Categorie completă

O categorie se numește complet mic dacă orice diagramă mică din ea are o limită . Conceptul dual este o categorie mică cocompletă , adică una în care orice diagramă mică are o colimită . Completitudinea finită și, în general, α-completitudinea sunt definite în mod similar pentru orice cardinal obișnuit α. Dintre toate, cea mai des folosită este completitatea în mic, prin urmare, categoriile care sunt complete în mic sunt pur și simplu numite complete . Existența limitelor în general a tuturor diagramelor (nu neapărat mici) se dovedește a fi o condiție prea puternică, deoarece o astfel de categorie ar fi neapărat o preordonare și ar exista cel mult un morfism între oricare două dintre obiectele sale.

O categorie care este atât completă, cât și cocompletă se numește bicompletă .

O proprietate mai slabă a unei categorii este completitatea finită. Se spune că o categorie este finit completă dacă în ea există toate limitele finite (adică limitele tuturor diagramelor indexate de o mulțime finită). Categoriile finit cocomplete sunt definite în mod similar.

Exemple

Următoarele categorii sunt bi-complete:
- setați categoria ; ${\mathcal {S}}et$
- categoria grupului ; ${\mathcal {G}}rp$
- categoria inelului ; ${\mathcal {R}}ing$
- categoria grupurilor abeliene ; ${\mathcal {A}}b$
- categoria spaţiilor topologice ; ${\mathcal {T}}op$
- categoria spaţiilor compacte Hausdorff ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- categoria categoriilor mici ; ${\mathcal {C}}la$
Următoarele categorii sunt desigur bicomplete, dar nu complete sau cocomplete:
- categoria multimilor finite ; $f{S}et$
- categoria spațiilor vectoriale finite-dimensionale peste câmp ; $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- categoria de grupuri finite ; $f{\mathcal {G}}rp$
În general, dacă este o categorie de modele a unei teorii algebrice , atunci este completă și cocompletă, deoarece reflectă în . Amintiți-vă că teoria algebrică permite doar condiții asupra operațiilor care sunt identități (fără cuantificatori!). Să spunem că categoria câmpurilor nu este o categorie de modele de teorie algebrică, deci afirmația anterioară nu i se aplică. Nu este complet sau complet. $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}}, {\mathcal {S}}et)$
( teorema limită cu un parametru ) Dacă o categorie este completă (cocompletă), atunci categoria este completă (cocompletă) pentru orice categorie , iar limitele sunt calculate punctual. ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}), {\mathcal {C}))$ $\mathcal{A}$
Orice categorie abeliană este finit completă și cu siguranță cocompletă.
O precomandă este completă dacă are un element cel mai mare și orice set de elemente are o limită superioară minimă . În mod similar, este copolon dacă are cel mai mic element și orice set de elemente are o limită minimă.
Categoria spațiilor metrice Met este finit completă, dar nu este completă și nici măcar nu are coproduse finite.

Proprietăți

Există o teoremă conform căreia o categorie este completă dacă și numai dacă toate egalizatoarele și produsele mici există în ea . În consecință, o categorie este completă dacă conține toți coegalizatorii și coprodusele mici.

Desigur, întreaga categorie poate fi caracterizată și în mai multe moduri. Și anume, următoarele afirmații sunt echivalente:

C este cu siguranță plin,
C are toate egalizatoarele și produsele finite,
C are toate egalizatoarele, produsele binare și un obiect terminal .
C are toate pătratele carteziene și un obiect terminal.

Propozițiile duale sunt, de asemenea, echivalente.

O categorie mică este completă în cea mică doar dacă este o precomandă. Același lucru este valabil și pentru categoria cocompletă; în plus, pentru o categorie mică, completitatea și completitudinea sunt echivalente în cea mică. [unu]

Dacă o categorie este completă într-o categorie mică, atunci pentru orice categorie mică orice functor are o extensie Kahn dreaptă față de orice functor și orice astfel de extensie Kahn este punctual. Afirmația rezultă în mod clar din reprezentarea extensiei punctuale Kahn ca limită. $C$ $A$ $F\colon A\la C$ $\mathrm {Ran} _{K}F$ $K\colon A\la B$

Note

↑ Categorii abstracte și concrete, Jiří Adámek, Horst Herrlich și George E. Strecker, teorema 12.7, pagina 213

Literatură

S. McLane Categorii pentru un matematician de lucru, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. Analiza categorică a logicii, - M . : Mir, 1983. - 487 p.
F. Borceux. Manual de algebră categorială 1. Teoria de bază a categoriilor. — Enciclopedia de matematică și aplicațiile ei. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich și George E. Strecker. Categorii abstracte și concrete (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .