Triunghi sferic

Un triunghi sferic este o figură geometrică pe suprafața unei sfere , constând din trei puncte și trei arce de cercuri mari care leagă aceste puncte în perechi. Trei cercuri mari de pe suprafața unei sfere care nu se intersectează într-un punct formează opt triunghiuri sferice . Relațiile dintre elementele triunghiurilor sferice sunt studiate prin trigonometrie sferică .

Latura unui triunghi sferic este măsurată prin valoarea unghiului central bazat pe acesta . Unghiul unui triunghi sferic se măsoară prin valoarea unghiului diedric dintre planurile în care se află laturile acestui unghi. Un triunghi sferic, ale cărui laturi sunt mai mici de jumătate din cercul mare, iar unghiurile sunt mai mici de π, se numește Euler [1] :9 . În continuare, sunt luate în considerare triunghiurile Euler.

Proprietăți

Pe lângă cele trei semne de egalitate ale triunghiurilor plane, încă unul este valabil pentru triunghiurile sferice: două triunghiuri sferice sunt egale dacă unghiurile lor corespondente sunt egale [1] :16 . În geometria euclidiană, astfel de triunghiuri sunt similare . În geometria sferică, orice transformare de similitudine este izometrică (adică coeficientul de asemănare este întotdeauna egal cu unu), deci în geometria sferică nu există figuri similare inegale (adică figuri care sunt translate unele în altele printr-o transformare de similitudine).
Un triunghi polar pentru un triunghi sferic dat (ABC) este un triunghi sferic (A'B'C') ale cărui vârfuri A', B', C' sunt polii lui [a] în raport cu laturile BC, CA, AB , respectiv. În acest caz, punctele A și A', B și B', C și C' se află pe aceeași parte față de BC, CA, respectiv AB. [3]
- Pentru orice triunghi polar sunt îndeplinite următoarele reguli: ; , unde este unghiul și latura . $K'=\pi -k$ $k'=\pi -K$ $K=\alpha,\beta,\gamma$ $k=a,b,c$
- Un triunghi sferic, ale cărui laturi sunt egale cu un unghi drept, va fi polar față de el însuși.
- Triunghiul polar, construit pe triunghiul polar pentru unul sferic, coincide cu cel original.

Pentru laturile unui triunghi sferic sunt valabile 3 inegalități triunghiulare : fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi și mai mare decât diferența lor [1] :11 .

Suma tuturor laturilor este întotdeauna mai mică decât [1] :11 . $a+b+c$ $2\pi$
- Mărimea se numește
defect sferic [4] [5] . $2\pi -(a+b+c)$

Suma unghiurilor unui triunghi sferic este întotdeauna din ce în ce mai mare [6] [7] [1] :14—15 . $s=\alpha +\beta +\gamma$ $3\pi$ $\pi$
- Valoarea se numește
exces sferic sau curtoză sferică [4] . $s-\pi=\varepsilon$
Aria unui triunghi sferic este determinată de formula . Proporționalitatea ariei cu excesul sferic rezultă din acoperirea sferei cu trei digoane , formând un triunghi sferic. [8] [9] [1] :44 $S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$

Dacă scădem pe al treilea din două unghiuri ale unui triunghi sferic, obținem un unghi mai mic decât [1] :15 . $\pi$
Spre deosebire de un triunghi plat, un triunghi sferic poate avea două sau trei unghiuri drepte sau obtuze.

Rezolvarea triunghiurilor sferice

Un triunghi sferic dreptunghic este complet definit de două elemente, celelalte trei sunt găsite folosind regula mnemonică a lui Napier . Și pentru a rezolva un triunghi sferic oblic, trebuie să cunoașteți trei dintre elementele sale. Pentru a rezolva, puteți folosi următoarele relații între ele [1] :102-139 :

Formula de jumătate de latură și formula de jumătate de unghi - la rezolvarea pe trei laturi și trei unghiuri;
Formulele de analogie ale lui Napier - la rezolvarea pe două laturi și unghiul dintre ele și pe două unghiuri și latura adiacentă acestora;
Teorema sinusului și formulele de analogie ale lui Napier - la rezolvarea pe două laturi și unghiul opus uneia dintre ele și pe două unghiuri și latura opusă uneia dintre ele.

Comentarii

↑ Un pol față de AB este un punct X al sferei astfel încât segmentul OX (aici O este centrul sferei) este perpendicular pe planul cercului mare AB. [2] Există două astfel de puncte. De exemplu, dacă AB este arcul ecuatorului, atunci polii lui AB sunt polii nord și sud.

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 521.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 530.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. — M .: Nauka, 1974.
↑ Triunghi sferic
↑ Articol arhivat pe 23 septembrie 2013 la Wayback Machine in Advances in the Physical Sciences
^ Weisstein , Eric W. Triunghiul sferic la Wolfram MathWorld .
↑ Wentzel M. K. Trigonometrie sferică. - ed. a II-a, IGKL, 1948, 115 p. (disponibil la bookfi.org ). Pentru o dovadă riguroasă că aria este proporțională cu excesul sferic, vezi p. 82
↑ Vasiliev N., Gutenmakher V. Suma unghiurilor unui poligon sferic Copie de arhivă din 5 februarie 2018 la Wayback Machine // Kvant , nr. 2, 1988

Literatură

Prasolov VV Geometria lui Lobaciovski. - M. , 1995.(§ 1. Geometrie sferică.)
Concepte de bază de geometrie sferică și trigonometrie // Enciclopedia matematicii elementare. - Fizmatgiz, 1963. - V. 4 (geometrie) . - S. 518-558 .

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Mare norvegian Britannica (online)

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric