Ipotezele lui Mersenne

Ipotezele lui Mersenne privesc descrierea numerelor prime ale numerelor Mersenne (numerele egale cu puterile a doi fara unitate).

Conjectura originală a lui Mersenne

Conjectura originală, numită ipoteza Mersenne , este afirmația lui Marin Mersenne în Cogitata Physica-Mathematica (1644; vezi Dickson 1919) că numerele sunt prime pentru n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. , 67 , 127 și 257 și compus pentru toate celelalte numere întregi pozitive n ≤ 257. Datorită mărimii acestor numere, Mersenne nu a testat și nu a putut testa toate aceste numere în secolul al XVII-lea. În cele din urmă, după trei secole și disponibilitatea unor noi tehnici precum testul Luc-Lehmer , s-a constatat că ipoteza Mersenne conținea cinci erori, și anume două compuse ( n = 67, 257) și trei numere prime lipsă ( n = 61, 89, 107) numere. Lista corectă: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 și 127.

Deși conjectura originală Mersenne nu este corectă, ea a condus la Noua Ipoteza Mersenne .

Noua presupunere a lui Mersenne

Noua conjectura Mersenne sau conjectura lui Bateman, Selfridge și Wagstaff [1] afirmă că pentru orice număr natural impar p , dacă sunt îndeplinite oricare două dintre următoarele condiții, atunci a treia este de asemenea îndeplinită:

  1. p = 2k ± 1 sau p = 4k ± 3 pentru un număr natural k . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 este prim ( numărul Mersenne ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 este prim ( Wagstaff prim ). ( A000978 )

Dacă p este compus impar , atunci sunt și numerele compuse. Astfel, pentru a testa corectitudinea ipotezei, este suficient să se testeze numai numere prime.

În prezent se știe că printre numerele pentru care sunt îndeplinite toate cele trei condiții sunt 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), și se presupune că printre numerele mai mari de 127 există fără numere, pentru care sunt îndeplinite toate cele trei condiții.

Simplu, pentru care este îndeplinită cel puțin o condiție:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 514, 257, 313, 53 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 58907, 8191, 9191, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 58907 , 8191, 3217, 3539

Rețineți că cele două numere cu care Mersenne a greșit (67 și 257) se încadrează în condițiile (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), dar 89 și 107 nu. Astfel, în forma sa originală, Mersenne ar putea crede că 2 p − 1 este prim dacă și numai dacă p = 2 k ± 1 sau p = 4 k ± 3 pentru un k natural .

Starea conjecturii Mersenne pentru primele 100 de numere prime
2 3 5 7 unsprezece 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
p p are forma 2 n  ± 1 sau 4 n  ± 3
p 2 p  − 1 este simplu
p (2 p  + 1)/3 este prim
p p îndeplinește cel puțin o condiție

Noua ipoteză Mersenne poate fi văzută ca o încercare de a rezolva o ipoteză Mersenne veche de secole, care nu este corectă. Totuși, potrivit lui Robert D. Silverman [2] , John Selfridge consideră că noua conjectura Mersenne este „evident adevărată” deoarece a fost formulată pentru a satisface datele cunoscute, iar contraexemplele în condițiile conjecturii sunt extrem de puțin probabile. Poate fi văzută mai mult ca o observație curioasă decât o întrebare care necesită verificare.

Renaud Lifshitz a arătat că noua presupunere este adevărată pentru toate numerele întregi mai mici de 20.996.010 [3] testând succesiv toate numerele prime impare pentru care se știe că o condiție este îndeplinită. Site-ul său [4] documentează rezultatele verificării până la acel număr. O altă versiune, mai recentă, a paginii despre noua presupunere este „A New Conjecture on Mersenne Primes” [5] .

Ipoteza Lenstra-Pomerans-Wagstaff

Lenstra , Pomerans și Wagstaff au presupus că există infinit de numere prime Mersenne . Mai precis, numărul de numere prime Mersenne mai mici decât x este aproximat asimptotic prin

[6] ,

unde este constanta Euler-Mascheroni . Cu alte cuvinte, numărul primelor Mersenne cu exponentul p care este mai mic decât y este asimptotic

[6]

Aceasta înseamnă că ar trebui să existe, în medie, aproximativ ≈ 5,92 numere prime p cu un număr dat de zecimale astfel încât să fie prim.

Vezi și

Note

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , p. 125-128.
  2. ↑ Subiect: The New Mersenne Conjecture  . mersenneforum.org . Arhivat din original pe 15 iunie 2017.
  3. ↑ New Mersenne Prime Conjecture pe Prime Pages  . Preluat la 20 martie 2018. Arhivat din original la 6 martie 2018.
  4. ↑ Renaud Lifchitz. Starea „Noii Conjecturi Mersenne  ” . www.primenumbers.net . Arhivat din original pe 3 aprilie 2019.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. Noua Conjectura Primului Mersenne  . Paginile Prime . Arhivat din original pe 6 martie 2018.
  6. ↑ 1 2 Euristică: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Arhivat 5 martie 2018 la Wayback Machine . Paginile Prime . Preluat pe 2014-05-11.

Literatură

Link -uri

 Ipoteze despre numere prime
Ipoteze