespondență unu-la-unu , care atribuie fiecărui element al mulțimii o submulțime a mulțimii Fie o mulțime formată din elemente astfel încât ( mulțime diagonală ). Atunci complementul acestui set nu poate fi oricare dintre A, prin urmare, corespondența nu a fost unu-la-unu.

Cantor a folosit argumentul diagonală pentru a demonstra nenumărabilitatea numerelor reale în 1891. (Aceasta nu este prima sa dovadă a nenumărabilității numerelor reale, ci cea mai simplă) [38] .

Paradoxul lui Cantor se obține prin aplicarea acestui argument la mulțimea tuturor mulțimilor. De fapt, mulțimea Russell este mulțimea diagonală a lui Cantor [39] . Argumentul diagonal a fost folosit înainte de Russell și Cantor (era folosit deja în [40] de Dubois-Reymond la calcul în 1875) [41] . Cu toate acestea, în paradoxul lui Russell, argumentul diagonal este cel mai clar cristalizat.

Argumentul diagonal a fost folosit în multe domenii ale matematicii. Astfel, de exemplu, este argumentul central în teorema de incompletitudine a lui Gödel , în demonstrarea existenței unei mulțimi enumerabile indecidabile , și, în special, în demonstrarea indecidibilității problemei opririi [42] .

Paradoxuri înrudite

Autoaplicabilitatea este folosită în multe alte paradoxuri, în afară de cele discutate mai sus:

Vezi și

Note

  1. ↑ Godehard Link (2004), O sută de ani de paradoxul lui Russell , p. 350, ISBN 9783110174380 , < https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 >  .
  2. ↑ 1 2 Antinomia lui Russell // Dicționar de logică. Ivin A. A., Nikiforov A. L.  - M .: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. — ISBN 5-691-00099-3 .
  3. ↑ 1 2 Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Paradoxul lui Russell  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 01-01-2014. Arhivat din original pe 18 martie 2019.
  4. ↑ 1 2 Antinomie - un articol din Enciclopedia Matematicii . A. G. Dragalin
  5. ↑ 1 2 3 A. S. Gerasimov. Un curs de logică matematică și teoria calculabilității . - Ediția a treia, revizuită și mărită. - Sankt Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. — 284 p. Arhivat pe 17 august 2016 la Wayback Machine
  6. ↑ 1 2 3 4 Russell, Bertrand . Filosofia atomismului logic . - P. 101-104. — ISBN 0-203-86477-8 . Arhivat pe 4 ianuarie 2014 la Wayback Machine
  7. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 17-18.
  8. ↑ 1 2 Gardner M. Hai, ghici!: Per. din engleza. = Ah! am inteles. Paradoxuri pentru puzzle și încântare. - M .: Mir , 1984. - S. 22-23. — 213 p.
  9. ↑ I. V. Iascenko. Paradoxurile teoriei multimilor . - M . : Editura Centrului de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2012. - P. 5. - (Biblioteca „Educația Matematică” Numărul 20). — ISBN 5-94057-003-8 . Arhivat pe 17 august 2016 la Wayback Machine
  10. ↑ J. Bell. Arta inteligibilului: un studiu elementar al matematicii în dezvoltarea sa conceptuală . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 200. - 260 p. — ISBN 9789401142090 .
  11. ↑ Bertrand Russell. Introducere în filosofia matematică . - 1920. - P. 136. Copie de arhivă din 17 mai 2017 la Wayback Machine
  12. ↑ Bertrand Russell. Dezvoltarea mea filosofică . - Psychology Press, 1995. - S. 58. - 228 p. — ISBN 9780415136013 . Arhivat pe 7 aprilie 2022 la Wayback Machine
  13. ↑ 12 Michael Beaney . Cititorul Frege . — Wiley, 07.07.1997. - S. 253. - 430 p. — ISBN 9780631194453 . Arhivat pe 9 mai 2016 la Wayback Machine
  14. ↑ Briefwechsel mit Bertrand Russell . Bibliotheca Augustana. Preluat la 28 iunie 2016. Arhivat din original la 5 martie 2016.
  15. ↑ E. Sinitsyn, O. Sinitsyna. Secretul creativității geniilor . Arhivat pe 15 august 2016 la Wayback Machine
  16. ↑ Gottlob Frege: Grundlagen der Arithmetik , II, 1903, Anhang S. 253-261.
  17. ↑ John P. Burgess. Fixarea Frege . - Princeton University Press, 2005. - S. 32-33. — 276 p. — ISBN 0691122318 .
  18. ↑ E. Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung  (germană)  // Mathematische Annalen. - 1908. - Bd. 65 . - S. 118-119 . — ISSN 0025-5831 . Arhivat din original pe 7 august 2016.
  19. ↑ B. Rang și W. Thomas. Descoperirea lui Zermelo a „Paradoxului Russell”  (engleză)  // Historia Mathematica. - 1981. - Vol. 8 , nr. 1 . - P. 15-22 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1 . Arhivat din original pe 11 aprilie 2019.
  20. ↑ 1 2 Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. optsprezece.
  21. ↑ Colecție (Java Platform SE 8) . Oracol. Preluat la 23 septembrie 2016. Arhivat din original la 18 noiembrie 2016.
  22. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 180.
  23. ↑ Surovtsev, Valeri Alexandrovici. Despre teoria tipurilor simple a lui B. Russell (prefață la publicație)  // Tomsk State University Bulletin. Filozofie. Sociologie. Stiinte Politice. - 2008. - Emisiune. 1 (2) . — ISSN 1998-863X . Arhivat din original pe 17 august 2016.
  24. ↑ 1 2 3 X. Logicism vs. Intuitionism Arhivat 14 august 2016 la Wayback Machine // Kline M. Mathematics: The Loss of Certainty  (engleză) - 1980. - ISBN 978-0-19-502754-9
  25. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 175.
  26. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 139.
  27. ↑ Monk, JD Introducere în teoria seturilor. - McGraw-Hill, 1969. - 193 p.
  28. ↑ Abhijit Dasgupta. Teoria mulțimilor: cu o introducere în seturile de puncte reale . — Springer Science & Business Media, 2013-12-11. - S. 396. - 434 p. — ISBN 9781461488545 .
  29. ↑ Kelly, J.L. Topologie generală . - Nauka, 1968. - S. 327-328.333. — 383 p. Arhivat pe 18 septembrie 2016 la Wayback Machine
  30. ↑ Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Categorii abstracte și concrete: Bucuria  pisicilor . - Dover Publications , 1990. - P. 15-16. — ISBN 978-0-486-46934-8 .
  31. ↑ M. Foreman, A. Kanamori. Manual de teoria multimilor.
  32. ↑ P. S. Novikov Metoda axiomatică. Enciclopedie matematică.
  33. ↑ D.C.Goldrei. Teoria setului clasic: un studiu independent ghidat
  34. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 250.
  35. ↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , p. 17.
  36. ↑ 12 Antonius JC Hurkens . O simplificare a paradoxului lui Girard // Typed Lambda Calculi and Applications  (engleză) . — 10-04-1995. — Vol. 902.—P. 266-278. — ( Lecture Notes in Computer Science ). - doi : 10.1007/BFb0014058 .
  37. ↑ Gray, Robert (1994), Georg Cantor and Transcendental Numbers , American Mathematical Monthly vol. 101: 819–832, doi : 10.2307/2975129 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf > Arhivat 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine 
  38. ↑ N. Griffin. Preistoria paradoxului lui Russell // O sută de ani de paradoxul lui Russell: matematică, logică, filosofie / editat de Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 p. — ISBN 9783110199680 . Arhivat pe 7 aprilie 2022 la Wayback Machine
  39. ↑ Du Bois-Reymond, Paul (1875), Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösungen von Gleichungen , Mathematische Annalen vol. 8: 363–414, doi : 10.1007/bf0144 , < 3187dunisub. goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002243067 > 
  40. ↑ DC McCarty. Hilbert și Paul Du Bois-Reymond // O sută de ani de paradoxul lui Russell: matematică, logică, filosofie / editat de Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 p. — ISBN 9783110199680 . Arhivat pe 7 aprilie 2022 la Wayback Machine
  41. ↑ John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty. Argument diagonal // Logic from A to Z: The Routledge Encyclopedia of Philosophy Glosar de termeni logici și matematici . — Routledge, 2013-09-05. — 126 p. — ISBN 9781134970971 .

Literatură

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii