Icosidodecaedru rombotruncat

Icosidodecaedrul trunchiat rombic [1] sau icosidodecaedrul trunchiat [2] [3] este un poliedru semiregulat (corp arhimedian) cu 62 de fețe, compus din 30 de pătrate , 20 de hexagoane regulate și 12 decagoane regulate .

În fiecare dintre cele 120 de vârfuri identice ale sale, converg o față pătrată, una hexagonală și una decagonală. Unghiul solid la vârf este exact ${\frac {3}{2}}\pi .$

Are 180 de coaste de lungime egală. La 60 de muchii (între fețele pătrate și hexagonale) unghiurile diedrice sunt egale la 60 de muchii (între fețele pătrate și decagonale) la 60 de muchii (între fețele hexagonale și decagonale) $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\aprox 159{,}09^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\aprox 148{,}28^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\aprox 142{,}62^{\circ }.$

Numele „icosidodecaedru trunchiat”, care a fost dat inițial acestui poliedru de către Kepler , poate induce în eroare. Faptul este că, ca urmare a operațiunii de trunchiere , „decupând” 30 de piramide patruunghiulare din icosidodecaedru , puteți obține doar un poliedru ușor diferit, ale cărui fețe patruunghiulare sunt dreptunghiuri de aur , nu pătrate. Poliedrul rezultat nu este semiregular; cu toate acestea, este izomorf cu un adevărat icosidodecaedru trunchiat rombic și poate fi transformat într-unul cu o ușoară deformare.

În coordonate

Icosidodecaedrul trunchiat rombic poate fi aranjat în sistemul de coordonate carteziene, astfel încât coordonatele vârfurilor sale să fie toate permutări ciclice posibile ale unor seturi de numere

$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),$
$(\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),$
$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),$
$(\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),$
$(\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),$

unde este raportul secțiunii de aur . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

În acest caz, originea coordonatelor va fi centrul de simetrie al poliedrului, precum și centrul sferelor sale circumscrise și semi-înscrise . $(0;0;0)$

Caracteristici metrice

Dacă icosidodecaedrul trunchiat are o margine de lungime , aria sa suprafeței și volumul sunt exprimate ca $A$

S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\aprox 174{,}2920303a ^{2},

V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\aprox 206{,}8033989a^{3}.

Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile poliedrului) va fi atunci egală cu

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 3{,}8023945a;

raza unei sfere semi-înscrise (atingând toate marginile la mijlocul lor) -

\rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 3{,}7693771a.

Este imposibil să potriviți o sferă într-un icosidodecaedru trunchiat astfel încât să atingă toate fețele. Raza celei mai mari sfere care poate fi plasată în interiorul unui icosidodecaedru trunchiat romboid cu o muchie (va atinge doar toate fețele decagonale în centrele lor) este $A$

r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 3{,}4409548a.

Distanțele de la centrul poliedrului la fețele hexagonale și pătrate sunt mai mari și, respectiv, egale $r_{10}$

r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 3{,}6685425a,

r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\aprox 3{,}7360680a.

Proprietăți notabile

Dintre toate solidele platonice , solidele arhimediene și solidele Johnson cu o lungime dată de margine, icosidodecaedrul trunchiat rombic are cel mai mare volum, cea mai mare suprafață și cel mai mare diametru.

Dintre toate solidele platonice, solidele arhimediene și solidele Johnson, icosidodecaedrul trunchiat rombic are cel mai mare număr de vârfuri și cel mai mare număr de muchii (dar nu și cel mai mare număr de fețe - aici dodecaedrul snub ocupă primul loc ).

Note

↑ Wenninger 1974 , p. 20, 40.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , p. 437, 434.
↑ Lyusternik, 1956 , p. 184.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Icosidodecaedru rombotruncat la Wolfram MathWorld .

Literatură

M. Wenninger . modele de poliedre. - Lumea , 1974.
Poligoane și poliedre // Enciclopedia matematicii elementare. Cartea a patra. Geometrie / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevici , A. Ya. Khinchin . - M .: Editura de stat de literatură fizică și matematică , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Figuri convexe și poliedre. - M. : Editura de stat de literatură tehnică și teoretică , 1956.

Poliedre

Corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte