Un fagure este o umplere a spațiului cu poliedre care nu se intersectează , în care nu există spațiu neumplut. Aceasta este o generalizare a conceptului matematic de mozaic sau parchet la orice dimensiune.
Fagurii sunt de obicei considerați în spațiul obișnuit euclidian („plat”). Ele pot fi, de asemenea, construite în spații non-euclidiene , cum ar fi fagurele hiperbolic . Orice poliedru uniform finit poate fi proiectat pe circumsfera sa , dând un fagure uniform în spațiul sferic.
Există infinit de celule și pot fi clasificate doar parțial. Cele mai obișnuite plăci primesc cel mai mare interes, deși o gamă bogată și largă de alte plăci este descoperită din nou și din nou.
Cei mai simpli faguri sunt formați din straturi de prisme construite din parchete pe un plan. În special, copiile oricărui paralelipiped pot umple spațiul, fagurii cubici fiind un caz special, deoarece singuri formează faguri obișnuiți în spațiul obișnuit (euclidian). Un alt exemplu interesant este tetraedrul Hill și generalizările sale, care formează și un mozaic în spațiu.
Un fagure omogen 3D este un fagure în spațiu 3D compus din poliedre uniforme având aceleași vârfuri (adică grupul de izometrie al spațiului 3D care păstrează mozaicul este tranzitiv la vârfuri ). Există 28 de exemple de plăci convexe în spațiul euclidian tridimensional [1] , numite și faguri arhimedieni .
Un fagure se numește obișnuit dacă grupul de izometrie care păstrează placarea acționează tranzitiv asupra steagurilor , unde steagul este un vârf situat pe o margine care aparține feței (toate împreună). Orice fagure obișnuit este automat omogen. Cu toate acestea, există un singur tip de fagure obișnuit în spațiul tridimensional euclidian - faguri cubi . Două celule sunt cvasi-regulate (facute din două tipuri de celule obișnuite):
Tip de | fagure cubic | Faguri aproape obișnuiți |
---|---|---|
celule | cub | Octaedric și tetraedric |
Strat |
Fagurele tetraedric-octaedric și fagure tetraedric-octaedric rotat constau din straturi formate din pozițiile a 3-a sau a 2-a de tetraedre și octaedre. Un număr infinit de celule unice poate fi obținut prin alternarea acestor straturi în moduri diferite.
Fagurii tridimensionali care au toate celulele identice, inclusiv simetria, se spune că sunt tranzitivi celulari sau izocori . O celulă din astfel de faguri este numită poliedre care umple spațiu [2] .
Doar cinci poliedre de umplere a spațiului pot umple spațiul euclidian tridimensional folosind doar translația paralelă. Se numesc paraleloedre :
fagure cubic |
Faguri prismatici hexagonali |
Dodecaedru rombic |
Dodecaedru rombic alungit |
Octaedru trunchiat |
Cub (paralelepiped) |
Prismă hexagonală | dodecaedru rombic | Dodecaedru alungit | octaedru trunchiat |
---|---|---|---|---|
3 lungimi de coaste | 3+1 lungimi de margine | 4 lungimi de coaste | 4+1 lungimi de coastă | 6 lungimi de coaste |
Alte exemple notabile:
Uneori, două [9] sau mai multe politopuri diferite pot fi combinate pentru a umple un spațiu. Un exemplu binecunoscut este structura Weir-Phelan , împrumutată din structura cristalelor de hidrat de clatrat [10] .
Structura Weir-Phelan (cu două tipuri de celule)
Exemplele documentate sunt rare. Se pot distinge două clase:
În spațiul hiperbolic tridimensional , unghiul diedru al unui poliedru depinde de dimensiunea poliedrului. Fagurii hiperbolici obișnuiți includ două tipuri cu patru sau cinci dodecaedre care împart marginile. Unghiurile lor diedrice ar fi atunci π/2 și 2π/5, ambele mai mici decât cele ale dodecaedrului euclidian. Cu excepția acestui efect, fagurii hiperbolici satisfac aceleași constrângeri ca fagurii și poliedrele euclidiene.
Sunt investigate 4 tipuri de faguri hiperbolici obișnuiți compacti și mulți faguri hiperbolici omogene .
Pentru orice celule, există celule duale care pot fi schimbate:
celule spre vârf. margini la margini.Pentru celulele corecte:
Fagurii pot fi auto-duali . Toți fagurii hipercubici n - dimensionali cu simboluri Schläfli {4,3 n −2 ,4} sunt autoduali.
Faguri de miere regulați și uniformi convexe fundamentale în spații de dimensiuni 2–10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|