Teoria Chern-Weil

Clasele caracteristice sunt o generalizare de anvergură a unor astfel de concepte cantitative ale geometriei elementare, cum ar fi gradul unei curbe algebrice plane sau suma indicilor punctelor singulare ale unui câmp vectorial de pe o suprafață. Ele sunt descrise mai detaliat în articolul corespunzător. Teoria Chern - Weil permite ca unele clase caracteristice să fie reprezentate ca expresii de curbură .

Încorporarea utilizând un sistem liniar

Mulțimi de puncte de pe o curbă algebrică cu anumite multiplicități se numesc divizori . Dacă, de exemplu, o curbă este dată pe planul proiectiv complex (sau, mai general, spațiu proiectiv complex ), atunci mulțimea de puncte de-a lungul cărora este intersectată de o dreaptă, cu multiplicitățile egale cu multiplicitățile intersecției ( sau, dacă curba se află în spațiul , un hiperplan) este un divizor. În geometria algebrică, nu sunt considerați divizori individuali, ci clasele lor. De exemplu, o curbă plană poate fi asociată cu o clasă de divizori constând din divizori tăiați pe curbă de toate liniile posibile (toate hiperplanele posibile). Se numește sistem divizor liniar corespunzător înglobării date (de obicei se numește pur și simplu „sistem liniar”). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Întrebare. Să fie dată o curbă abstractă care nu este încorporată nicăieri și un sistem liniar corespunzător unei incluziuni. Este posibil să se recupereze această încorporare din ea (până la o transformare proiectivă a spațiului ambiental)?

Se dovedește că acest lucru este posibil. Pentru a face acest lucru, totuși, trebuie să înțelegem mai bine ce este un hiperplan într-un spațiu proiectiv. Într-un spațiu afin, un hiperplan poate fi dat ca nucleu (mult de zerouri) al unei funcții liniare (și o astfel de funcție va fi unică până la înmulțirea cu un număr diferit de zero). Pe un spațiu proiectiv, totuși, nu există funcții liniare: fiecare funcție holomorfă dintr-o varietate complexă compactă este constantă. Dacă este un spațiu vectorial, atunci punctele sale de proiectizare sunt linii , iar dacă este o funcție liniară pe , atunci „valoarea” în punct este o funcțională liniară pe spațiul liniar corespunzător , adică un vector în spațiul liniar dual . Mai mult decât atât, liniile pe care această funcțională este identic zero sunt exact liniile care se află în nucleu ; punctele corespunzătoare din proiectivizare formează un hiperplan proiectiv. $V$ $\mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\varphi$ $V$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\ell ^{*}$ $\varphi$

Aceasta se formalizează astfel: proiectivizarea admite un fascicul de linii tautologice peste sine , a cărui fibră peste un punct este linia însăși , considerată ca un spațiu liniar. Acest pachet este notat cu simbolul . Mănunchiul de linii conjugat cu acesta (adică unul ale cărui straturi în fiecare punct sunt duale cu straturile mănunchiului original în aceleași puncte) se notează cu ; secțiunile sale corespund funcționalelor liniare pe un spațiu vectorial . În consecință, seturile de zerouri de secțiuni sunt hiperplane. Astfel, dacă este o curbă proiectivă, atunci sistemul liniar corespunzător de pe ea constă din divizori ai zerourilor de secțiuni ale mănunchiului . $\mathrm {P} (V)$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ ${\mathfrak {O}}(-1)$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $V$ $C\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak {O}}(1)|_{C}$

Dacă există o curbă abstractă, atunci fasciculul de linii de pe acesta poate fi reconstruit din seturile de zerouri ale diferitelor sale secțiuni (cu condiția să existe suficient de multe secțiuni diferite). Astfel, având în vedere un sistem liniar de divizori pe o curbă abstractă, se poate reconstrui un pachet de linii pentru care acești divizori sunt niveluri zero ale secțiunilor sale. Prin urmare, întrebarea poate fi reformulată după cum urmează.

Întrebare. Să existe o încorporare a unei curbe algebrice și să fie o restricție a pachetului la aceasta . Cunoscând doar , este posibilă recuperarea investiției ? $f\colon C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\la C$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $f$

Rețineți că pachetul are următoarea proprietate: pentru orice punct există o secțiune astfel încât . Acest lucru este adevărat, de exemplu, deoarece pentru orice punct de pe o curbă spațială, se poate alege o secțiune a unui hiperplan care nu trece prin acel punct și se poate restricționa secțiunea corespunzătoare la curbă. Pachetele cu această proprietate se numesc secțiuni globale generate . Construcția cuibării este acum foarte simplă. Luați în considerare spațiul secțiunii . Fiecare punct definește o mapare printr -o mapare de calcul . Astfel, un punct pe o curbă definește un vector în spațiu , bine definit până la proporționalitate - adică un punct în spațiul proiectiv . Aceasta definește încorporarea , care coincide cu cea originală până la o corespondență proiectivă. $L$ $x\in C$ $s\in \Gamma (L)$ $s(x)\neq 0$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\Gamma (L)$ $x\in C$ $\Gamma (L)\la L_{x)$ $s\mapsto s(x)$ $\Gamma (L)^{*}$ $\mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$ $C\la \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

Ce am arătat de fapt? Orice pachet de linii de pe o curbă generată de secțiuni globale poate fi obținut ca imagine inversă a pachetului în raport cu o mapare algebrică . În acest caz, gradul mănunchiului (numărul de zerouri la secțiunea sa comună) se dovedește a fi egal cu gradul imaginii curbei sub o astfel de încorporare. Poate fi înțeles ca numărul de puncte de intersecție cu hiperplanul - adică indicele de intersecție al claselor de omologie și , sau ca o integrală: forma Fubini-Study este Poincaré duală cu clasa secțiunii hiperplanului (până la multiplicarea cu ) , deci gradul divizorului poate fi calculat ca . Rețineți că forma Fubini-Study este o formă de curbură pe fascicul . Astfel, gradul unui fascicul de linii pe o curbă algebrică generată de secțiuni globale poate fi exprimat ca integrala de curbură a unei conexiuni de pe aceasta. Teoria Chern-Weil afirmă mult mai mult: în special, gradul oricărui pachet de linii peste o curbă algebrică (și, în general, orice varietate orientabilă compactă bidimensională reală) este egal cu integrala de curbură a oricărei conexiuni din ea (împărțit la ) . ${\mathfrak {O}}(1)\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $[f(C)]$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int _{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f^{*} \omega$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Clasificarea mapărilor pentru pachetele de linii

Implementarea pachetelor de linii folosind mapări pe un sistem liniar suferă de dezavantaje semnificative: de exemplu, un pachet poate să nu aibă deloc secțiuni. În cazul unei curbe, aceasta poate fi corectată artificial, deoarece atunci există secțiuni ale pachetului dual și, uneori, se poate obține pachetul original ca o retragere de-a lungul hărții antiholomorfe . Dar pe o suprafață complexă, un pachet de linii poate fi „pozitiv” într-o direcție și „negativ” în cealaltă, iar un astfel de truc nu mai poate fi renunțat. În același timp, mapările peste un sistem liniar dau o anumită intuiție, ceea ce permite cuiva să obțină mult mai mult dacă ni se oferă mapări algebrice sau holomorfe, ci continue arbitrare. ${\mathfrak {O}}(1)$

Să revenim la pachetul , și vom presupune că spațiul este echipat cu o metrică hermitiană. Apoi pachetul este înzestrat cu o metrică hermitiană. Evidențiem un mănunchi de vectori de lungime unitară în el: un grup unitar acționează asupra lui , în plus, în fiecare strat liber și tranzitiv. Spațiul total al acestui pachet poate fi identificat cu sfera unității în . O fibrație cu cerc de fibre este binecunoscuta fibrație Hopf . ${\mathfrak {O}}(1)\la \mathrm {P} (V)$ $V$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $S^{2n+1}$ $V$ $S^{2n+1}\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Spațiul hermitian (incomplet) , realizat ca limită de incluziuni cu topologia de unire, conține sfera unitară , la care se aplică în aceeași măsură cele de mai sus. Un coeficient prin acțiune este un spațiu proiectiv cu dimensiuni infinite, cu topologia uniunii subspațiilor sale de dimensiuni finite constituind un steagul complet. Cu toate acestea, spre deosebire de omologii săi cu dimensiuni finite, diferă în următoarele proprietăți: $\mathbb {C} ^{\infty }$ $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} ^{3}\subset \dots$ ${\displaystyle S^{\infty ))$ $S^{\infty }$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$

Spațiul total al unui pachet Hopf cu dimensiuni infinite (adică ) este contractibil . $S^{\infty }$
Dacă este un fascicul principal cu fibră , adică un fascicul de cerc echipat cu o acțiune de grup unitară , care este liberă și tranzitivă pe fiecare fibră, atunci există o mapare care este izomorfă cu imaginea inversă a fasciculului Hopf infinit de-a lungul . $P\la X$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$ $f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ $P$ $f_{P)$
Pentru un pachet principal dat , toate astfel de hărți sunt homotopice unele față de altele. Oricare dintre acestea se numește mapare de clasificare . $P\la X$ $f_{P)$

Deși spațiul total al unui pachet Hopf infinit este contractibil, topologia bazei sale este netrivială: pentru fiecare număr par, coomologia întregului său este unidimensională. Ca algebră gradată, ele sunt izomorfe cu inelul polinomial , unde . Retragerea generatorului de -a lungul mapării, datorită celei de-a treia proprietăți din lista de mai sus, este un invariant bine definit al pachetului principal. Aceasta este clasa Chern. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ $2k$ $H^{2k)$ $\mathbb {Z} [t]$ $\deg t=2$ $t\in H^{2}$

Rețineți că în restricția pentru fiecare dintre clasele cu dimensiuni finite poate fi reprezentată în coomologia de Rham ca clasa a formei Fubini-Study împărțită la . Pe de altă parte, forma Fubini-Study este curbura unei conexiuni invariante în , adică span-ul său de-a lungul este curbura unei conexiuni -echivariante din pachetul principal . Dacă se verifică că curburele conexiunilor -echivariante dintr-un pachet principal sunt 2-forme închise aparținând aceleiași clase de coomologie de Rham, se obține imediat afirmația teoriei Chern-Weyl pentru fasciculele de linii: $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty )$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ $f_{P)$ $\mathrm {U} (1)$ $P$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$

Teorema. Fie un pachet de linii hermitiene și formă de curbură a unei conexiuni unitare în . Apoi . $L\la X$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Din aceasta, de exemplu, urmează imediat teorema Gauss-Bonnet .

Clasificarea spațiilor

Cu mănunchiuri altele decât fasciculele liniare, se pot asocia și mănunchiuri principale pentru alte grupuri : de exemplu, cu un fascicul hermitian de rang este asociat un fascicul principal cu grupul structural , ale cărui fibre sunt spații care parametriză cadrele ortonormale într-o anumită fibră de mănunchiul vectorial. În schimb, mănunchiul vectorial este reconstruit din pachetul principal și reprezentarea grupului . Dacă un pachet principal a fost dotat cu o conexiune -echivariantă, atunci pachetul vectorial rezultat va fi, de asemenea, dotat cu o conexiune care păstrează structura . $G$ $G$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$

Se pare că pentru un grup Lie arbitrar (sau, mai general, un grup topologic), există un analog al fibrației Hopf. Acesta este un pachet principal; se notează , iar baza sa se numește spațiu de clasificare . Este unică până la echivalența homotopiei și are următoarele proprietăți: $G$ $G$ $EG\to BG$

Toate grupurile de homotopie ale spațiului său total sunt triviale. $EG$
Pentru orice pachet principal , există o hartă de clasificare astfel încât să fie obținută ca imagine inversă a pachetului de -a lungul . $G$ $P\la X$ $f_{P}\colon X\to BG$ $P$ $EG\to BG$ $f_{P)$
Toate mapările de clasificare sunt homotopice unele față de altele.

De exemplu, dacă , atunci cercul poate fi ales ca cerc, iar acoperirea sa universală, linia reală. În cele mai multe cazuri, însă, spațiul de clasificare nu are tipul de homotopie a unei varietăți compacte: astfel deja pentru ca apare din nou o sferă infinit-dimensională, asupra căreia acționează maparea antipodă și este un factor asupra acesteia, adică . Din această construcție, similară celei descrise mai sus, obținem prima clasă Stiefel-Whitney a fasciculului de linii reale. $G=\mathbb {Z}$ $BG$ $EG$ $G=\mathbb {Z} /2$ $EG$ $\mathbb {Z} /2$ $BG$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }$

algebra Weyl

Dacă o algebră de coomologie poate fi calculată pentru un grup (care este deja o algebră bine definită în virtutea faptului că toate spațiile de clasificare sunt homotopice între ele), atunci retragerile de clasă de acolo de-a lungul mapărilor de clasificare vor fi invariante ale pachetelor principale. Această problemă, totuși, este foarte dificilă, cel puțin dacă algebra de coomologie este luată cu coeficienți întregi. $G$ $H(BG)$

Pentru varietăți, problema calculării coomologiei cu coeficienți reali este simplificată de faptul că aceștia pot fi considerați coomologie de Rham . Spațiile de clasificare, însă, nu sunt multiple. Ideea modului în care poate fi realizată abordarea de Rham a coomologiei este dată de așa-numitul complex Chevalley-Eilenberg . Dacă este un grup Lie, atunci complexul său de forme diferențiale conține un subcomplex de forme diferențiale stânga invariante . O formă diferențială invariantă la stânga este definită prin valoarea ei pe spațiul tangent la unitate , adică o formă multiliniară simetrică oblică pe algebra Lie . Astfel, ca o algebră cu înmulțire simetrică oblică, spațiul formelor diferențiale invariante la stânga este izomorf cu algebra exterioară . Diferenţialul de pe această algebră, după cum se poate deduce cu uşurinţă din formula standard pentru diferenţialul de Rham, există o mapare în termen care este duală cu paranteza (mai precis, cu semnul minus), iar apoi continuă conform regula Leibniz gradată , folosind faptul că algebra externă este generată de prima sa componentă de calibrare. Deci, există un subcomplex cu dimensiuni finite , care, în ciuda motivației geometrice, poate fi definit algebric, în termenii algebrei Lie. Coomologia sa este numită coomologie algebră Lie ; ele se află în mod natural în coomologia de Rham a grupului Lie și, în plus, atunci când sunt compacte, sunt egale cu toată coomologia de Rham a grupului Lie . $BG$ $G$ $e\în G$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}\la \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\la {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subset \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ $G$

Acest lucru ne motivează să încercăm să definim în mod formal , numai în ceea ce privește algebra Lie , care este algebra de Rham a spațiului de clasificare – mai precis, algebra de Rham a spațiului . Permiteți-mi să vă reamintesc că se cer două lucruri: este un spațiu contractibil asupra căruia acționează liber. Cerințele algebrice corespunzătoare sunt următoarele: există o algebră gradată diferențial cu coomologie zero (cu excepția gradării zero, unde sunt unidimensionale) asupra căreia algebra Lie acționează prin derivații , iar harta naturală este surjectivă. $\mathfrak{g}$ $EG$ $EG$ $G$ $\Omega (EG)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\la \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

O algebră cu proprietățile necesare este destul de ușor de construit, se numește algebră Weil și se notează cu . Și anume, aceasta este o algebră externă gradată - adică două copii ale , dintre care una are o notare pară și cealaltă impară. În mod echivalent, acesta este un produs tensor , în care generatorii algebrei exterioare au nota 1, iar algebra simetrică are gradul 2. Poate fi reprezentată și ca complexul total al următorului bicomplex: $W({\mathfrak {g)})$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\la$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la$	$\Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la$	$\Lambda ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la \dots$
		$\sageata in jos$		$\sageata in jos$		$\sageata in jos$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\la$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	$\la \dots$
				$\sageata in jos$		$\sageata in jos$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\la \dots$
						$\sageata in jos$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\la \dots$

Diferenţialele din rândurile de aici sunt complexe Chevalley-Eulenberg cu o acţiune adăugată asupra modulelor (în special, prima diferenţială din orice rând mapează un element cu operatorul , ), iar fiecare coloană este un complex Koszul , care poate fi legat nu numai la algebra Lie, dar și cu orice spațiu vectorial. Din aciclicitatea sa, putem deduce că complexul Weil nu are nici o coomologie, cu excepția celor zero. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\la M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\la \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Dacă bicomplexul Weil este o aproximare a formelor diferențiale de pe spațiu , iar rândul său zero, algebra Chevalley-Eilenberg, este algebra formelor diferențiale invariante la stânga pe , atunci analogul formelor diferențiale care se ridică de la bază - adică , „algebra de Rham”—sunt elementele diagonalei bicomplexului , algebra funcțiilor simetrice pe . În acest caz, formele închise vor fi exact acelea care sunt închise în raport cu diferenţialul din algebra Weyl. Din modul în care funcționează asupra elementelor diagonale (care a fost indicat în paragraful anterior), rezultă că acestea sunt pur și simplu funcții polinomiale pe , care sunt invariante sub acțiunea adjunctă a grupului pe algebra lor Lie. $W({\mathfrak {g}}^{*})$ $EG$ $G$ $BG$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Homomorfismul Chern-Weil

Să fie un grup Lie și să fie un pachet principal. Să alegem o conexiune în ea, adică un subbundle astfel încât proiecția mapează fibrele acestui subbundle pe spațiile tangente la k izomorf, iar acest subbundle este păstrat prin acțiunea . Poate fi codificat printr-o proiecție -invariantă pe un subbundle vertical (adică un pachet de spații tangente la -orbite). Spațiul tangent la orbita unei acțiuni libere a unui grup Lie este izomorf din punct de vedere canonic algebrei Lie , deci această formă poate fi dată ca formă 1 . Un alt invariant al conexiunii este curbura acesteia, în acest caz obținută ca proiecție a comutatorului a două câmpuri vectoriale orizontale (adică secțiuni ) pe spațiile tangente la straturi. Aceasta este o formă de 2 cu coeficienți în . $G$ $P\la X$ $G$ $Hor\subset TP$ $X$ $G$ $G$ $G$ $G$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g)}$ $Hor$ $\Phi$ $\mathfrak{g}$

Acest lucru ne permite să asociem cu conexiunea un homomorfism de algebre gradate diferențial , care va fi un înlocuitor pentru maparea de clasificare. În acest caz, se dovedește a fi mai convenabil să-l definiți între spații totale, și nu între baze. Este suficient să-l definiți pe generatoare, adică și . Ambele spații sunt pur și simplu funcționale pe algebra Lie; dar primul trebuie să mapați în forme 1 pe spațiul total , iar al doilea în forme 2. Să trimitem funcționalitatea la 1-form , iar funcțional la 2-forms . Această mapare se numește homomorfism Chern-Weil și se poate verifica că este într-adevăr un homomorfism -echivariant al algebrelor gradate diferențial . În special, mapează elementele din diagonala bicomplexului Weyl în forme invariante pe , adică tragerile formelor diferențiale pe . Deoarece elementele închise în raport cu diferențiala Weil trec la forme închise, polinoamele invariante din algebra Lie dau forme închise pe baza pachetului principal. Se numesc forme caracteristice . Ele pot fi scrise în mod explicit ca $W({\mathfrak {g}})\la \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $P$ $\varphi \in \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\mapsto \varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\wedge w\mapsto \psi (\Phi (v,w))$ $G$ $W({\mathfrak {g}})\la \Omega (P)$ $G$ $P$ $X$

$\psi (\Theta)(v_{1},\dots,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma }\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Aici , este un polinom invariant și este curbura. Atunci când alegeți o altă conexiune în pachetul principal, curbura și formele caracteristice se schimbă, dar clasele lor de coomologie rămân aceleași. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Exemple

Pentru un grup , se pot defini funcții invariante pe algebra lui Lie prin condiția . Clasele rezultate sunt clasele Chern . O formulă similară pentru defines classs, numită clase Pontryagin (doar că trebuie să eliminăm ) de la numitor. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$

În cazul grupurilor liniare generale, algebra polinoamelor invariante este generată de polinoame . În general, nu este cazul: de exemplu, pe o algebră specială Lie ortogonală, există un polinom Pfaffian de grad . Clasa corespunzătoare (împărțită la ) se numește clasa Euler . $A\mapsto \mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {deci}}(2n)$ $n$ $(2\pi )^{n)$

În fizică

Teoria Chern-Weil este una dintre multele modalități echivalente de a defini clasele caracteristice. Din punct de vedere matematic, are multe dezavantaje: ea, ca și coomologia de Rham, funcționează numai pentru cazul în care baza este o varietate, nu prinde clasele aparținând subgrupului de torsiune în coomologie, iar integralitatea claselor. obținut prin integrarea unor expresii diferențiale este departe de a fi evident (în timp ce în alte moduri întregul este obținut automat).

Dar această integralitate, cel puțin în cazul pachetelor de linii, are o aplicație neașteptată în fizică. Tensorul câmpului electromagnetic este o formă de 2 în spațiu-timp, care este de fapt forma de curbură a unei conexiuni în fasciculul de linii Hermitian. De obicei, este considerat rezonabil din punct de vedere fizic să presupunem că acest pachet este banal. Dirac a remarcat că, presupunând că acest pachet ar putea fi netrivial, atunci clasa sa Chern ar fi egală cu sarcina magnetică . Astfel, din integralitatea claselor Chern rezultă că, dacă un singur câmp magnetic mai există, atunci sarcina lui este un multiplu integral al unei sarcini magnetice elementare.

Este de remarcat faptul că teorema lui Dirac privind cuantizarea sarcinii magnetice a apărut în 1931, adică cu mai bine de 10 ani înainte de apariția teoriei Chern-Weil.

Istorie

Legătura dintre curbură și topologie a fost observată pentru prima dată, probabil de Lhuillier . Teorema Gauss-Bonnet , care a servit ca un pas important către teoria Chern-Weil, a fost formulată pentru prima dată în forma sa modernă (pentru suprafețe orientabile compacte) în 1888 de von Dyck .

Un analog multidimensional al teoremei Gauss-Bonnet a fost propus în 1925 de către Hopf : el a considerat hipersuprafețele în spațiu și a introdus un analog al curburii Gaussiene pe ele ca o imagine inversă a formei volumului pe sfera unității în raport cu maparea Gaussiană . El a reușit să exprime această formă ca un polinom în curburi locale, similar cu formula pentru forma caracteristică (vezi mai sus). Pentru subvarietățile cu dimensiuni pare ale unui spațiu euclidian de codimensiune mai mare de 1, analogii teoremei Gauss-Bonnet au fost stabiliți independent de Allendorfer și Fenchel în 1940. Dovada lor a redus problema la limita unei mici vecinătăți tubulare a unei subvariete, care este o suprafață acoperită de teorema lui Hopf. Limita, în termeni moderni, este mănunchiul sferă unitară din fasciculul hipersuprafață normal, iar curburele locale de mai sus permit obținerea unei formule pentru clasa Euler a acestei subvariete. $\R^{2n+1}$

Chern , la sugestia lui Weil , a început să caute un rezultat similar pentru varietăți riemanniene arbitrare care nu sunt încorporate nicăieri și a ajuns la concluzia că analogul mapării gaussiene pentru o varietate riemanniană abstractă este pachetul de sfere unitare din mănunchi tangent. Rezultatul său final din 1944, cunoscut sub numele de formula generalizată Gauss-Bonnet , afirmă că caracteristica lui Euler a unei varietăți riemanniene de dimensiune uniformă este egală cu integrala Pfaffiană a curburii sale. Această teoremă fusese dovedită anterior de Weil și Allendorfer, dar demonstrația lor i s-a părut nesatisfăcătoare (se baza pe înglobarea locală a varietății în spațiul euclidian și pe lipirea ulterioară, ceea ce nu oferă o înțelegere suficientă a geometriei din spatele acestei formule). Ulterior, Chern a reușit să găsească o expresie nu numai pentru clasa Euler, ci și pentru clasele Chern. El a încercat să le definească pentru o varietate riemanniană uniformă arbitrară, dar s-a dovedit că acest lucru era posibil numai pentru varietățile hermitiene. Această înțelegere a fost un pas important în dezvoltarea geometriei complexe.

În același timp, Pontryagin a încercat să construiască clase caracteristice prin forme diferențiale ; el a luat în considerare numai subvarietăți în , dar în loc de o mapare gaussiană a limitei unui vecinătate tubular, a considerat o mapare la un Grassmannian, iar în 1944 a reușit să scrie formule corecte pentru formele caracteristice. Cu toate acestea, el nu a luat în considerare cazul varietăților riemanniene abstracte și, se pare, ultima lucrare a lui Chern nu i-a fost cunoscută. $\mathbb {R} ^{n}$

Algebra omologică din spatele dovezii lui Chern a fost clarificată de Henri Cartan într-o notă din 1951 bazată pe textul nepublicat al lui Weyl. În special, a introdus conceptul de algebre Weyl.

Legătura dintre geometria diferențială a diferitelor mapări și înglobări gaussiene prin intermediul sistemelor liniare în geometria algebrică, care au fost considerate de geometrii școlii italiene încă din Veronese , a devenit clară abia după lucrările lui Kodaira .

Link -uri

Cartan, Henri (1951), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibres), Bruxelles, 1950, Georges Thone, Liege, pp. 15–27, MR 0042426
Wu Hung Hsi. Dezvoltarea istorică a teoremei Gauss-Bonnet , în Science in China Series A Mathematics aprilie 2008