Patrulaterul necircumscris

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 ianuarie 2019; verificările necesită 6 modificări .

Un patrulater necircumscris este un patrulater convex ale cărui prelungiri ale tuturor celor patru laturi sunt tangente la cerc (în afara patrulaterului) [1] . Cercul se numește excerc . Centrul cercului se află la intersecția a șase bisectoare. Acestea sunt bisectoarele a două unghiuri interne ale colțurilor opuse ale patrulaterului, bisectoarele unghiurilor externe ale altor două vârfuri și bisectoarele unghiurilor externe la punctele de intersecție a prelungirilor laturilor opuse (vezi figura în dreapta, prelungirile indicate ale laturilor sunt trasate printr-o linie punctată). Patrulaterul înscris este strâns legat de patrulaterul circumscris (care are patru laturi tangente la cerc).

Ocazii speciale

Deltoizii sunt un exemplu de patrulatere în afara cercului. Paralelogramele (care includ pătrate , romburi și dreptunghiuri ) pot fi considerate patrulatere excerce cu rază infinită a cercului, deoarece satisfac proprietățile descrise mai jos, dar excercul nu poate atinge ambele perechi de prelungiri laterale (deoarece sunt paralele) [2] . Patralaterele convexe ale căror lungimi ale laturilor formează o progresie aritmetică sunt întotdeauna necircumscrise deoarece îndeplinesc condițiile descrise mai jos pentru laturile adiacente.

Proprietăți

Un patrulater convex este necircumscris dacă și numai dacă există șase bisectoare care se intersectează într-un punct. Acestea sunt bisectoarele a două unghiuri interne ale colțurilor opuse ale patrulaterului, bisectoarele unghiurilor externe ale celorlalte două vârfuri și bisectoarele unghiurilor externe la punctele de intersecție a continuărilor laturilor opuse [2] .

Criteriile lui Steiner pentru nedescrierea unui patrulater pentru un cerc. Teorema lui Steiner

Teorema lui Steiner . Din punct de vedere computațional, o proprietate mai utilă este aceea că un patrulater convex cu laturile a, b, c, d este necircumscris dacă și numai dacă suma a două laturi adiacente este egală cu suma celorlalte două laturi. Acest lucru este posibil în două cazuri - fie

a+b=c+d

a+d=b+c.

Proprietatea a fost dovedită de Jakob Steiner în 1846 [3] . În primul caz, excercul este de partea celui mai mare dintre unghiurile de la vârfurile A sau C , în timp ce în al doilea caz, cercul este de partea celui mai mare dintre unghiurile de la vârfurile B sau D. Aici laturile patrulaterului ABCD au lungimile a = AB , b = BC , c = CD și d = DA . Combinând cele două egalități obținute, obținem că valorile absolute ale diferențelor laturilor opuse sunt [2] ,

|ac|=|bd|.

Această egalitate este strâns legată de teorema Pitot pentru patrulatere circumscrise , conform căreia sumele laturilor opuse sunt egale.

Criteriile lui Urquhart pentru nedescrierea unui patrulater pentru un cerc . teorema lui Urquhart.

Teorema lui Urquhart . Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci pentru ca acest patrulater să fie circumscris unui cerc, este necesar ca oricare dintre cele două condiții să fie îndeplinită

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci pentru ca acest patrulater să fie circumscris unui cerc, este necesar și suficient ca oricare dintre cele două condiții să fie îndeplinită

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Dacă laturile opuse ale unui patrulater convex ABCD se intersectează în punctele E și F , atunci

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Derivarea de la stânga la dreapta este numită după L. M. Urquhart (1902-1966), deși a fost dovedită cu mult înaintea lui de către Augustus de Morgan în 1841. Daniel Pedoe a numit această afirmație cea mai elementară teoremă a geometriei euclidiene , deoarece se ocupă doar de linii și distanțe [4] . Echivalența a fost dovedită de Mowaffac Hajja [4] , ceea ce face ca egalitatea din dreapta să fie o altă condiție necesară și suficientă pentru ca un patrulater să fie indescriptibil.

Comparație cu patrulaterul circumscris

Câțiva exponenți ai patrulaterelor circumscrise (coloana din stânga a tabelului) au o contrapartidă foarte asemănătoare pentru patrulaterele necircumscrise (coloana din mijloc și din dreapta tabelului), așa cum se poate observa în tabelul de mai jos [2] . Astfel, un patrulater convex are un cerc sau un cerc în apropierea vârfului corespunzător (în funcție de coloană) dacă și numai dacă oricare dintre cele cinci condiții este îndeplinită.

înscrisă	Înscris în afara A sau C	Înscris în afara B sau D
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3))$
$agh+cef=beh+dfg$	$agh+beh=cef+dfg$	$agh+dfg=beh+cef$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 {h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1 {h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 {h_{3}}}$
$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {w}{2 }}$	$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2 }}$	$\tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\tan {\frac {w}{2 }}$
$R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d)$	$R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d)$	$R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c)$

Denumirile din tabel sunt următoarele:

Într-un patrulater convex ABCD , diagonalele se intersectează în punctul P. R 1 , R 2 , R 3 , R 4 - razele cercurilor circumscrise pentru triunghiuri ABP , BCP , CDP , DAP h 1 , h 2 , h 3 , h 4 - înălțimi de la punctul P la laturile a = AB , b = BC , c = CD , d = DA respectiv în aceleași triunghiuri e , f , g , h — distanțe de la vârfurile A , B , C , D până la punctul P x , y , z , w - unghiuri ABD , ADB , BDC , respectiv DBC Ra , R b , R c , R d sunt razele cercurilor tangente exterior la laturile a , b , c , d și respectiv la prelungirile celor două laturi adiacente.

Zona

Patrulaterul înscris ABCD cu laturile a, b, c, d are aria

K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Rețineți că aceasta este aceeași formulă ca și pentru patrulaterul circumscris și, de asemenea, rezultă în același mod din relația lui Bretschneider .

Raza unui cerc

Raza cercului unui patrulater cu laturile a , b , c , d este dată de formula [2]

r={\frac {K}{|ac|}}={\frac {K}{|bd|}}

unde K este aria patrulaterului. Pentru un patrulater cu laturile date , este maxim atunci când patrulaterul este de asemenea unul înscris . Aceste formule explică de ce toate paralelogramele au o rază infinită a cercului.

Patrulater bicentral extern

Dacă un cerc poate fi circumscris în jurul unui patrulater extracircumscris , se numește patrulater extrabicentral [5] . În acest caz, deoarece unghiurile opuse se adună până la 180 °, aria patrulaterului poate fi calculată folosind formula

\displaystyle K={\sqrt {abcd)}

la fel ca pentru patrulaterul bicentral .

Dacă x este distanța dintre centrul cercului circumscris și centrul cercului, atunci [5]

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

unde R este raza cercului circumferitor și r este raza cercului în afara cercului. Aceasta este aceeași egalitate ca și în teorema Fuss pentru un patrulater bicentral. Cu toate acestea, atunci când rezolvați o ecuație pătratică pentru x , trebuie să alegeți o rădăcină diferită, nu cea aleasă pentru patrulaterul bicentral. Astfel, pentru patrulaterul necircumscris avem [5]

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))}}.

Din această formulă rezultă că

x>R+r

ceea ce înseamnă că circumcercul și excercul nu se pot intersecta niciodată.

Vezi și

Note

↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 33-52.
↑ 1 2 3 4 5 Josefsson, 2012 , p. 63-77.
↑ FG-M., Exercices de Géométrie , Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.
↑ 1 2 Hajja, 2006 , p. 167-169.
↑ 1 2 3 Radic, Kaliman, Kadum, 2007 .

Literatură

Alexandru Bogomolny. Accesat 2011-08-18 Inscriptible and Exscriptible Quadrilates // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. — 1995.
Martin Josephson. Caracterizări metrice similare ale patrulaterelor tangenţiale şi extanenţiale Forum Geometricorum . - 2012. - T. 12 .
Mowaffaq Hajja. O demonstrație foarte scurtă și simplă a „Cei mai elementare teoreme” a geometriei euclidiene // Forum Geometricorum. - 2006. - T. 6 .
Kiran S. Kedlaya. Geometrie Nelegat . — 2006.
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. O condiție ca un patrulater tangențial să fie și unul cordal // Comunicații matematice. - 2007. - Emisiune. 12 .

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

Corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si