Ecuația Riccati

Ecuația Riccati este o ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi de formă

{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

Ecuația Riccati este numită și analog multidimensional , adică un sistem de ecuații diferențiale obișnuite cu variabile independente, ale căror părți din dreapta sunt polinoame de gradul doi în variabile cu coeficienți care depind de . Ecuațiile Riccati unidimensionale și multidimensionale își găsesc aplicații în diverse domenii ale matematicii: geometria algebrică [1] , teoria sistemelor hamiltoniene complet integrabile [2] , calculul variațiilor [3] , teoria mapărilor conformale , teoria câmpului cuantic [4] ] . $(*)$ $x_{1},\ldots ,x_{n},$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $t$

Istorie

Un caz special al unei astfel de ecuații:

b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{{\alpha }},\quad (**)

unde sunt constante diferite de zero, a fost studiat pentru prima dată de matematicienii italieni Jacopo Francesco Riccati și familia Bernoulli (Daniel, Johann, Nikolai Sr. și Nikolai Jr.) [5] [6] [7] . Ei au găsit o condiție în care această ecuație admite separarea variabilelor și, în consecință, integrarea în pătraturi: sau După cum a demonstrat Joseph Liouville (1841) , pentru alte valori soluția ecuației nu poate fi exprimată în pătraturi din funcții elementare; soluţia sa generală poate fi scrisă folosind funcţii cilindrice . $\alpha ,\,a,\,b$ $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\n\in \mathbb {N} ,$ $\alpha =-2.$ $\alfa$ $(**)$

Ecuația de tip este adesea numită ecuație Riccati generală , iar ecuația de tip este adesea numită ecuație Riccati specială . $(*)$ $(**)$

Proprietăți

Ecuația Riccati în acest caz este liniară și poate fi integrată în pătraturi. $a(t)=0$
Ecuația Riccati în acest caz este o ecuație Bernoulli și este integrată în cuadraturi folosind modificarea $c(t)=0$ $y=1/x.$
Soluția generală a ecuației Riccati este o funcție liniară-fracțională a constantei de integrare și, invers, orice ecuație diferențială de ordinul întâi cu această proprietate este o ecuație Riccati.
Dacă sunt soluții particulare ale ecuației Riccati corespunzătoare valorilor constantei de integrare, atunci avem identitatea $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ $c_{1},\ldots ,c_{4}$

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t))):{\frac {x_{4}(t) -x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_ {2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)

Partea stângă a identității , raportul dublu a patru soluții particulare, este prima integrală a ecuației Riccati. Astfel, soluția generală a ecuației este restabilită din trei soluții particulare independente folosind formula . $(***)$ $(***)$

Aplicații

În geometria riemanniană ecuația Riccati $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

satisface operatorii de formă pentru suprafețele de echidistanță de-a lungul unei geodezice perpendiculare pe acestea cu un câmp tangențial . Ca și ecuația Jacobi , această ecuație este aplicată în studiul geodezicii.

T

Variații și generalizări

Ecuația matriceală Riccati este ecuația diferențială

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

în raport cu o matrice pătrată de ordin necunoscută , în care sunt date matrice pătrată de ordin cu coeficienți dependenți de variabilă. $X=(x_{{ij}})$ $n$ $A,B_{1},B_{2},C$ $n$ $t$

În calculul variațiilor, un rol important îl joacă ecuația matriceală Riccati a formei

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{{-1}}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t )

față de o matrice pătrată necunoscută de ordin , în care sunt date matrice pătrată de ordin cu coeficienți dependenți de variabilă, unde asteriscul înseamnă transpunerea lui . Este strâns legată de ecuația Jacobi pentru a doua variație a funcționalei integrale $W=(w_{{ij}})$ $n$ $P,Q,R$ $n$ $t$ $\det P\neq 0,$

J=\int f(t,x,{\dot x})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),

într-un punct staţionar În acest caz, matricele $\widehat x(\cdot ).$

P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot x}_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat x(t)}}),\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ i }\partial x_{j))}{\Bigl )}{\Bigl |}_({\widehat x(t)))),\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac { \partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_({\widehat x(t))).

Literatură

Zelikin M. I. Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor , - Factorial, Moscova, 1998.
Egorov A. I. Riccati Equations, Fizmatlit, Moscova, 2001.
Laufer M. Ya. Despre rezolvarea ecuaţiilor Riccati // Laufer M. Ya. Probleme alese de fizică matematică. sat. articole.— Severodvinsk: NTO Shipbuilders. acad. A. N. Krylova, Sevmashvtuz, Severodv. departamentul Lomonosov. Fond, 2005.- p. 137-140.- ISBN 5-7723-0605-9 .

Link -uri

Note

↑ Wilczinski EJ Geometrie diferențială proiectivă a curbelor și suprafețelor rigle. Teubner, Leipzig, 1906.
↑ Zakharov V. E., Faddeev L. D. Ecuația Korteweg-de Vries este un sistem hamiltonian complet integrabil.
↑ Zelikin M. I. Spații omogene și ecuația Riccati în calculul variațiilor, - Factorial, Moscova, 1998.
↑ Winternitz P. Grupuri de Lie și soluții de ecuații cu diferențe parțiale neliniare. Note de curs în fizică, 1983, voi. 189, pp. 263-331.
↑ Riccati JF Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
↑ Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901. (link inaccesibil)
↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati - Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.