Inel de capăt

Un inel finit în algebra generală este un inel care conține un număr finit de elemente (numit ordinea inelului). Cu alte cuvinte, aceasta este o mulțime finită (nevide) , pe care sunt definite operațiile de adunare și înmulțire, iar în raport cu adunarea formează un grup finit comutativ , iar înmulțirea este legată de adunare prin legile obișnuite de distribuție . Existența unei unități și comutativitatea înmulțirii într-un inel nu sunt întotdeauna valabile, pot exista și divizori de zero . $R$ $R$

Numărul de inele de ordine mici este dat în enciclopedia online a secvențelor întregi [1] .

Exemple de inele finite

Cel mai simplu exemplu este inelul trivial , format dintr-un zero. Orice inel conține un subring trivial . Acesta este singurul inel unde zero este unul multiplicativ [2] . Toate celelalte inele finite sunt numite netriviale.

Un exemplu clasic de inel finit este inelul de reziduuri modulo o valoare naturală . Un inel rezidual este un câmp dacă și numai dacă numărul este prim [3] . Dacă numărul este compus, atunci există divizori zero în inel . De exemplu, o mulțime cu operații de adunare și înmulțire modulo 8 oferă un exemplu de inel fără unitate și cu divizori zero: Inelele reziduale sunt importante în studierea structurii grupurilor abeliene generate finit , ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a construi p -adic. numere . Acest inel este comutativ, dar inelul de matrice pătrate de ordin dat ale căror elemente sunt clase de reziduuri modulo , nu mai este comutativ. $\mathbb {Z} _{n}$ $n$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}$ $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ $n$

Inelul de submulțimi ale unei mulțimi finite este un inel ale cărui elemente sunt submulțimi în . Operația de adunare este diferența simetrică , iar înmulțirea este intersecția mulțimilor : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)

A \cdot B = A \cap B

Axiomele inelului sunt ușor de verificat. Elementul zero este setul gol , elementul unitate este totul . Toate elementele inelului sunt idempotente , adică . Orice element este inversul său în plus: Inelul de submulțimi este important în teoria algebrelor booleene și a teoriei măsurilor , în special, pentru construcția teoriei probabilităților [2] .

X

A\cdot A = A

A+A=0.

Fiecare câmp finit sau corp finit este, de asemenea, un inel finit.

Unele proprietăți

Într-un inel finit comutativ cu unu, fiecare element diferit de zero este fie inversabil , fie este un divizor zero . Într-adevăr, fie un element diferit de zero al inelului de ordine ; compunem produse prin toate elementele nenule ale inelului: . Dacă există unul dintre aceste produse, atunci elementul este inversabil, iar dacă nu, atunci fie unul dintre produse este egal cu zero, fie vreo două produse sunt egale: sau în ambele cazuri , un divizor de zero etc. $A$ $n$ $A$ $aa_{1}\dots aa_{n-1)$ $aa_{i}=aa_{k},$ $a(a_{i}-a_{k})=0.$ $A$

Corolar: un inel finit comutativ netrivial fără divizori zero este un câmp (din același raționament rezultă existența unei unități în inel).

Un inel cu înmulțire netrivială (pentru care nu toate produsele elementelor sunt egale cu zero) se numește simplu dacă nu conține idealuri cu două fețe , cu excepția subringului trivial și a lui însuși . Orice câmp este un simplu inel, deoarece câmpul nu are idealuri adecvate. Un inel comutativ cu identitate este un câmp dacă și numai dacă este un inel simplu. $R$ $R$ $R$ $R$

Teoremele lui Wedderburn

Mica teoremă a lui Wedderburn afirmă că fiecare corp finit este un câmp (adică comutativ prin înmulțire) [4] [5] .

Nathan Jacobson a descoperit ulterior o altă condiție care garantează comutativitatea unui inel: dacă pentru fiecare element al inelului există un număr întreg astfel încât , atunci inelul este comutativ [6] . S-au găsit și alte semne ale comutativității inelelor [7] . $A$ $R$ $n>1$ $a^{n}=a$ $R$

O altă teoremă Wedderburn: să fie un inel simplu cu identitate și idealuri minime de stânga. Atunci inelul este izomorf cu inelul tuturor matricelor de ordin peste un inel de diviziune . În acest caz , corpul este definit în mod unic, iar corpul este definit până la izomorfism. În schimb, pentru orice corp, un inel este un simplu inel. Aceasta înseamnă că orice inel finit simplu este izomorf cu un inel de matrice pătrată peste un câmp finit [8] . $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Note

↑ Secvența OEIS A027623 _
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , p. 18-19.
↑ Vinberg, 2011 , p. 28-34.
↑ Herstein, 1972 , p. 70-71.
↑ Polinoame Prasolov V.V. - M. : MTSNMO, 2003. - S. 113. - 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .
↑ Herstein, 1972 , p. 74.
↑ Pinter-Lucke J. Condiții de comutativitate pentru inele: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. - 2007. - T. 25 , nr. 2 . - S. 165-174 . - doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 .
↑ Van der Waerden, 1975 , p. 372.

Literatură

Atiyah M. , McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - M . : Mir, 1972. - 160 p.
Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - Nr 2 .
Van der Waerden B. L. Algebră. - M . : Mir, 1975. - 623 p.
Vinberg E. B. Curs de algebră. — Ediție nouă, revizuită. si suplimentare — M.: MTsNMO, 2011. — 592 p.
Jacobson N. Structura inelelor. - M . : Editura de literatură străină, 1961.
Herstein I. Inele necomutative. - M . : Mir, 1972. - 190 p.