Teorema de descompunere Helmholtz

Teorema de descompunere Helmholtz este o afirmație despre descompunerea unui câmp vectorial diferențiabil arbitrar în două componente:

Dacă divergența și curba unui câmp vectorial sunt definite în fiecare punct al unei regiuni finite deschise V a spațiului, atunci peste tot în V funcția poate fi reprezentată ca suma unui câmp irrotațional și a unui câmp solenoidal : ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

Unde

\operatorname {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

pentru toate punctele din regiunea V. $\mathbf {r}$

Într-o formulare mai populară pentru întreg spațiul, teorema lui Helmholtz spune:

Orice câmp vectorial , cu o singură valoare, continuu și mărginit în spațiu, poate fi descompus într-o sumă de câmpuri vectoriale potențiale și solenoidale și reprezentat ca: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

Unde $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

O funcție scalară se numește potențial scalar, o funcție vectorială se numește potențial vectorial. [1] . $\Phi$ $\mathbf {A}$

Enunțul teoremei

Fie F un câmp vectorial în R ³ și să fie de două ori diferențiabil continuu și să scadă la infinit mai repede decât 1/ r în cazul unui domeniu nemărginit. [2] Atunci câmpul F poate fi reprezentat ca suma unui câmp irrotațional (al cărui rotor este zero) și a unui câmp solenoidal (a cărui divergență este zero).

Una dintre reprezentările posibile pentru câmpul vectorial F în această formă este suma gradientului și curba a două funcții calculabile în mod explicit, așa cum este scris mai jos:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

unde este operatorul newtonian (dacă acționează asupra unui câmp vectorial ca ∇ × F , acționează asupra fiecărei componente a acestuia). ${\mathcal {G}}$

Dacă F are divergență zero , ∇ F = 0, atunci F se spune că este solenoidală sau fără divergență, iar expansiunea Helmholtz a câmpului F se reduce la

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

În cazul unei astfel de reprezentări a câmpului A se numește potențial vectorial al câmpului F . Pentru un câmp solenoidal (adică un câmp cu divergență zero), este întotdeauna posibil să se construiască o funcție vectorială (potențial vectorial) al cărei câmp este rotorul. Potențialul vectorial pentru un câmp solenoidal dat este determinat cu un grad semnificativ de libertate. În special, fără pierderea generalității, i se poate impune condiția de calibrare (sau normalizare) Coulomb ∇· A = 0 (un caz special al unui potențial vectorial fără divergență; vezi și problema restabilirii unei funcții vectoriale dintr-o curl). și divergența de mai jos). Puteți adăuga liber gradientul oricărei funcții scalare la potențialul vectorial - aceasta nu îi schimbă curba, adică câmpul solenoidal definit de aceasta (și dacă funcția scalară indicată satisface ecuația Laplace, atunci condiția calibrării Coulomb). nici nu se modifică atunci când potenţialul vectorial îl satisface) .

Dacă F are un rotor zero, ∇× F = 0, atunci F se numește câmp irrotațional sau potențial local , iar expansiunea lui F ia forma

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

În cazul unei astfel de reprezentări a câmpului φ se numește potențial scalar al câmpului F . Pentru un câmp irrotațional (adică un câmp cu un rotor zero), este întotdeauna posibil să se construiască o funcție scalară (potențial scalar), al cărei gradient este acest câmp. Potențialul scalar pentru un câmp irrotațional dat este determinat până la o constantă aditivă.

În cazul general, F poate fi reprezentat prin sumă

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

unde gradientul negativ al potențialului scalar este componenta irrotațională a câmpului, iar rotorul potențialului vectorial este componenta solenoidală. Reprezentarea lui F ca sumă a unui câmp irrotațional și a unui câmp solenoidal nu este unică, deoarece la φ se poate adăuga întotdeauna o funcție arbitrară ψ care satisface ecuația Laplace și la A , o funcție vectorială H compatibilă cu ψ , care este rezultatul rezolvării problemei recuperării unei funcții vectoriale din rotor și divergență (vezi mai jos) conform ecuațiilor ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. O astfel de substituție nu numai că modifică potențialele scalare și vectoriale implicate în expansiunea Helmholtz, dar, de asemenea, modifică semnificativ câmpul irotațional -∇(φ+ψ) și câmpul solenoidal ∇× (A+H) , în suma cărora câmpul F se descompune .

Câmpuri definite prin curl și divergență

Strâns legată de teorema lui Helmholtz este problema reconstrucției unui câmp vectorial dintr-o divergență și o ondulare, care este uneori numită problema Helmholtz .

Să fie dat un câmp scalar și un câmp vectorial , care sunt suficient de netede și fie sunt date într-o regiune mărginită, fie scad mai repede decât 1/ r² la infinit. Este necesar să se găsească un câmp vectorial astfel încât ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

și

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Când se analizează existența și unicitatea unei soluții la o problemă, ar trebui să se facă distincția între:

problemă internă (rotorul, divergența și funcția vectorială în sine sunt considerate în interiorul unei zone delimitate cu o limită suficient de netedă),
o problemă externă (rotorul, divergența și funcția vectorială în sine sunt luate în considerare pentru spațiul R ³ cu o „găuri” tăiată, care are o limită destul de netedă),
problemă pentru întreg spațiul R ³.

Problema internă (cu condiția ca aceasta să fie rezolvabilă) are o soluție unică dacă proiecția normală pentru funcția vectorială este dată de-a lungul limitei regiunii . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

Problema externă (în condiția solubilității ei) are o soluție unică dacă proiecția normală pentru funcția vectorială este dată de-a lungul graniței regiunii , iar funcției vectoriale se impune cerința ca aceasta să scadă la infinit cel puțin cu . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Problema pentru întregul spațiu R ³ (în condiția solubilității sale) are o soluție unică dacă se impune cerința funcției vectoriale ca aceasta să scadă la infinit cel puțin cu . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

În toate aceste cazuri, soluția la problema Helmholtz este unică dacă există pentru datele de intrare date.

Condiții necesare pentru existența unei soluții

Problema are o soluție nu pentru toți și : ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {g(S)))$

Din identitate rezultă că condiția trebuie îndeplinită , adică divergența vectorului trebuie să fie egală cu zero. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$
Pentru problema internă , din identitate rezultă că , adică integrala condiției la limită peste suprafața de limită trebuie să fie egală cu integrala funcției peste volumul regiunii. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\mathbf {d}}(x,y,z)$
Pentru o problemă externă și pentru o problemă dată pentru întreg spațiul R³ , funcțiile și trebuie să tindă la zero la infinit destul de repede împreună cu funcția în sine. $\mathbf{d}$ ${\mathbf {C}}$

Condiții suficiente pentru existența și unicitatea unei soluții

A. Sarcina internă : dacă

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ și
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

atunci soluția la problema recuperării câmpului din curl , divergență și condiția de limită există și este unică.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

B. Sarcina externă : dacă

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ și
integralele și converg atunci când se integrează pe un volum infinit și scad la infinit cel puțin ca , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\la \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

apoi soluția la problema recuperării câmpului din rotor , divergența , condiția la limită și condiția care cade la infinit cel puțin ca , există și este unică.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

B. Problemă pentru întregul spațiu R ³ : dacă

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ și
integralele și converg atunci când se integrează pe un volum infinit și scad la infinit cel puțin ca , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\la \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

apoi soluția la problema recuperării câmpului din curl , divergență și condiția care cade la infinit cel puțin ca , există și este unică.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

Rezolvabilitatea și unicitatea soluției problemei Helmholtz este strâns legată de solubilitatea și unicitatea soluției problemei Neumann pentru ecuația Laplace din același domeniu (vezi mai jos algoritmul pentru construirea unei soluții la problema Helmholtz).

Descompunerea unui câmp vectorial în suma unui câmp irrotațional și a unui câmp solenoidal

Folosind problema restabilirii unei funcții vectoriale dintr-o ondulare și divergență, extinderea unui câmp vectorial în suma unui câmp irrotațional și a unui câmp solenoidal poate fi realizată după cum urmează: ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

Pentru o funcție vectorială dată se calculează: funcție funcție , condiție de limită , dacă funcția vectorială este dată pentru o subregiune a spațiului cu graniță . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$
Când vine vorba de sarcina internă, apoi de la identitate , urmează condiția de compatibilitate . Prin urmare, sunt îndeplinite toate condițiile de compatibilitate a datelor de intrare pentru problemă și cu condiția la limită , problema este rezolvabilă și are o soluție unică. Funcția vectorială rezultată este un câmp irotațional. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ ${\mathbf {F_{1))}$
Deoarece , sunt îndeplinite condițiile de compatibilitate pentru datele de intrare pentru problemă și cu o condiție la limită zero, problema este rezolvabilă și are o soluție unică. Funcția vectorială rezultată este un câmp solenoidal. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {F_{2))}$
Luați în considerare problema , cu condiția la limită . Condițiile de compatibilitate a datelor de intrare sunt îndeplinite, problema este rezolvabilă și are o soluție unică. În acest caz, pe de o parte, soluția acestei probleme este funcția în sine , iar pe de altă parte, soluția aceleiași probleme este funcția . Prin urmare, a fost construită reprezentarea dorită a câmpului ca sumă a unui câmp irrotațional și a unui câmp solenoidal. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}$ $\mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2)$ $\mathbf {F}$

Reprezentarea construită a unui câmp vectorial ca sumă a două câmpuri nu este unică. Există câmpuri vectoriale care sunt atât irrotaționale (rotorul este zero) cât și solenoidale (divergența este zero). Aceste câmpuri sunt gradienți de funcții scalare care satisfac ecuația Laplace (și numai ele). Adăugând orice astfel de câmp la primul termen și scăzându-l din al doilea termen, obținem o nouă partiție a câmpului vectorial în suma unui câmp irrotațional și solenoidal.

Restaurarea funcției vectoriale din rotor și divergență

Soluția la problema restabilirii unei funcții dintr-o condiție de curl, divergență și limită poate fi construită după cum urmează:

1) Pentru o funcție dată , funcția este calculată , unde potențialul scalar este calculat prin formula

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\mathbf {U}}(x,y,z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Rezultatul este o funcție pentru care și ;

{\mathbf {F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) Pentru o funcție dată , funcția este calculată , unde potențialul vectorial este calculat prin formula

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\mathbf {A}}(x,y,z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Rezultatul este o funcție pentru care și ;

{\mathbf {F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Căutăm o funcție pentru care , , și proiecția normală pe granița regiunii este aleasă în așa fel încât să satisfacă condiția la limită .

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

Pentru a găsi o astfel de funcție se face o substituție , unde potențialul scalar trebuie să satisfacă ecuația Laplace . Pentru funcția , se obține condiția la limită Neumann și este ușor de verificat dacă criteriul de rezolvare a problemei Neumann va fi satisfăcut. Prin urmare, funcția există întotdeauna, este definită în mod unic pentru sarcina externă și până la o constantă aditivă pentru sarcina internă. Ca rezultat, funcția de care avem nevoie există întotdeauna și este unică.

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\Delta {\mathbf {H}}=0

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\mathbf {H}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

Funcția este o soluție pentru sarcină și singura. Dacă condiția la limită nu este specificată, soluția problemei sunt toate funcțiile posibile de forma , unde , este gradientul oricărei funcții care satisface ecuația Laplace. Dacă problema este pusă în întreg spațiul R³ , soluția (unica) va fi o funcție care are comportamentul dorit la infinit. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Formularea alternativă a teoremei lui Helmholtz

Ca urmare, teorema Helmholtz poate fi reformulată în următorii termeni. Fie C un câmp vectorial solenoidal ( div C=0 ) și d un câmp scalar în R ³, care sunt suficient de netede și sunt fie date într-o regiune mărginită, fie descresc mai repede decât 1/ r² la infinit. Atunci există un câmp vectorial F astfel încât

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

și

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Dacă, în plus, câmpul vectorial F este considerat în întregul spațiu R ³ și dispare ca r → ∞, atunci F este unic. [2] În cazul general, soluția este determinată până la un aditiv aditiv - gradientul unei funcții arbitrare care satisface ecuația Laplace.

Cu alte cuvinte, în anumite condiții, un câmp vectorial poate fi construit din curba și divergența sa, iar când problema este definită în întreg spațiul R³ , soluția este unică (în ipoteza a priori că câmpul dispare destul de mult la infinit). repede). Această teoremă este de mare importanță în electrostatică ; de exemplu, ecuațiile lui Maxwell în cazul static descriu câmpuri doar de acest tip [2] . După cum am menționat deja mai sus, una dintre posibilele soluții:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Vezi și

Note

↑ Lee, 1965 , p. cincizeci.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Literatură

Kochin N. E. — Calculul vectorial și începuturile analizei tensorale
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Metode matematice în fizică. - M . : Mir, 1965. - 296 p.