Teorema Pi

Teorema pi ( -teorema , -teorema ) este teorema fundamentală a analizei dimensionale . Teorema afirmă că, dacă există o dependență între mărimile fizice care nu își schimbă forma atunci când scalele unităților dintr-o anumită clasă de sisteme de unități se modifică, atunci este echivalentă cu o dependență între, în general vorbind, un număr mai mic de unități adimensionale. cantități, unde este cel mai mare număr de cantități cu dimensiuni independente dintre cantitățile inițiale. Teorema Pi permite stabilirea structurii generale a dependenței, care rezultă doar din cerința ca dependența fizică să fie invariabilă atunci când scalele unităților se modifică, chiar dacă forma specifică a dependenței dintre valorile inițiale este necunoscută. . $\Pi$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Variații de nume

În literatura de limba rusă despre teoria și modelarea dimensiunilor, se folosește de obicei denumirea de teorema pi ( -teorema , -teorema ) [1] [2] [3] [4] , care provine de la denumirea tradițională a combinațiilor adimensionale folosind litera greacă (majusculă sau mică) „ pi ”. În literatura în limba engleză, teorema este de obicei asociată cu numele de Edgar Buckingham , iar în literatura în limba franceză cu numele de Aimé Vashí . $\Pi$ $\pi$

Context istoric

Aparent, teorema pi a fost demonstrată pentru prima dată de J. Bertrand [5] în 1878. Bertrand ia în considerare exemple particulare de probleme din electrodinamică și teoria conducției căldurii, dar prezentarea sa conține în mod clar toate ideile principale ale demonstrației moderne a teoremei pi, precum și o indicație clară a utilizării teoremei pi pentru modelare. fenomene fizice. Metoda de aplicare a teoremei pi ( metoda dimensiunilor ) a devenit cunoscută pe scară largă datorită lucrărilor lui Rayleigh (prima aplicare a teoremei pi în formă generală [6] la dependența căderii de presiune în conductă de parametrii definitori datează probabil din 1892 [7] , o dovadă euristică folosind extinderea seriei de putere până în 1894 [8] ).

O generalizare formală a teoremei pi la cazul unui număr arbitrar de mărimi a fost formulată pentru prima dată de Vashí în 1892 [9] , iar mai târziu și aparent independent de A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] în 1911 și Buckingham [ 12] în 1914. Ulterior, teorema pi este generalizată de Hermann Weil în 1926 .

Enunțul teoremei

Pentru simplitate, formularea valorilor pozitive este dată mai jos . $q_{i}$

Să presupunem că există o relație între mărimile fizice , , , : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})=0,

a cărui formă nu se schimbă atunci când se modifică scara unităților din clasa selectată de sisteme de unități (de exemplu, dacă se utilizează clasa de sisteme de unități LMT, atunci forma funcției nu se schimbă cu nicio modificare a standardelor de lungime, timp și masă, să zicem, când treceți de la măsurători în kilograme, metri și secunde la măsurători în lire, inci și ore). $f$

Să alegem dintre argumentele funcției cel mai mare set de mărimi cu dimensiuni independente (o astfel de alegere se poate face, în general, în diverse moduri). Atunci dacă se indică numărul de mărimi cu dimensiuni independente și acestea sunt numerotate cu indici , , , (altfel pot fi renumerotate), atunci dependența inițială este echivalentă cu dependența dintre mărimile adimensionale , , , : $k$ $unu$ $2$ $\ldots$ $k$ $f$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})=0,

unde sunt combinații adimensionale obținute din valorile inițiale rămase , , , prin împărțirea la valorile selectate în puterile corespunzătoare: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vdots

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(combinațiile fără dimensiuni există întotdeauna pentru că , , , este o colecție de mărimi independente de dimensiune de cea mai mare dimensiune, iar atunci când la acestea se adaugă încă o cantitate, se obține o colecție cu dimensiuni dependente). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Dovada

Demonstrarea teoremei pi este foarte simplă [13] . Dependența inițială dintre , , , poate fi considerată ca o dependență între , , , și , , , : $f$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})=0 ,

Mai mult, nici forma funcției nu se schimbă atunci când scara unităților este schimbată. Rămâne de remarcat faptul că, datorită independenței dimensionale a mărimilor , , , este întotdeauna posibil să se aleagă o astfel de scară de unități încât aceste mărimi să devină egale cu unu, în timp ce , , , , fiind combinații adimensionale , nu își vor modifica. valori, prin urmare, cu o astfel de scară aleasă de unități, ceea ce înseamnă că, din cauza invarianței și în orice sistem de unități, funcția depinde de fapt doar de : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Cazuri speciale

Aplicație la o ecuație rezolvată cu privire la o cantitate

O variantă a teoremei pi este adesea folosită pentru dependența funcțională a unei mărimi fizice de mai multe altele , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n}).

În acest caz, teorema pi afirmă că dependența este echivalentă cu conexiunea

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p}),

Unde

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

și sunt definite în același mod ca mai sus. $\pi _{i}$

Cazul în care teorema pi dă forma dependenței până la un factor

Într-un caz particular important, când depinde de

q=f(q_{1},q_{2},\ldots,q_{n})

toate argumentele au dimensiuni independente, aplicând teorema pi dă

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\text{const)),

adică tipul de dependenţă funcţională este determinat până la o constantă. Valoarea constantei nu este determinată de metodele teoriei dimensiunilor, iar pentru a o găsi, este necesar să se folosească metode experimentale sau alte metode teoretice.

Note despre aplicarea teoremei pi

Alegerea argumentelor cu dimensiuni independente, în general, se poate face în diverse moduri, în urma cărora, la aplicarea teoremei pi, se pot obține expresii formal diferite. Totuși, de fapt, rezultatele rezultate sunt echivalente, iar dintr-o formă de notație se poate obține alta prin trecerea la combinații de parametri adimensionali.
În formularea teoremei pi, cerința invarianței dependenței este importantă. Dacă, de exemplu, atunci când lucrați în Sistemul Internațional de Unități (SI) în experiment, s-a obținut dependența traseului parcurs de corpul în cădere în timp. $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

atunci în această formă nu îndeplinește condițiile teoremei pi.

Aplicarea teoremei pi pentru modelarea fizică

Teorema pi este utilizată pentru modelarea fizică a diferitelor fenomene din aerodinamică , hidrodinamică , teoria elasticității , teoria vibrațiilor . Modelarea se bazează pe faptul că, dacă pentru două procese naturale („model” și „natural”, de exemplu, pentru fluxul de aer din jurul unui model de aeronavă într-un tunel de vânt și fluxul de aer din jurul unei aeronave reale), argumente adimensionale (ele se numesc criterii de asemanare ) in functie de

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})

coincid, ceea ce se poate face printr-o alegere specială a parametrilor obiectului „model”, apoi coincid și valorile adimensionale ale funcției. Acest lucru face posibilă „recalcularea” valorilor experimentale dimensionale ale parametrilor de la obiectul „model” la cel „natural”, chiar dacă forma funcției este necunoscută. Dacă este imposibil să se realizeze coincidența tuturor criteriilor de similitudine pentru obiectele „model” și „naturale”, atunci ele recurg adesea la modelarea aproximativă, când asemănarea se realizează numai în funcție de criterii care reflectă influența celor mai semnificativi factori, în timp ce influența factorilor secundari este luată în considerare aproximativ pe baza unor considerații suplimentare (nu decurgând din teoria dimensiunilor). $\pi$ $F$

Exemple de aplicații ale teoremei pi

Frecvența de oscilație a clopotului

Emisia de sunet de către un clopot are loc ca urmare a propriilor oscilații , care pot fi descrise în cadrul teoriei liniare a elasticității . Frecvența sunetului emis depinde de densitatea , modulul lui Young și raportul lui Poisson a metalului din care este realizat clopotul și de numărul finit de dimensiuni geometrice , , , ale clopotului: $f$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho,E,\nu,l_{1},l_{2},\ldots,l_{N}).

Dacă se utilizează clasa de sisteme de unități LMT, atunci, de exemplu, , și pot fi alese ca mărimi cu dimensiuni independente (cantitățile selectate incluse în subsistemul independent de dimensiune maximă sunt subliniate): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\underline {\rho )),{\underline {E_{\!}}},\nu ,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots, l_{N}),

iar aplicând teorema pi dă

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Dacă există două clopote similare din punct de vedere geometric din același material, atunci pentru ele argumentele funcției sunt aceleași, deci raportul frecvențelor lor este invers proporțional cu raportul dimensiunilor lor (sau invers proporțional cu rădăcina cubă a raportul maselor lor). Acest model este confirmat experimental [14] . $G$

Rețineți că dacă alte mărimi, de exemplu , și , ar fi alese ca mărimi cu dimensiuni independente, atunci aplicarea teoremei pi ar da în mod formal un rezultat diferit: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

dar concluziile trase ar rămâne în mod firesc aceleași.

Rezistența la mișcarea lentă a unei mingi într-un lichid vâscos

Cu o mișcare staționară lentă (la numere Reynolds scăzute ) a unei sfere într-un fluid vâscos, forța de rezistență depinde de vâscozitatea fluidului , precum și de viteza și raza sferei (densitatea fluidului nu este printre parametrii determinanți, întrucât la viteze mici efectul inerţiei fluidului este neglijabil) . Aplicarea la dependență $F$ $\mu$ $V$ $R$

F=f(\mu,V,R)

teorema pi, obținem

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const}),

adică, în această problemă, forța de rezistență este găsită până la o constantă. Valoarea constantei nu se găsește din considerente dimensionale (soluția problemei hidrodinamice corespunzătoare dă valoarea constantei , care este confirmată experimental). $6\pi$

Vezi și

Link -uri

Câteva lucrări de revizuire și surse primare despre istoria teoremei pi și a teoriei similarității Arhivate 13 aprilie 2021 la Wayback Machine

Note

↑ Barenblatt G. I. Similaritate, auto-asemănare, asimptotice intermediare. Teorie și aplicații la hidrodinamică geofizică. - L . : Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 p.
↑ Sedov L. I. Metode de similaritate și dimensiune în mecanică . - M . : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 p.
↑ Bridgman P. Analiza dimensională . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 p.
↑ Huntley G. Analiză dimensională . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 p. (prefață la ediția rusă)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , Nr. 15 . - S. 916-920 .
↑ Când, după aplicarea teoremei pi, din combinații adimensionale ia naștere o funcție arbitrară .
↑ Rayleigh. Despre problema stabilităţii fluxului de lichide // Revista filozofică. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Teoria sunetului . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 p.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — S. 25–28 . Citările din articolul lui Vash cu formularea teoremei pi sunt date în articolul: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , nr. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. Despre unele metode generale de integrare a ecuațiilor diferențiale parțiale de prim ordin // Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute of Emperor Petru cel Mare. Departamentul de Tehnologie, Științe ale Naturii și Matematică. - 1911. - T. 16 , nr. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations // Physical Review. - 1914. - V. 4 , Nr. 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Unități de mărimi fizice și dimensiunile acestora. - M .: Science , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Scattering, attenuation, refraction - trei chei pentru dezlegarea paradoxului // Science and Life. - 1983. - Nr 2 . - S. 117-118 .

Mărimi fără dimensiune în fizică
Concepte	Dimensiunea unei marimi fizice Cantitate fără dimensiuni π -Teorema criteriul de similitudine
criterii de similitudine	Numărul Alfvén (Al) numărul lui Arhimede (Ar) Numărul Atwood (A) Număr Bagnold (Ba) Numărul Burstow (Fii) Număr bio (Bi) Numărul Boltzmann (Bo) Număr Bond/Eötvös (Bo, Bd sau Eo) Numărul Brinkmann (Br) Număr Bulygin (Bu) Numărul Weisenberg (Wi sau We) Numărul Weber (Noi) număr galilean (Ga) numărul Hartmann (Ha) Număr Gay-Lussac (Gc sau GaL) Numărul de homocronicitate (Ho) Numărul Grashof (Gr) Numărul Graetz (Gz) Numărul Gouche (Go) Numărul Damköhler (Da) Numărul Deborah (De) Numărul deryagin (Dg sau De) Numărul decanului (Dn sau D ) Număr capac (Co) Numărul de capilaritate (Cp sau Ca) Numărul Karman (Ka) Numărul Keleghan-Carpenter ( K C ) Numărul Kibel (Ki) numărul Kirpichev (Ki) Numărul Clausius (Cl) Numărul Knudsen (Kn) Numărul Kossovich (Ko) Numărul Cauchy (Ca) Numărul Laplace (La) Numărul Lundquist (Lu sau S) Numărul Lykov (Lk sau Lu) numărul lui Lewis (Le) Numărul Liașcenko (Ly) Numărul Marangoni (Mg) Numărul Mach (M) Numărul Morton (Lu) numărul Nusselt (Nu) Numărul Newton (Ne sau Nt) Numărul Onesorge (Oh) Număr peclet (Pe) Numărul Posnov (Pn) numărul Prandtl (Pr) Numărul magnetic Prandtl (Pr m ) Numărul Prandtl turbulent (Pr t ) Număr Poiseuille (Po) Numărul Reynolds (Re) Numărul Reynolds acustic (Re a ) Numărul Reynolds magnetic (Re m ) Numărul Richardson (Ri) Numărul Rossby (Ro) Numărul trandafirilor (Rs) Numărul Roshko (Rk sau Ro) Numărul Ruark (Ru) Numărul Rayleigh (Ra) Numărul Soret (Sr) Numărul Stanton (Sf) Numărul Stokes (Sk sau Stk) Numărul Strouhal (S, Sh sau St) Numărul Stewart (St sau N ) Numărul Suratman (Su) numărul Taylor (Ta) Numărul Womersley (Wo sau α) Numărul Fedorov în hidrodinamică în teoria uscării (Fe) Numărul Froude (Fr) numărul Fourier (Fo) numărul Hagen (Hg) Numărul Chandrasekhar (Ch sau Q ) Numărul Schmidt (Sc) Numărul Sherwood (Sh) Numărul Euler (Eu) Numărul Eckert (Ec sau E ) Numărul Ekman (Ek) Numărul Elsasser (El sau Λ) Numărul Eriksen (Er) numărul Iacov (Ja)
Alte mărimi adimensionale	Abbe număr numere cuantice