Trunchiere (geometrie)

Pătratul trunchiat este un octogon regulat: t{4} = {8} =

Cubul trunchiat t{4,3} sau

Fagure cubic trunchiat t{4,3,4} or

Trunchierea  este o operație în spațiu de orice dimensiune, care taie vârfurile unui poliedru și în care se formează noi fețe în locul vârfurilor. Termenul provine din denumirile solidelor arhimediene date de Kepler .

Tăiere uniformă

În general, orice politop poate fi trunchiat cu un anumit grad de libertate în alegerea adâncimii trunchierii, așa cum se arată în articolul Conway's Notation for Polytopes .

Un tip de trunchiere folosit în mod obișnuit este trunchierea uniformă , în care operația de trunchiere este aplicată unui poliedru obișnuit și are ca rezultat un poliedru uniform cu lungimi egale de margine. În acest caz, nu există libertate de alegere și, ca rezultat, obținem corpuri geometrice bine definite, similare poliedrelor obișnuite.

În cazul general, toate poliedrele uniforme cu un nod conturat (în diagrama Coxeter-Dynkin) au o trunchiere uniformă. De exemplu, icosidodecaedrul , reprezentat prin simbolurile Schläfli r{5,3} sau și având diagramele Coxeter-Dynkin sau, are o trunchiere uniformă — un icosidodecaedru trunchiat rombic cu notațiile tr{5,3} sau ,. În diagrama Coxeter-Dynkin, efectul de trunchiere se manifestă prin faptul că cercuri apar la toate nodurile adiacente celui încercuit.

Trunchierea poligoanelor

Un poligon trunchiat cu n laturi va avea 2n laturi. Un poligon regulat trunchiat uniform devine un alt poligon regulat: t{n} = {2n}. Trunchierea completă , r{3}, este un alt poligon regulat, dual cu cel original.

Poligoanele regulate pot fi reprezentate și prin diagrama Coxeter-Dynkin ,, iar trunchierea sa uniformă va avea o diagramă, iar trunchierea sa completă este o diagramă. Graficreprezintă un grup Coxeter I 2 (n), în care fiecare nod este o oglindă, iar fiecare muchie reprezintă un unghi π/ n între oglinzi, în timp ce cercurile din jurul uneia sau două oglinzi indică care dintre ele sunt active.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Poligoanele stelare pot fi, de asemenea, trunchiate. Pentagrama trunchiată {5/2} va arăta ca un pentagon , dar este de fapt un decagon dublu acoperit (degenerat) ({10/2}) cu două seturi de vârfuri și laturi suprapuse . O heptagramă mare trunchiată (stea heptagonală) {7/3} dă o stea cu paisprezece colțuri {14/3}.

Trunchierea uniformă a politopilor și teselațiilor obișnuite

Când vine vorba de trunchierea poliedrelor obișnuite sau a plăcilor de poligoane regulate , se folosește de obicei „trunchierea uniformă”, ceea ce implică trunchierea până la punctul în care fețele originale devin poligoane regulate cu un număr de două ori mai mare de laturi.

Secvența din figură arată un exemplu de trunchiere a unui cub, arătând patru pași de la un proces de trunchiere continuă de la un cub plin la un cub de trunchiere complet . Corpul final este un cuboctaedru .

Imaginea din mijloc este un cub trunchiat uniform . Este reprezentat de simbolul Schläfli t { p , q ,…}.

Trunchierea adâncă  este o trunchiere mai puternică care îndepărtează toate marginile originale, dar părăsește interiorul fețelor originale. De exemplu,octaedru trunchiateste un cub profund trunchiat: 2t{4,3}.

Trunchierea completă profundă se numește birectificare și reduce fețele originale la puncte. În acest caz, poliedrul se transformă într-un poliedru dual . De exemplu, octaedrul este o trunchiere completă adâncă a cubului : {3,4} = 2r{4,3}.

Un alt tip de trunchiere este trunchierea totală , care taie marginile și vârfurile, rezultând dreptunghiuri în loc de margini.

Poliedrele în dimensiuni mai mari au alte niveluri de trunchiere - ierarhizare , la care sunt tăiate fețele, muchiile și vârfurile. În dimensiunile de peste 5 există o sterică , care decupează fețele, muchiile și vârfurile, precum și fețele tridimensionale.

Trunchierea marginilor

Trunchierea muchiei  este teșirea unui poliedru, ca și în cazul trunchierii integrale, dar vârfurile rămân, iar muchiile sunt înlocuite cu hexagoane. Într-un poliedru cu 4 dimensiuni, muchiile sunt înlocuite cu bipiramide alungite .

Alternanțe sau trunchieri parțiale

Alternarea sau trunchierea parțială elimină doar unele dintre vârfurile originale.

Cu trunchierea sau alternarea parțială , jumătate din vârfuri și muchii sunt complet îndepărtate. Operația este aplicabilă poliedrelor ale căror fețe au un număr par de laturi. Fețele taie numărul de laturi în jumătate, iar fețele pătrate trec peste margini. De exemplu, tetraedrul este o alternanță a cubului, h{4,3}.

Derogare  - un termen mai general folosit pentru poliedre Johnson , implică eliminarea unuia sau mai multor vârfuri, muchii sau fețe fără a afecta vârfurile rămase. De exemplu, un icosaedru tridiminus se obține dintr-un icosaedru obișnuit prin eliminarea a trei vârfuri.

Alte trunchieri parțiale se bazează pe simetrie. De exemplu, dodecaedrul redus tetraedric .

Trunchieri generalizate

Procesul de trunchiere liniară poate fi generalizat permițând parametrului de trunchiere să fie negativ sau permițându-i să treacă prin punctul de mijloc al unei muchii, rezultând poliedre stele care se intersectează singure. Astfel de poliedre pot fi legate de unele poligoane stelare regulate și poliedre stelare uniforme .

• Trunchiere mică  - marginile sunt reduse în dimensiune, fețele dublează numărul de laturi, se formează fețe noi în locul vârfurilor anterioare.
• Trunchierea uniformă  este un caz special în care toate muchiile rezultate au aceeași lungime. În cubul trunchiat , t{4,3}, fețele pătrate sunt transformate în octogoane și se formează triunghiuri în loc de vârfuri.
• Antitrunchierea este inversul trunchierii superficiale . Rezultatul este un poliedru care este similar cu originalul, dar are părți care atârnă la colțuri în loc să le taie colțurile.
• Trunchierea completă  - limitând trunchierea superficială, unde marginile sunt reduse la puncte. Un exemplu este Cuboctaedrul , r{4,3}.
• Hipertruncarea este un tip de trunchiere care depășește trunchierea completă prin inversarea marginilor originale, rezultând în auto-intersecții.
• Cvasi -trunchierea este un tip de trunchiere care depășește hipertrunchierea, unde marginile inversate devin mai lungi decât cele originale. Această trunchiere poate fi obținută din poliedrul original prin retragerea fețelor din muchii, adică deplasarea în direcția opusă față de vârf. De exemplu, cvasi-trunchierea unui pătrat dă o octagramă regulată (t{4,3}={8/3}), iar cvasi-trunchierea unui cub dă un hexaedru trunchiat stelat uniform , t{4/3 ,3}.

Vezi și

• Poliedru uniform
• Poliedru uniform cu patru dimensiuni
• Trunchiere dublă (geometrie)
• trunchiere completă
• Alternare (geometrie)
• Notație Conway pentru poliedre

Note

Literatură

• HS M Coxeter . Capitolul 8: Tranziție //Politopi obișnuiți . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc, 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Politopuri uniforme. Manuscris, 1991.
• Norman Johnson . Teoria politopilor și fagurilor uniformi. — Universitatea din Toronto: Ph.D. disertație, 1966.

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Truncation  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Glosar pentru hiperspațiu
• Nume poliedre, trunchiere

Fundatia	trunchiere	trunchiere completă	trunchiere adâncă	Dualitate _	întinderea	trunchiere	Alternare
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}