Topologia Zariski

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 noiembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Topologia Zariski , sau topologia Zariski , este o topologie specială care reflectă natura algebrică a varietăților algebrice . Numit după Oskar Zariski , iar din anii 1950 a fost o figură importantă în geometria algebrică .

Definiție clasică

În geometria algebrică clasică (adică înainte de așa-numita „revoluție Grothendieck” care a avut loc la sfârșitul anilor 1950 și 1960), topologia a fost definită după cum urmează. Deoarece subiectul în sine a avut două ramuri care se ocupă cu varietățile afine și , respectiv, proiective , topologia Zariski a fost definită oarecum diferit pentru fiecare tip de varietate. În plus, se presupune că lucrăm la un câmp fix algebric închis K , prin care, în geometria algebrică clasică, aproape întotdeauna s-au înțeles numerele complexe .

Soiuri afine

Topologia Zariski pe un spațiu afin peste un câmp K este o structură de topologie ale cărei submulțimi închise sunt exact mulțimile algebrice ale spațiului dat. Mulțimile algebrice sunt mulțimi de formă $\mathbb {A} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid \forall f\in S:\;f(x)=0\},

unde S este o mulțime arbitrară de polinoame în n variabile peste câmpul K . Următoarele identități sunt ușor de verificat:

$V(\varnothing)=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnothing ;$
$V(S)=V((S))$ , unde este idealul în inelul polinomial generat de elemente $(S)$ $S;$
Pentru oricare două idealuri I și J ,

V(I)\cup V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Deoarece inelul polinomial de peste câmp este noetherian , intersecția unei familii infinite de mulțimi de formă va fi egală cu intersecția subfamiliei sale finite și va avea forma . Deoarece uniunile finite și intersecțiile arbitrare ale mulțimilor algebrice, precum și mulțimea goală, sunt algebrice, atunci mulțimile algebrice sunt într-adevăr mulțimi închise ale unei anumite topologii (în mod echivalent, complementele lor, notate cu , sunt mulțimi de topologie deschise). $V(I)$ $V(I)$ $\mathbb {A} ^{n}$ $D(S)$

Dacă este o submulțime algebrică afină a unui spațiu afin , atunci topologia Zariski de pe acesta este topologia indusă . $M$ $\mathbb {A} ^{n}$

Varietăți proiective

Elementele unui spațiu proiectiv sunt clase de echivalență de elemente în raport cu proporționalitatea în raport cu înmulțirea cu un scalar din K . În consecință, elementele inelului polinom nu sunt funcții pe , deoarece un punct are multe reprezentări echivalente, care corespund unor valori diferite ale polinomului. Cu toate acestea, pentru polinoamele omogene , condiția de egalitate la zero la un punct dat este bine definită, deoarece înmulțirea cu un scalar „mătură” aplicarea polinomului. Prin urmare, dacă S este o mulțime de polinoame omogene, definiția are sens ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\mathbb {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Se verifică într-un mod similar că această familie de mulțimi este o familie de mulțimi închise de o anumită topologie, este necesar doar înlocuirea cuvântului „ideal” cu „ ideal omogen ”. Topologia unei subvariete proiective arbitrare este definită ca topologie indusă.

Proprietăți

O proprietate utilă a topologiei Zariski este existența unei baze destul de simple pentru această topologie. Și anume, la baza topologiei se află mulțimile deschise de forma D ( f ), care sunt complementul mulțimii de zerouri ale polinomului f (respectiv, pentru varietăți proiective, polinomul omogen f ).

Orice varietate afină sau proiectivă este compactă ; orice subset deschis al unei varietăți este, de asemenea, compact. Mai mult, orice varietate algebrică este un spațiu topologic noetherian .

Pe de altă parte, o varietate algebrică nu este un spațiu Hausdorff (dacă K nu este un câmp finit ). Deoarece orice punct al unei varietăți algebrice este închis, acesta satisface axioma de separare T 1 .

Definiție modernă

Topologie pe spectrul unui inel

Definiția modernă se bazează pe conceptul de spectru al unui inel . Să fie dat un inel comutativ cu identitate. Spectrul unui inel este setul tuturor idealurilor sale principale , iar aceste idealuri în sine sunt punctele spectrului. Topologia Zariski este introdusă după cum urmează: mulțimile închise ale spectrului sunt mulțimile tuturor idealurilor simple care conțin o mulțime sau, ceea ce este același, idealul generat de această mulțime : $A$ ${\mathrm {Spec.}}\,A$ $E$ $eu$

V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\)

Este ușor să verificați toate axiomele. De exemplu, faptul că unirea a două mulțimi închise rezultă îndeaproape din lanțul de incluziuni evidente:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, prin urmare .

V(a)\cup V(b)=V(a\cap b)

Topologia Zariski pe spectru este legată de topologia introdusă anterior pe un spațiu afin în felul următor. Să definim o mapare care asociază un punct cu un ideal maxim format din polinoame egale cu zero în acest punct (este maximă, deoarece inelul coeficient al acestuia este un câmp K ). Este evident că diferite idealuri corespund unor puncte diferite. Mai mult, Teorema nulurilor a lui Hilbert afirmă că toate idealurile maxime ale unui inel polinomial au această formă, adică maparea este bijectivă . Mai mult, această mapare este un homeomorfism pe submulțimea corespunzătoare idealurilor maxime (mulțimea idealurilor maxime ale unui inel cu topologia Zariski indusă se numește spectru maxim și este de obicei notat cu ). Este suficient să demonstrăm că această mapare induce o bijecție între submulțimile închise și submulțimile închise ale lui , dar acest lucru este aproape evident: idealurile maxime care conțin idealul sunt exact zerourile comune tuturor polinoamelor din . $\mathbb {A} ^{n}\la \mathrm {Spec.} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $p$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec.} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]$ $A$ $\mathrm {spec} \,A$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\in [1,\left\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Astfel , inovația lui Grothendieck a fost să ia în considerare nu numai idealurile maxime ale unui inel, ci toate idealurile primare. În cazul unui inel polinomial peste un câmp închis algebric, aceasta înseamnă că un anumit număr de „ puncte comune ” sunt adăugate spațiului (un punct pentru fiecare subvarietate afină ireductibilă ). În cazul general (adică atunci când se consideră toate inelele comutative posibile), aceasta dă proprietăți functoriale : fiecărui homomorfism de inele îi corespunde o hartă continuă . Pentru un spectru simplu, construcția acestui homomorfism este banală - se ia imaginea inversă a unui ideal simplu, pentru cel maxim aceasta nu funcționează, deoarece imaginea inversă a idealului maxim nu este neapărat maximă. $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec.}$ $A la B$ $\mathrm {Spec.} \,B\la \mathrm {Spec.} \,A$

Așa cum construcția spectrului a înlocuit topologia tradițională Zariski pe varietăți afine, construcția Proj în geometria algebrică modernă înlocuiește luarea în considerare a topologiei pe varietăți proiective.

Exemple

Spectrul câmpului k este un spațiu topologic cu un element.
Spectrul conține câte un punct pentru fiecare număr prim , precum și un „punct comun” (un punct a cărui închidere coincide cu întregul spațiu) corespunzător idealului nul. Mulțimi închise din topologia Zariski pe acest spectru sunt submulțimi finite ale mulțimii de numere prime, precum și întregul spectru. $\mathbb {Z}$
Spectrul unui inel polinomial peste un câmp K închis algebric este o linie afină peste câmpul K . Într-adevăr, K [ x ] este un domeniu al idealurilor principale , deci idealurile prime din acesta corespund unor polinoame ireductibile , iar din moment ce K este un câmp algebric închis, toate polinoamele ireductibile au forma ; spectrul conține și un „punct comun” corespunzător idealului zero. În topologia Zariski pe K [ x ], mulțimile închise sunt mulțimi finite (care nu conțin un punct comun), precum și întregul spațiu. $\mathbb {A} ^{1}$ $xa$
Dacă K nu este închis algebric, situația devine mai complicată. De exemplu, spectrul conține puncte de forma , puncte astfel încât , și un punct comun. Dacă asociem fiecare polinom de acest tip cu rădăcinile sale complexe, spectrul poate fi reprezentat ca un semiplan superior (numere complexe cu o parte imaginară nenegativă). ${\mathbb R}[x]$ $(xa)$ $(x^{2}+bx+c)$ $b^{2}-4c<0$ ${\mathbb R}[x]$
Un subset închis al spectrului este spectrul altui inel. Acest lucru este dovedit de construcția inelului coeficient - idealurile prime corespund unu-la-unu idealurilor prime în conținutul idealului . De exemplu, spectrul unui inel este format din punctele (2) și (5). $A/I$ $A$ $eu$ $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$

Proprietățile topologiei Zariski pe spectru

Cea mai serioasă diferență între topologia pe un spectru și topologia Zariski pe o varietate este că nu toate punctele sunt închise în noua topologie. Așa-zisul. „puncte generale” a căror închidere este strict mai mare decât ele însele (mai mult, există o corespondență unu-la-unu între componentele ireductibile ale spațiului și punctele „generale” ale căror închideri sunt aceste componente). Punctele corespunzătoare idealurilor maxime ale inelului rămân închise. Astfel, topologia de pe spectru nu mai satisface axioma T 1 , dar totuși satisface axioma T 0 . Într-adevăr, dintre două idealuri prime , cel puțin unul nu îl conține pe celălalt, de exemplu . Apoi conține , dar, desigur, nu conține (remintim că este un set deschis format din idealuri care nu conțin idealul ). $\mathfrak p$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)})$ ${\mathfrak {q}}$ $\mathfrak p$ $D({\mathfrak {p)})$ $\mathfrak p$

Ca și în geometria algebrică clasică, spectrul este un spațiu compact. Acest fapt nu este de acord cu intuiția noastră: nu ne așteptăm ca un întreg spațiu afin (cum ar fi spațiul euclidian ) să fie compact. Grothendieck a introdus și noțiunea de topologie etale , care este mult mai abstractă, dar proprietățile acestei topologii amintesc mai mult de proprietățile topologiei standard pe spațiul euclidian.

Vezi și

spectrul inelului

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. — M .: Mir, 1972.
Mumford , Cartea roșie a soiurilor și schemelor - M .: MTsNMO, 2007.
Shafarevich I. R. Fundamentele geometriei algebrice. — M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Geometrie algebrică. — M .: Mir, 1981.