Cerc contiguu

Un cerc care se atinge , un cerc de curbură este un cerc care este cea mai bună aproximare a unei curbe date în vecinătatea unui punct dat . În acest punct, curba și cercul desemnat au tangență , a cărei ordine este de cel puțin 2. Un cerc de curbură există în fiecare punct al unei curbe de două ori diferențiabile cu o curbură diferită de zero ; în cazul curburii zero , linia tangentă , „un cerc cu rază infinită ”, ar trebui considerată ca un contact.

Un cerc (sau linie) care se atinge într-un punct al unei curbe poate fi, de asemenea, definit ca poziția limită a unui cerc (sau a unei linii) care trece prin și două puncte apropiate de acesta atunci când se apropie . $P$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Definiții înrudite

Centrul cercului învecinat se numește centru de curbură , iar raza se numește raza de curbură . Raza de curbură este inversul curburii curbei într-un punct dat: $r^{-1}=k$

Locul centrelor de curbură ale unei curbe se numește evoluție .

Coordonatele centrului de curbură

Centrul de curbură al unei funcții într-un punct este în următorul punct [1] [2] : $y=f(x)$ $(x_0, f(x_0))$

{\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_ {0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0}))){\ mare )}

Proprietăți

Centrul unui cerc care se atinge se află întotdeauna pe normala principală a curbei; de aici rezultă că această normală este întotdeauna îndreptată spre concavitatea curbei.
Inversarea cercului tangent este cercul tangent al inversării curbei în punctul corespunzător.
La vârfurile curbei și numai la acestea, ordinea de tangență a cercului tangent este mai mare decât 2.
Teorema Tate-Kneser afirmă că, dacă curbura unei curbe plane netede este monotonă, atunci cercurile învecinate ale acestei curbe sunt încorporate unul în celălalt.

Istorie

Conceptul de cerc contiguu ( lat. circulum osculans ) a fost introdus de Leibniz . Construcția geometrică corespunzătoare este, de asemenea, conținută în cartea „ Principii matematice ale filosofiei naturale ” de Isaac Newton .

Variații și generalizări

Sfera de contact a curbei spațiului este sfera centrată în punct $\gamma$ $\Sigma _{s)$ $p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2 }(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)$

trecând prin . Aici și notăm curbura și torsiunea curbei, , , este triedrul Frenet .

\gamma (s)

k(s)

\varkappa(s)

\tau

\nu

\beta

Dacă curbura și torsiunea curbei sunt diferite de zero, sfera de atingere este definită și este singura sferă cu care curba are un grad de contact de cel puțin 3.

Note

↑ Schneider V. E. et al. Un scurt curs de matematică superioară. Proc. indemnizație pentru universități. M., „Mai înalt. scoala” p. 870 . Preluat la 26 mai 2020. Arhivat din original la 15 ianuarie 2022. (nedefinit)
↑ UpByte.Net . Preluat la 26 mai 2020. Arhivat din original la 5 iunie 2020. (nedefinit)