Fagure (geometrie)

Un fagure  este o umplere a spațiului cu poliedre care nu se intersectează , în care nu există spațiu neumplut. Aceasta este o generalizare a conceptului matematic de mozaic sau parchet la orice dimensiune.

Fagurii sunt de obicei considerați în spațiul obișnuit euclidian („plat”). Ele pot fi, de asemenea, construite în spații non-euclidiene , cum ar fi fagurele hiperbolic . Orice poliedru uniform finit poate fi proiectat pe circumsfera sa , dând un fagure uniform în spațiul sferic.

Clasificare

Există infinit de celule și pot fi clasificate doar parțial. Cele mai obișnuite plăci primesc cel mai mare interes, deși o gamă bogată și largă de alte plăci este descoperită din nou și din nou.

Cei mai simpli faguri sunt formați din straturi de prisme construite din parchete pe un plan. În special, copiile oricărui paralelipiped pot umple spațiul, fagurii cubici fiind un caz special, deoarece singuri formează faguri obișnuiți în spațiul obișnuit (euclidian). Un alt exemplu interesant este tetraedrul Hill și generalizările sale, care formează și un mozaic în spațiu.

Faguri omogene 3D

Un fagure omogen 3D  este un fagure în spațiu 3D compus din poliedre uniforme având aceleași vârfuri (adică grupul de izometrie al spațiului 3D care păstrează mozaicul este tranzitiv la vârfuri ). Există 28 de exemple de plăci convexe în spațiul euclidian tridimensional [1] , numite și faguri arhimedieni .

Un fagure se numește obișnuit dacă grupul de izometrie care păstrează placarea acționează tranzitiv asupra steagurilor , unde steagul  este un vârf situat pe o margine care aparține feței (toate împreună). Orice fagure obișnuit este automat omogen. Cu toate acestea, există un singur tip de fagure obișnuit în spațiul tridimensional euclidian - faguri cubi . Două celule sunt cvasi-regulate (facute din două tipuri de celule obișnuite):

Fagurele tetraedric-octaedric și fagure tetraedric-octaedric rotat constau din straturi formate din pozițiile a 3-a sau a 2-a de tetraedre și octaedre. Un număr infinit de celule unice poate fi obținut prin alternarea acestor straturi în moduri diferite.

Poliedre de umplere a spațiului

Fagurii tridimensionali care au toate celulele identice, inclusiv simetria, se spune că sunt tranzitivi celulari sau izocori . O celulă din astfel de faguri este numită poliedre care umple spațiu [2] .

Doar cinci poliedre de umplere a spațiului pot umple spațiul euclidian tridimensional folosind doar translația paralelă. Se numesc paraleloedre :

1. Faguri cubici (sau variații: cuboid , hexagon rombic sau cuboid );
2. Faguri prismatici hexagonali [3] ;
3. Faguri rombi dodecaedrici ;
4. Faguri dodecaedrici alungiți [4] ;
5. Fagure din cuburi adânc trunchiate [5] .

Alte exemple notabile:

• Faguri prismatici triunghiulari .
• Faguri prismatici triunghiulari rotiti uniformi
• Faguri triakistetraedrici trunchiați . Celulele mozaicului Voronoi de atomi de carbon din diamant arată astfel [6] .
• Faguri dodecaedrici trapezoidal-rombi [7] .
• Placuri izoedrice simple [8] .

Alți faguri cu două sau mai multe poliedre

Uneori, două [9] sau mai multe politopuri diferite pot fi combinate pentru a umple un spațiu. Un exemplu binecunoscut este structura Weir-Phelan , împrumutată din structura cristalelor de hidrat de clatrat [10] .

Structura Weir-Phelan (cu două tipuri de celule)

Faguri 3D neconvexi

Exemplele documentate sunt rare. Se pot distinge două clase:

• celule neconvexe împachetate fără suprapunere, similare plăcilor poligonale concave; acestea includ împachetarea mici dodecaedre rombice stelate ca în cubul lui Yoshimoto ;
• mozaicuri cu celule suprapuse, în care densitățile pozitive și negative sunt „distruse” cu formarea unui continuum de densitate uniformă, similar cu mozaicurile cu suprapunere pe plane.

Faguri hiperbolici

În spațiul hiperbolic tridimensional , unghiul diedru al unui poliedru depinde de dimensiunea poliedrului. Fagurii hiperbolici obișnuiți includ două tipuri cu patru sau cinci dodecaedre care împart marginile. Unghiurile lor diedrice ar fi atunci π/2 și 2π/5, ambele mai mici decât cele ale dodecaedrului euclidian. Cu excepția acestui efect, fagurii hiperbolici satisfac aceleași constrângeri ca fagurii și poliedrele euclidiene.

Sunt investigate 4 tipuri de faguri hiperbolici obișnuiți compacti și mulți faguri hiperbolici omogene .

Dualitatea fagurilor în trei dimensiuni

Pentru orice celule, există celule duale care pot fi schimbate:

Pentru celulele corecte:

• Fagurii cubici sunt auto-duali.
• Fagurii formați din octaedre și tetraedre sunt duali cu fagurii de dodecaedre rombice.
• Fagurii stratificati obținuți din plăci plane uniforme sunt duali cu cei obținuți din plăci duble.
• Fagurii duali față de restul fagurilor arhimedieni sunt tranzitivi celular și sunt descriși în lucrarea lui Inchbald [11] .

Faguri auto-duali

Fagurii pot fi auto-duali . Toți fagurii hipercubici n - dimensionali cu simboluri Schläfli {4,3 n −2 ,4} sunt autoduali.

Vezi și

• Lista plăcilor uniforme
• Lista politopilor și compușilor multidimensionali obișnuiți § Plasări ale spațiului tridimensional euclidian

Note

1. ↑ Grünbaum, 1994 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Poliedrul de umplere a spațiului  pe site- ul Wolfram MathWorld .
3. ↑ [1] Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine Prisme omogene de umplere a spațiului bazate pe triunghi, pătrat și hexagon
4. ↑ [2] Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine Dodecaedre rombice-hexagonale omogene care umple spațiul
5. ↑ [3] Arhivat la 14 ianuarie 2006 la Wayback Machine Octaedre trunchiate omogene care umple spațiu
6. ↑ Poliedrul Voronoi
7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , p. 1843–1850
8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , p. 358-362.
9. ↑ Copie arhivată (link nu este disponibil) . Consultat la 16 mai 2012. Arhivat din original la 30 iunie 2015.  (nedefinit)  Gabbrielli, Ruggero. Un poliedru cu treisprezece fețe care umple spațiul cu copia sa chirală.
10. ↑ Pauling, 1960 .
11. ↑ Inchbald, 1997 , p. 213–219.

Literatură

• HS M Coxeter . Capitolul 8: Tranziție //Politopi obișnuiți . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Capitolul 5: Ambalarea poliedrelor și umplerea spațiului // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - New York: Dover Publications , 1979. - pp  . 164-199 .
• K. Critchlow. Comandă în spațiu. - New York: Thames & Hudson Inc., 1997. - ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grunbaum. Tiling uniform de 3-spații // Geombinatoriale . - 1994. - Emisiune. 4(2) .
• P. Pearce. Structura în natură este o strategie de proiectare. — Cambridge, Massachusetts, Londra: MIT Press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. Un nou program pentru optimizarea modelelor de limită periodice ale biomoleculelor solvatate (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. - 2001. - T. 22 , nr. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Plasări simple izoedrice: binodale și prin plăci cu <16 fețe  // Acta Cryst. - 2005. - Emisiune. A61 .
• Linus Pauling. Natura legăturii chimice . - Cornell University Press, 1960. - ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. Dualurile Fagurelui Arhimedean // Gazeta Matematică. - 1997. - Emisiune. 81 , iul .

Link -uri

• Glosar pentru hiperspațiu
• Cinci poliedre care umple spațiu , Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , noiembrie 1996, pp 466-475.
• Raumfueller (poliedre de umplere a spațiului) de TE Dorozinski

Faguri de miere regulați și uniformi convexe fundamentale în spații de dimensiuni 2–10

Familie // _ Mozaic omogen {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Faguri convexi omogene {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 fagure uniform bidimensional {3 [5] } δ5 _ h5 5 q5 5 Fagure de 24 de celule fagure uniform în șase dimensiuni {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 fagure uniform în șapte dimensiuni {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ fagure uniform opt-dimensional {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 fagure uniform nou-dimensional {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Faguri uniformi n -dimensionali {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21