Transformarea Mellin

Transformarea Mellin este o transformare care poate fi considerată ca o versiune multiplicativă a transformării Laplace cu două fețe . Această transformare integrală este strâns legată de teoria seriei Dirichlet și este adesea folosită în teoria numerelor și în teoria expansiunilor asimptotice . Transformarea Mellin este strâns legată de transformata Laplace și transformata Fourier , precum și de teoria funcțiilor gamma și teoria funcțiilor speciale adiacente .

Transformarea este numită după matematicianul finlandez Hjalmar Mellin care a studiat-o .

Definiție

Transformarea Mellin directă este dată de:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f (x)dx

Transformare inversă - prin formula:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \ limite _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

Se presupune că integrarea are loc în plan complex . Condițiile în care se poate face transformarea sunt aceleași cu condițiile teoremei Mellin de transformare inversă.

Relația cu alte transformări

Integrala Laplace cu două fețe poate fi exprimată în termenii transformării Mellin:

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

Și invers: transformata Mellin este exprimată în termeni de transformată Laplace prin formula:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) .

Transformarea Fourier poate fi exprimată în termeni de transformată Mellin prin formula:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{ \mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Înapoi:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s) =\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(este)

Transformarea Mellin leagă, de asemenea , formulele de interpolare sau transformările binomiale ale lui Newton cu funcția de generare a secvenței folosind ciclul Poisson–Mellin–Newton .

Exemple

Integrala Cahen-Mellin

În cazul în care un:

$c>0,$
$\Re(y)>0,$
$y^{-s)$ pe ramura principală,

apoi [1]

e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{- s}\;ds

, Unde

\Gamma (s)

este funcția gamma .

Numit după Hjalmar Mellin și matematicianul francez Eugène Cahen ( franceză: Eugène Cahen ).

Transformarea Mellin pentru spațiul Lebesgue

Într -un spațiu Hilbert, transformata Mellin este dată oarecum diferit. Pentru un spațiu Lebesgue, orice bandă fundamentală include . În acest sens, este posibil să se definească un operator liniar ca: $L^{2}(0,\infty )$ ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

{\tilde {\mathcal {M)}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty,\infty),\{{\tilde {\ mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+este}f(x)\,dx

Acesta este:

\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f \}({\tfrac {1}{2}}-este)

Acest operator este de obicei notat și numit transformată Mellin, dar aici și în cele ce urmează vom folosi notația . ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

teoreme ale transformării Mellin inversearată că

{\tilde {\mathcal {M)}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty,\infty)\to L^{2}(0,\infty),\{ {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty } ^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.

De asemenea, acest operator este izometric , adică

\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0 ,\infty )}

pentru .

\forall f\in L^{2}(0,\infty )

Aceasta explică raportul ${\frac {1}{\sqrt {2\pi })}$

Legătura cu teoria probabilității

În teoria probabilității, transformata Mellin este un instrument important pentru studierea distribuției variabilelor aleatoare [2] .

În cazul în care un:

$D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
$a\leqslant 0\leqslant b,$
$X$ - valoare aleatorie,
$X^{+}=\max\{X,0\},$
$X^{-}=\max\{-X,0\},$

atunci transformata Mellin este definită ca:

{\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\ int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),

unde este unitatea imaginară .

i

Transformarea Mellin a unei variabile aleatoare determină în mod unic funcția de distribuție a acesteia . ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ $X$ $F_{x}$

Aplicație

Transformarea Mellin este deosebit de importantă pentru tehnologia informației, în special pentru recunoașterea modelelor .

Note

↑ Hardy, G.H.; Littlewood, JE Contribuții la teoria funcției zeta Riemann și teoria distribuției primelor // Acta Mathematica : journal . - 1916. - Vol. 41 , nr. 1 . - P. 119-196 . - doi : 10.1007/BF02422942 . (A se vedea notele de aici pentru referiri suplimentare la lucrările lui Cahen și Mellin, inclusiv teza lui Cahen.)
↑ Galambos, Simonelli, 2004, p. 15

Literatură

Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Produse ale variabilelor aleatoare: aplicații la probleme de fizică și la funcții aritmetice . — Marcel Dekker, Inc., 2004. - ISBN 0-8247-5402-6 .
Paris, R. B.; Kaminski, D. Asymptotics și Mellin-Barnes Integrals (neopr.) . — Cambridge University Press , 2001.
Polyanin, AD; Manzhirov, A. V. Manual de ecuații integrale (neopr.) . - Boca Raton: CRC Press , 1998. - ISBN 0-8493-2876-4 .
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transformări și asimptotice: sume armonice // Informatică teoretică. - 1995. - Vol. 144 , nr. 1-2 . - P. 3-58 .
Tables of Integral Transforms Arhivat la 30 iunie 2007 la Wayback Machine la EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mellin transform , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Mellin Transform (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Link -uri

Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Sume armonice. Arhivat pe 24 mai 2006 la Wayback Machine
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Arhivat 3 noiembrie 2012 la Wayback Machine , grup de știri es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Arhivat 29 ianuarie 2007 la Wayback Machine (în spaniolă).
Mellin Transform Methods Arhivat 11 aprilie 2013 la Wayback Machine , Digital Library of Mathematical Functions , 2011-08-29, Institutul Național de Standarde și Tehnologie
Antonio De Sena și Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Arhivat 14 septembrie 2014 la Wayback Machine

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley