A patra problemă a lui Hilbert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 iunie 2019; verificările necesită 2 modificări .

A patra problemă a lui Hilbert din lista problemelor lui Hilbert se referă la sistemul de axiome de bază al geometriei . Problema este să

„Definește totul până la un izomorfism al realizării sistemelor de axiome ale geometriilor clasice (Euclid, Lobachevsky și eliptice), dacă omit axiomele de congruență care conțin conceptele de unghi și completează aceste sisteme cu axioma inegalității triunghiului.” [1] .

În cazul unui plan, dacă acceptăm axioma continuității, ajungem la problema pusă de Darboux:

„Găsiți în plan toate problemele variaționale ale căror soluții sunt toate drepte pe plan” [2] .

Valori plate

Teorema lui Desargues este adevărată :
Dacă două triunghiuri sunt situate pe un plan în așa fel încât dreptele care leagă vârfurile corespunzătoare ale triunghiurilor trec printr-un punct, atunci cele trei puncte în care prelungirile celor trei perechi de laturi corespunzătoare ale triunghiurilor se intersectează pe o singură linie dreaptă

O condiție necesară pentru rezolvarea problemei IV a lui Hilbert este cerința ca spațiul metric care satisface axiomele acestei probleme să fie desarguesian, adică trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Dacă spațiul este bidimensional, este necesar ca teorema lui Desargues și inversul său să fie valabile;
Dacă dimensiunea spațiului este mai mare de două, atunci este necesar ca oricare trei puncte să se afle pe același plan.

Pentru spațiile desarguesiene , Hamel a demonstrat că orice soluție a problemei Hilbert poate fi reprezentată într-un spațiu proiectiv real sau într-un domeniu convex dacă congruența segmentelor este definită prin egalitatea lungimii lor într-o metrică specială pentru care liniile proiective. spațiul sunt geodezice. $RP^{n}$ $RP^{n},$

Astfel de metrici sunt numite plate sau proiective.

Astfel, soluția problemei lui Hilbert a fost redusă la problema definiției constructive a tuturor metricilor plate complete.

Hamel a rezolvat această problemă propunând o regularitate suficientă a metricii [3] . Cu toate acestea, după cum arată exemplele simple, valorile plate obișnuite sunt departe de a epuiza toate valorile plate. Din axiomele considerate de geometrie rezultă doar continuitatea metricii. Prin urmare, o soluție completă a problemei lui Hilbert implică o definiție constructivă a tuturor metricilor plate continue.

Contextul problemei IV a lui Hilbert

Până în 1900, era cunoscută interpretarea lui Cayley-Klein a geometriei lui Lobachevsky în cercul unitar , unde acordurile cercului sunt linii drepte, iar distanța dintre puncte este determinată ca logaritmul raportului complex de patru puncte.

Pentru metricile riemanniene bidimensionale E. Beltrami (1835-1900) a demonstrat că singurele metrici plate sunt metricile cu curbură constantă [4] .

Pentru metrica riemanniană multidimensională, această afirmație a fost dovedită de E. Cartan în 1930.

În 1890, G. Minkowski, în legătură cu teoria numerelor, a introdus ceea ce numim acum spații Banach cu dimensiuni finite [5] .

Spațiul Minkowski

$F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n)$ este o suprafață compactă închisă convexă în spațiul euclidian, definită implicit

F_{0}=\{y\în E^{n}:F(y)=1\}.

Funcția îndeplinește condițiile: $F=F(y)$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Să setăm lungimea vectorului OA astfel:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Un spațiu cu o astfel de metrică se numește spațiu Minkowski.

Hipersuprafața poate fi o suprafață convexă neregulată. Metrica dată în acest fel este plată. $F_{{0}}$

Spații Finsler

Fie M o varietate netedă de dimensiuni finite și fie M un mănunchi tangent. O funcție se numește metrică Finsler dacă $(x,y)\in TM$ $F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
Pentru fiecare punct , restricția funcției la este norma Minkowski. $x\în M$ $F(x,y)$ $T_{x}M$

$(M,F)$ se numește spațiu Finsler.

Geometrie Hilbert

$U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ este o mulțime convexă deschisă mărginită cu granița de clasă C 2 și curburi normale pozitive. Prin analogie cu spațiul Lobachevsky, hipersuprafața se numește absolutul geometriei Hilbert [6] . $\partial U$

metrica Hilbert

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2)}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ induce o metrică Finsler Hilbert pe U pentru orice și (vezi Fig.) $F_{U}$ $x\în U$ $y\in T_{x}U$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).

Această valoare este, de asemenea, plată.

D. Hilbert a introdus-o în 1895 ca o generalizare a geometriei lui Lobaciovski. Când hipersuprafața este un elipsoid, atunci obținem geometria Lobachevsky. $\partial U$

Valoarea lui Funk

În 1930, Funk a introdus o metrică nesimetrică. Este dat într-o regiune delimitată de o suprafață convexă închisă și este, de asemenea, plată.

σ-metrics

Condiție suficientă pentru valori plate

Prima contribuție la rezolvarea problemei IV a lui Hilbert a fost făcută de Hamel [3] . El a dovedit următoarea afirmație.

Teorema . Dacă o metrică Finsler obișnuită îndeplinește condiția $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{ 2}}{\partial x^{j}\partial y^{i}}},\,i,j=1..n,$

atunci este plat.

Formula lui Crofton

Luați în considerare un set de linii drepte orientate în plan. Linia este specificată de parametrii unde este distanța până la linie de la origine, este unghiul pe care linia îl formează cu axa Ox . Apoi setul de linii orientate este homeomorf la un cilindru circular cu raza unitară, unde este elementul de zonă . Fie o curbă rectificabilă în plan. Apoi lungimea sa $\rho ,\varphi ,$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega}n(\rho,\varphi)dpd\varphi

unde este mulțimea de linii care intersectează curba dată, este numărul de intersecții ale dreptei cu curba. Acest lucru a fost arătat de M. Crofton în 1870. $\Omega$ $n(p,\varphi )$

O afirmație similară este valabilă într-un spațiu proiectiv [7] .

Măsura Blaschke-Busemann

În 1966, G. Busemann, vorbind la Congresul Internațional de Matematică de la Moscova, a introdus o nouă clasă de metrici plate. G. Busemann a introdus o măsură complet aditivă nenegativă pe mulțimea de drepte ale planului proiectiv , care îndeplinește următoarele condiții: $RP^{2}$ $\sigma$

$\sigma (\tau P)=0$ , unde este multimea dreptelor care trec prin punctul P ; $\tau P$
$\sigma (\tau X)>0$ , unde este mulțimea de drepte care trec printr-o mulțime X care conține un segment de dreaptă; $\tau X$
$\sigma (RP^{n})$ finit.

Dacă luăm în considerare metrica definită într-un domeniu convex arbitrar al spațiului proiectiv , atunci condiția 3) este înlocuită cu cerința ca pentru orice mulțime H , astfel încât H este conținut în , închiderea lui H nu intersectează granița , $\sigma$ $\Omega$ $RP^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Cu ajutorul unei astfel de măsuri, se determină -metric in : $\sigma$ $RP^{2}$

|x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),

unde este multimea de drepte care intersecteaza segmentul . $\tau [x,y]$ $[x,y]$

Inegalitatea triunghiului pentru această metrică rezultă din teorema lui Pasch.

Teorema . -metric în este o metrică plată, adică geodeziile din această metrică sunt linii ale spațiului proiectiv. $\sigma$ $RP^{2}$

Dar Busemann era departe de a crede că -metrics epuizează toate valorile plate. El a scris: „... Libertatea în alegerea metricii atunci când se specifică geodezicii în cazul metricii non-riemanniene este atât de mare încât ne putem îndoi dacă există într-adevăr o caracterizare convingătoare a tuturor spațiilor desarguesiene...” [8] . $\sigma$

Caz bidimensional

Teorema lui Pogorelov

Teorema demonstrată în 1973 de A. V. Pogorelov [9] [10] s-a dovedit a fi surprinzătoare .

Teorema . Orice metrică plată completă continuă bidimensională este o metrică. $\sigma$

Astfel, problema lui IV Hilbert pentru cazul bidimensional este complet rezolvată.

Alte dovezi

În 1976, R. B. Ambartsumian a dat o altă dovadă a problemei IV a lui Hilbert [11] . Dovada sa este legată de faptul că, în cazul bidimensional, întreaga măsură este reconstruită din valorile sale pe digoane. Și apoi este dat pe triunghiuri în același mod în care este dată aria unui triunghi pe o sferă. Pe triunghiuri nedegenerate, este pozitiv deoarece inegalitatea triunghiului este valabilă, iar apoi măsura este determinată pe toate mulțimile Borel. Dar această construcție nu este generalizată ca dimensiune. Aceasta este legată de problema III a lui Hilbert, care a fost rezolvată de M. Dehn. În cazul bidimensional, poligoane cu arii egale sunt compuse în mod egal. Într-o dimensiune superioară, așa cum arată M. Dehn, acest lucru nu este adevărat.

Caz 3D

Pentru cazul n=3 A. V. Pogorelov a demonstrat următoarea teoremă

Teorema. Orice metrică plată completă continuă regulată tridimensională este o metrică. $\sigma$

Cu toate acestea, în cazul tridimensional, -măsurile pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Condițiile necesare și suficiente pentru ca metrica regulată dată de funcția set să fie plată sunt următoarele trei condiții: $\sigma$ $\sigma$

valoarea pe orice plan este zero; $\sigma$
valoarea în orice con este nenegativă; $\sigma$
valoarea este pozitivă dacă conul conține puncte interioare. $\sigma$

În plus, A. V. Pogorelov a arătat că orice metrică plată continuă completă în cazul tridimensional este limita metricilor regulate cu convergență uniformă în orice subdomeniu compact al domeniului în care această metrică este definită. El a numit astfel de metrici -metrice generalizate. $\sigma$ $\sigma$

Astfel, A. V. Pogorelov a reușit să demonstreze că

Teorema. Fiecare metrică plată continuă completă în cazul tridimensional este o metrică în sens generalizat. $\sigma$

G. Busemann, într-o recenzie a traducerii cărții de A. V. Pogorelov `` Hilbert's Fourth Problem scria: „În conformitate cu spiritul vremurilor, Hilbert s-a limitat la dimensiunile n = 2, 3. A. V. Pogorelov s-a limitat și el. la aceste dimensiuni. Deși diferența reală dintre n = 2 și n > 2. Metoda lui Pogorelov funcționează și pentru n > 3, necesită doar mai multe detalii tehnice [12] ."

Caz multidimensional

Cazul multidimensional IV al problemei lui Hilbert a fost studiat de ZI Sabo. În 1986, a demonstrat, după cum scrie el însuși, teorema generalizată a lui Pogorelov: Teorema. Orice spațiu de clasă desarguesian n -dimensional este generat de construcția Blaschke-Busemann. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -măsura care generează o măsură plată are următoarele proprietăți:

$\sigma$ -masura hiperplanelor care trec printr-un punct fix este egala cu zero.
$\sigma$ -masura multimii de hiperplane care intersecteaza doua segmente [x, y], [y, z] , unde x, y, z nu sunt coliniare, este pozitiva.

Același articol oferă un exemplu de metrică plată care nu este generată de construcția Blaschke-Busemann. ZI Sabo a descris toate metricile plate continue în limbajul funcțiilor generalizate [13] .

IV Problema lui Hilbert și corpurile convexe

IV Problema lui Hilbert este, de asemenea, strâns legată de proprietățile corpurilor convexe. Un poliedru convex se numește zonotop dacă este suma (după Minkowski) a segmentelor de dreaptă. Un corp convex, care este limita zonotopilor în metrica Blaschke-Hausdorff, se numește zonoid . Pentru zonoide, funcția suport este reprezentată ca

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\partial \sigma (u),

unde este o măsură Borel chiar pozitivă pe sferă . $\sigma (u)$ $S^{{n-1}}$

Spațiul Minkowski este generat de construcția Blaschke-Busemann dacă și numai dacă funcția de suport a indicatricei are forma dată mai sus, unde este o măsură Borel chiar și nu neapărat constantă de semn [14] . Corpurile delimitate de astfel de suprafețe se numesc zonoide generalizate. $\sigma (u)$

Un octaedru din spațiul euclidian nu este un zonoid generalizat. Apoi, din afirmația de mai sus rezultă că metrica plată a spațiului Minkowski cu norma , nu este generată de construcția Blaschke-Busemann. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ $E^{3}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Generalizări ale problemei lui Hilbert IV

O corespondență a fost găsită între metricile Finsler plate n - dimensionale și formele simplectice speciale pe o varietate Grassmann în [15] . $G(n+1,2)$ $E^{n+1}$

S-au luat în considerare soluțiile periodice ale problemei IV a lui Hilbert:

Fie (M, g) o varietate riemanniană compactă local euclidiană. Se dă o metrică Finsler ale cărei geodezice coincid cu metrica g . Atunci metrica Finsler este suma unei metrici Minkow local și a unei forme 1 închise [16] . $C^{2}$

Fie (M, g) un spațiu riemannian simetric compact de rang mai mare decât unu. Dacă F este o metrică Finsler simetrică ale cărei geodezice coincid cu geodezice ale metricii Riemanniane g, atunci (M, F) este un spațiu Finsler simetric [16] . $C^{2}$

O altă prezentare a problemei IV a lui Hilbert este în lucrarea lui Pavey din 2003 [17] .

Probleme nerezolvate

Problema lui Hilbert IV pentru distanța asimetrică nu a fost rezolvată.
Un analog al ultimei teoreme pentru cazul spațiilor simetrice de rangul 1 este necunoscut.
Descrieți metrica pentru care k -planuri minimizează k -area (G. Busemann) [18] . $RP^{n}$

Literatură

↑ D. Hilbert, Mathematische Probleme , Gottinger Nachrichten, 1900, 253-297
↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces , V.III, Paris, 1894.
↑ 1 2 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind , Math. Ann. 57 (1903), 221-264.
↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, nr.7 (1865), 185-204
↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953
↑ D. Hilbert, Uber die gerade Line als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann. 46 (1895), 91-96
↑ LA Santalo, Integral geometry.- În: Studies in Global Geometry and Analysis (SS Chern, ed.), Washington, DC: Math. asoc. Amer, 147-195
↑ 1 2 G. Buseman, Geometry of geodezics , Moscova, 1962.
↑ A. V. Pogorelov, Soluția completă a problemei IV Hilbert , DAN URSS Nr. 208, vol. 1 (1973), 46-49. Traducere în engleză: AV Pogorelov, A complete solution of "Hilbert's fourth problem , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, No. 1 (1973), 48-52.
↑ A. V. Pogorelov, A patra problemă a lui Hilbert . Ed. Nauka, 1974. Traducere în engleză: AV Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
↑ RV Ambartzumian, A note on pseudo-metric on the plane , Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37 (1976), 145-155.
↑ H. Busemann, Review of: A.V. Pogorelov, Hilbert's fourth problem , Bull. amer. Matematică. soc. (NS) Vol. 4, nr. 1 (1981), 87-90.
↑ ZI Szabo, A patra problemă a lui Hilbert I , Adv. Matematică. 59 (1986), 185-301.
↑ R. Alexander, Teoria zonoidelor și problema a patra Hilbert , Geom. Dedicata 28, nr.2 (1988), 199-211.
↑ JC Alvarez Paiva, Sympletic geometry and Hilbert fourth problem , J. Difer. Geom. 69, nr. 2 (2005), 353-378.
↑ 1 2 J. C. Alvarez Pavia și J. Barbosa Gomes, Periodic Solutions of Hilbert fourth problem , 20 p. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
↑ JC Alvarez Paiva, Hilbert a patra problemă în două dimensiuni I , în: MASS selecta: teaching and learning advanced undergraduate mathematics, ed. S. Katok şi colab., Providence, RI, AMS, (2003), 165-183.
↑ A. Papadopoulos, On Hilbert fourth problem , 1-43. Handbook of Hilbert geometry (A. Papadopoulos and M. Troyanov, ed.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, nr.22 (2014), p. 460.

Probleme Hilbert
unu 2 3 patru 5 6 7 opt 9 zece unsprezece 12 13 paisprezece cincisprezece 16 17 optsprezece 19 douăzeci 21 22 23 ( 24 )