Inel factor

Un inel coeficient este o construcție algebrică generală care face posibilă extinderea construcției grupului de coeficient la cazul inelelor . Orice inel este un grup de adiție , așa că putem lua în considerare subgrupul său și luăm grupul de factori. Totuși, pentru a defini corect înmulțirea pe acest grup de coeficient , este necesar ca subgrupul original să fie închis sub înmulțire prin elemente arbitrare ale inelului, adică să fie un ideal .

Definiție

Să fie un ideal cu două fețe al inelului . Să definim relația de echivalență : $eu$ $R$ $R$

a\sim b

dacă și numai dacă

ab\în I.

Clasa de echivalență a unui element se notează cu sau și se numește clasa de clase modulo ideal. Un inel coeficient este un set de clase de elemente modulo , pe care operațiile de adunare și înmulțire sunt definite după cum urmează: $A$ $[A]$ $a+I$ $R/I$ $R$ $eu$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

Este ușor de verificat dacă aceste operații sunt bine definite, adică nu depind de alegerea unui reprezentant specific al clasei de clase . De exemplu, corectitudinea înmulțirii se verifică astfel: fie . Apoi . În ultima etapă a demonstrației, idealul este închis la înmulțire cu un element al inelului (atât la stânga, cât și la dreapta) și se închide la adunare. $A$ $a+I$ $a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{{1,2}}\în I$ $a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab +I$

Teoreme înrudite

Teorema homomorfismului inelului :

Dacă este un homomorfism surjectiv al unui inel pe un inel , atunci nucleul este un ideal al inelului , iar inelul este izomorf la inelul coeficient .

f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

\ker \,f

\mathrm{K}

{\mathrm {R}}

{\mathrm {K}}/\ker \,f

În schimb, dacă este un ideal al inelului , atunci harta definită de condiție este un homomorfism al inelului pe cu nucleul .

{\mathrm {J}}

\mathrm{K}

f:{\mathrm {K}}\la {\mathrm {K/J}}

f(a)=a+{\mathrm {J}),\forall a\in {\mathrm {K}}

{\mathrm {J}}

{\mathrm {K/J}}

{\mathrm {J}}

Teorema este analogă cu teorema homomorfismului de grup .

Un ideal al unui inel este prim ( maximal ) dacă și numai dacă inelul coeficient este un inel integral ( câmp ). ${\mathrm {J}}$ $\mathrm{K}$ ${\mathrm {K/J}}$
Conform teoremei chineze a restului , dacă sunt idealuri coprime perechi (adică suma oricăror două dintre ele este egală cu întregul inel), atunci inelul coeficient după produsul lor (sau, echivalent, prin intersecția lor ) este izomorf la produsul factorilor de forma . $I_{1},I_{2},\ldots I_{n}$ $R/(I_{i})$

Exemple

Fie inelul de numere întregi , fie idealul format din multipli de . Atunci este un inel de reziduuri finit modulo . Un astfel de inel este de asemenea notat sau . [unu] $\mathbb {Z}$ $n{\mathbb Z}$ $n$ ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ $n$ $\mathbb Z_n$ $\mathbb {Z} /(n)$
Să considerăm un inel polinomial cu coeficienți reali și un ideal format din polinoame care sunt multipli de . Inelul factor este izomorf cu câmpul numerelor complexe : clasa corespunde unității imaginare. Într-adevăr, în inelul coeficient elementele și sunt echivalente, adică . ${\mathbb R}[x]$ $x^{2}+1$ ${\mathbb R}[x]/(x^{2}+1)$ $[X]$ $x^{2}+1$ $0$ $x^{2}=-1$
Generalizând exemplul anterior, inelele de factori sunt adesea folosite pentru a construi extensii de câmp . Fie un câmp și un polinom ireductibil în . Atunci este un câmp, iar acest câmp conține cel puțin o rădăcină polinomială , clasa de adiacență a elementului . $K$ $f(x)$ $K[x]$ $K[x]/(f(x))$ $f(x)$ $X$
Un exemplu important de utilizare a construcției anterioare este construcția câmpurilor finite . Luați în considerare un câmp finit de două elemente (care în acest context este de obicei notat ca ). Polinomul este ireductibil peste acest câmp (pentru că nu are rădăcini), deci inelul coeficient este un câmp. Acest câmp este format din patru elemente: 0, 1, x și x +1. Toate câmpurile finite pot fi construite într-un mod similar. ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $\mathbb {F} _{2}$ $x^{2}+x+1$ ${\mathbb F}_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

Note

↑ Lidl, Niederreiter, 1998 , Exemplul 1.37, p. 27.

Literatură

Vinberg E.B. Curs de algebră. - Ed. a III-a - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Introducere în algebra comutativă. - M . : Mir, 1972. - 160 p.
Lidl R., Niederreiter G. Câmpuri finite. În 2 vol. — M .: Mir, 1998. — 430 p. — ISBN 5-03-000065-8 .