Teorema sferică a lui Pitagora

Teorema sferică a lui Pitagora este o teoremă care stabilește relația dintre laturile unui triunghi sferic dreptunghic .

Declarație și dovadă

Teorema sferică a lui Pitagora este formulată după cum urmează [1] :

Cosinusul ipotenuzei unui triunghi sferic dreptunghic este egal cu produsul cosinusului catetelor sale.

Demonstrarea va fi efectuată folosind un unghi triedric [1] OA 1 B 1 C 1 cu laturile (razele) OA 1 , OB 1 , OC 1 și un vârf în punctul O, unghiurile plane A 1 OC 1 și C 1 dintre care OB 1 sunt egale cu catetele b și a ale acestui triunghi, unghiul plan A 1 OB 1 este egal cu ipotenuza sa c, unghiul diedru dintre fețele A 1 OC 1 și C 1 OB 1 este de 90 de grade, iar alte două unghiuri diedrice sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale triunghiului dreptunghic sferic. Acest unghi triedric este intersectat de planul A 1 B 1 C 1 perpendicular pe raza OB 1 . Atunci unghiurile A 1 C 1 O și A 1 C 1 B 1 vor fi drepte.

observa asta

De aici

Q.E.D.

Dacă presupunem că teorema cosinusului sferic a fost deja dovedită, formula pentru teorema lui Pitagora sferică poate fi obținută imediat din ea scriind teorema cosinusului sferic pentru ipotenuza unui triunghi sferic dreptunghic dat și pur și simplu înlocuind în expresia rezultată. unghiul de 90 de grade, al cărui cosinus este zero.

Consecințe și aplicații

Pe măsură ce raza sferei tinde spre infinit, teorema sferică a lui Pitagora devine teorema lui Pitagora a planimetriei . Prin urmare, întrucât raza Pământului este mare, la distanțe mici, triunghiurile dreptunghiulare de pe suprafața Pământului (de exemplu, folosite pentru măsurarea distanțelor și unghiurilor pe sol) se supun practic teoremei lui Pitagora a planimetriei [2] , în timp ce pentru distanțe mari comparabile cu raza Pământului, este deja necesară aplicarea teoremei lui Pitagora sferice.

Folosind teorema sferică a lui Pitagora, se pot obține formule pentru diferența de longitudini și distanțe dintre punctele de pe suprafața pământului și, în consecință, formulele corespunzătoare pentru distanțe și coordonatele punctelor de pe sfera cerească .

Din teorema sferică a lui Pitagora rezultă că într-un triunghi sferic dreptunghic numărul laturilor mai mici de 90 de grade este impar, iar numărul celor mari este par [1] . Prin urmare, dacă ambele catete ale unui triunghi sferic dreptunghic sunt mai mari de 90 de grade, atunci ipotenuza sa este mai mică de 90 de grade, adică, în acest caz, ipotenuza este mai scurtă decât fiecare dintre cele două catete - o poziție care este imposibilă pentru un triunghi dreptunghic pe un plan.

Istorie

Teorema sferică a lui Pitagora era cunoscută și lui Al-Biruni , care în același timp nu cunoștea teorema cosinusului sferic, de aceea a aplicat teorema lui Pitagora sferică și teorema sinusului pentru a rezolva cel puțin două probleme: determinarea diferenței de longitudini a două. punctele de pe suprafața Pământului după latitudinile lor și distanța dintre ele și determinarea distanței dintre două puncte de pe suprafața Pământului după latitudinile și longitudinile lor [3] :81 .

Vezi și

• teorema lui Pitagora

Note

1. ↑ 1 2 3 Stepanov N.N. Teorema lui Pitagora sferică // Trigonometrie sferică . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 p.
2. ↑ John McCleary. Geometrie dintr-un punct de vedere diferentiabil . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 p. Arhivat pe 22 ianuarie 2021 la Wayback Machine
3. ↑ Rosenfeld B.A., Rozhanskaya M.M. Lucrarea astronomică a lui Al-Biruni „Canonul lui Mas’ud”  // Cercetări istorice și astronomice . - M . : Nauka , 1969. - Numărul. x . - S. 63-96 . Arhivat din original pe 10 septembrie 2010.