Ideal (algebra)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 28 ianuarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Idealul este unul dintre conceptele de bază ale algebrei generale . Idealurile sunt cele mai importante în teoria inelelor , dar sunt definite și pentru semigrupuri , algebre și alte structuri algebrice . Denumirea de „ideal” provine de la „ numerele ideale ”, care au fost introduse în 1847 de matematicianul german E. E. Kummer [1] . Cel mai simplu exemplu de ideal este sub- ingrul numerelor pare din inelul numerelor întregi . Idealurile oferă un limbaj convenabil pentru generalizarea rezultatelor teoriei numerelor la inele generale.

De exemplu, în inele , în loc de numere prime, sunt studiate idealurile prime; ca o generalizare a numerelor coprime, sunt introduse idealurile coprime; se poate dovedi un analog al teoremei chineze a restului pentru idealuri.

Într-o clasă importantă de inele (așa-numitele inele Dedekind ), se poate obține chiar un analog al teoremei fundamentale a aritmeticii : în aceste inele, fiecare ideal diferit de zero poate fi reprezentat în mod unic ca un produs al idealurilor prime.

Un exemplu de ideal este mulțimea numerelor întregi care sunt divizibile cu 6: atunci când sunt considerate în inel . Această mulțime este ideală deoarece atât suma oricăror două astfel de numere, cât și produsul oricăruia dintre ele cu orice număr întreg sunt incluse în această mulțime. În acest caz, aceeași mulțime nu va fi un ideal în inelul numerelor reale, deoarece rezultatul înmulțirii oricăruia dintre aceste numere cu un număr real arbitrar nu este inclus în această mulțime în cazul general. $\{\dots ,-12,-6,0,6,12,18,24\dots \)$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Definiție

Pentru un inel, un ideal este un subinel care este închis prin înmulțire cu elemente din . Mai mult, un ideal se numește stânga (respectiv , dreapta ) dacă este închis sub înmulțire la stânga (respectiv, la dreapta) cu elemente din . Un ideal care este atât stânga cât și dreapta se numește cu două fețe . Un ideal cu două fețe este adesea menționat pur și simplu ca ideal . În cazul comutativ , toate aceste trei concepte coincid și termenul ideal este întotdeauna folosit . $R$ $R$ $R$

Mai precis: Un ideal al unui inel este un subinel al inelului astfel încât $R$ $eu$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produs (condiție pe idealuri corecte); $ir\în eu$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produs (condiție pe idealurile stângi). $ri\in I$

În mod similar, pentru un semigrup, idealul său este un subsemigrup pentru care una dintre aceste condiții este adevărată (sau ambele pentru un ideal cu două fețe), același lucru este valabil și pentru algebră.

Notă

Pentru o -algebră ( o algebră peste un inel ), idealul inelului poate, în general, să nu fie un ideal al algebrei , deoarece acest subring nu va fi neapărat o subalgebră a lui , adică va fi și un submodul peste . De exemplu, dacă există o -algebră cu înmulțire zero, atunci mulțimea tuturor idealurilor inelului coincide cu mulțimea tuturor subgrupurilor din grupul aditiv , iar mulțimea tuturor idealurilor algebrei coincide cu mulțimea tuturor subspațiilor a vectorului -spațiu . Cu toate acestea, în cazul în care este o algebră cu o unitate, ambele concepte coincid. $R$ $A$ $R$ $A$ $A$ $R$ $A$ $k$ $A$ $A$ $A$ $k$ $A$ $A$

Definiții înrudite

Pentru orice inel , el însuși și idealul zero sunt idealuri (cu două fețe). Astfel de idealuri sunt numite banale . Idealurile proprii sunt idealuri care formează propria lor submulțime , adică nu coincid cu totul [2] [3] . $R$ $R$ $0$ $R$
Multe clase de inele și algebre sunt definite de condițiile pe rețeaua lor ideală sau ideală. De exemplu:
- Un inel care nu are idealuri non-triviale cu două fețe se numește simplu .
- Un inel fără idealuri non-triviale (nu neapărat cu două fețe) este un inel . Vezi și: inel ideal principal , inel artinian , inel noetherian .

Orice inel comutativ cu o unitate este asociat cu un spațiu topologic - spectrul inelului ale cărui puncte sunt toate idealurile prime ale inelului, altele decât , iar mulțimile închise sunt definite ca mulțimi de idealuri prime care conțin un anumit set de elemente ale inelului (sau , care este același, idealul generat de acest set). Această topologie se numește topologia Zariski . $\operatorname{Spec.} A$ $A$ $A$ $E$ $A$ $eu$

Conceptul de ideal este strâns legat de conceptul de modul . Un ideal (dreapta sau stânga) poate fi definit ca un submodul al unui inel considerat ca un modul dreapta sau stânga deasupra lui însuși.

Proprietăți

Idealurile stângi în R sunt idealuri drepte în așa-numitul. inel opus - un inel cu aceleași elemente și aceeași adunare ca și cel dat, dar cu o anumită înmulțire și invers. $R^{0}$ $a*b=b*a$
Idealurile bilaterale din inele și algebre joacă același rol ca și subgrupurile normale din grupuri :
- Pentru fiecare homomorfism , nucleul este un ideal și invers, fiecare ideal este nucleul unui homomorfism. $f\colon A\la B$ $\operatorname {Ker}f$
- Mai mult decât atât, un ideal unic (până la un izomorfism ) determină imaginea homomorfismului al cărui nucleu este: este izomorf la un inel coeficient ( algebra coeficientului ) . $fa)$ $A/I$
În inelul numerelor întregi, toate idealurile sunt principale și au forma , unde . $\mathbb {Z}$ $n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \)$ $n\în \mathbb{N} _{0}$
Intersecția idealurilor este, de asemenea, un ideal (deseori, în special în algebra comutativă, intersecția este numită cel mai mic multiplu comun ).

Tipuri de idealuri

Idealul principal este un ideal generat de un element.
Ideal generat finit
Ideal maxim : Un ideal propriu I se spune a fi maxim dacă nu există un ideal propriu J astfel încât I este o submulțime proprie a lui J. Un inel coeficient de un ideal maxim este un câmp .
Ideal modular
Nilpotent Ideal
Ideal primar
ideal simplu
Un ideal radical este un ideal care coincide cu radicalul său .

Modele de bază

idealurile principale . Dacă p aparține lui R și k este orice număr întreg, atunci - va fi idealul drept minim care conține p și - idealul minim stâng în R . Ele sunt numite, respectiv, principalele idealuri dreapta și stânga generate de p . În cazul comutativ, aceste idealuri coincid și sunt de asemenea notate cu (p) . Dacă inelul R conține elementul de identitate, atunci din moment ce, idealurile principale generate de p pot fi scriseșirespectiv. Orice ideal care conține un element p conține și idealul principal generat de acesta. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\în R\}$ $Rp=\{rp:\,r\în R\}$

Un ideal generat de o multitudine de elemente. Intersecția unei familii arbitrare de idealuri stângi ale inelului R este un ideal stâng al inelului R . Prin urmare, pentru orice submulțime M a inelului R , există un ideal minim stânga care îl conține, și anume intersecția tuturor idealurilor stângi care conțin mulțimea M . (Același lucru este valabil și pentru idealurile drepte și cu două fețe.) Pentru un inel R cu un element de identitate, idealul minim stâng este o mulțime de sume finite de forma , idealul minim drept este o mulțime de sume finite de forma , iar idealul minim cu două fețe este o mulțime de sume finite ale elementelor de formă ale mulțimii M , iar r i ,r' i sunt elemente arbitrare ale inelului R . Dacă inelul nu conține unul, atunci idealul minim stânga va fi de forma , minim dreapta , minim cu două fețe , unde toate sunt orice numere întregi. Aceste idealuri se numesc generate de multimea M . În cazul comutativ, toate coincid și se notează astfel: (M) . Idealurile generate de o mulțime finită sunt numite finite generate . $r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n)$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n)$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {mesaj}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\ldots +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\ldots + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' '''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

suma de idealuri. Dacă o familie arbitrară de idealuri este dată în inelul R , suma lor este idealul minim care le conține pe toate. Este generată de unirea acestor idealuri, iar elementele sale sunt orice sume finite de elemente din unirea lor (uniunea idealurilor în sine nu este de obicei un ideal). În ceea ce privește suma, toate idealurile (stânga, dreapta sau cu două fețe) ale unui inel (sau algebrei) formează o rețea . Fiecare ideal este suma idealurilor principale. Adesea, mai ales în algebra comutativă, suma este numită cel mai mare divizor comun). $I_{{\alpha }}$ $\sum I_{{\alpha }}$

Intersecția idealurilor (ca și intersecția mulțimilor ) este întotdeauna un ideal. Pe de altă parte, unirea a două idealuri este un ideal numai dacă unul dintre ele este un submult al celuilalt. Într-adevăr, fie și două idealuri (stânga), niciunul dintre ele nu este un subset al celuilalt și este un ideal de stânga. În acest caz, evident, este cel mai mic ideal care conține și , adică . Există un element . Atunci pentru orice , deoarece în acest caz , prin urmare , și , prin urmare, este o contradicție. ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\în {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\în {\mathfrak b}$ $a+b\în {\mathfrak a}$ $b\în {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\subset {\mathfrak a}$

Produsul idealurilor. Produsul idealurilor I și J este idealul IJ generat de toate produsele ab , unde a este un element al idealului I , b este un element al idealului J . Produsul infinit al idealurilor nu este definit.

Idealuri private. Într-un inel comutativ , pentru idealul diferit de zero I și idealul J , se definește câtul lor, idealul . Acest ideal este numit anihilatorul idealului I în cazul în care J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}$

Radicalul idealului I este multimea. Este, de asemenea, un ideal al inelului A dacă numai inelul A este comutativ. În cazul în care I=(0) , acest ideal se numește radicalul nil al inelului A . Elementele sale sunt toate elemente nilpotente ale inelului. Dacă un inel comutativ nu are alte elemente nilpotente decât zero (are un nilradical zero), atunci se numește radical . Un ideal I se numește radical dacă coincide cu radicalul său. În acest caz, inelul coeficient R/I nu are elemente nilpotente cu excepția zero. ${\sqrt {I}}=\{f\în A:\,\există n\în {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\în {I}\}$

limită inductivă . Dacă se dă o familie (lanț) de idealuri, numerotate printr -o mulțime ordonată liniar A , astfel încât pentru orice indicidin A idealuleste conținut în ideal, atunci unirea lor este un ideal - limita inductivă a acestui lanț de idealuri. Acest ideal coincide și cu suma tuturor idealurilor din lanț. Faptul că limita inductivă există întotdeauna înseamnă că mulțimea tuturor idealurilor inelului R este ordonată inductiv și i se aplică lema lui Zorn . Este adesea folosit pentru a construi idealuri maxime cu unele proprietăți suplimentare (vezi ideal maxim , ideal prim , inel ideal principal ). $\{I_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $\alpha <\beta$ $I_{{\alpha }}$ $I_{{\beta ))$

Imaginea unui ideal sub un homomorfism. De obicei, imaginea unui ideal sub un homomorfism NU este un ideal, dar dacă homomorfismul este surjectiv, atunci este. În special, deoarece homomorfismul de factorizare este întotdeauna surjectiv, factorizarea duce fiecare ideal la un ideal.

Imaginea inversă a unui ideal sub un homomorfism . Dacă este un homomorfism inel , nucleul său este un ideal cu două fețe. Mai general, dacă I este un ideal arbitrar în inelul B , preimaginea sa completă este un ideal (stânga, dreapta sau cu două fețe, în funcție de care este idealul lui I ). $f:\,A\la B$ $\operatorname {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\în A:\,f(a)\în I\}$

Homomorfismul de factorizare în raport cu idealul. Dacă I este un ideal cu două laturi în inelul R , acesta poate fi folosit pentru a defini o relație de echivalență pe R prin regula: x ~ y dacă și numai dacă diferența xy aparține lui I . Se verifică ca dacă unul dintre operanzii din sumă sau produs este înlocuit cu unul echivalent, noul rezultat va fi echivalent cu cel inițial. Astfel, operațiile de adunare și înmulțire devin definite pe mulțimea R/I a claselor de echivalență, transformându-l într-un inel (comutativitatea și prezența unității sunt reportate din inelul R , dacă există). Concomitent cu acest inel se definește un homomorfism de factorizare (homomorfism canonic) , care atribuie fiecărui element a din R clasa de echivalență în care este conținut. Clasa de echivalență a unui element a este mulțimea elementelor de forma a+i peste tot i din idealul I , deci se notează a + I , dar uneori se folosește și notația generală pentru clasa de echivalență [a] . Prin urmare . Inelul R/I este numit apoi inelul factor al inelului R prin idealul I. $\pi :\,R\la R/I$ $\pi (a)=[a]=a+I$

Istorie

Idealurile au fost introduse pentru prima dată de Dedekind în 1876 în cea de-a treia ediție a Lectures on the Number Theory. Aceasta a fost o generalizare a conceptului de numere ideale introdus de Kummer .

Mai târziu, aceste idei au fost dezvoltate de Hilbert și mai ales de Noether .

Link -uri

Vinberg E. B. Curs de algebră, - M . : Editura Factorial Press, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Zarissky O., Samuel P. Algebra comutativă, V. 1-2, - M. : IL, 1963.
Leng S. Algebra, - M . : Mir, 1968.

Note

↑ Ideal // Kazahstan. Enciclopedia Națională . - Almaty: Enciclopedii kazahe , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Rusă) (CC BY SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile . Proper Ideal pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Prelegere despre algebră la Universitatea de Stat din Moscova