Ipoteza lui Gilbraith

Conjectura lui Gilbraith este o ipoteză în teoria numerelor , care afirmă că dacă luați o secvență de numere prime și aplicați iterativ operatorul diferenței acesteia , atunci secvențele obținute la fiecare pas vor începe întotdeauna cu 1. Conjectura a câștigat faimă după ce a fost publicată în 1958 de Norman Gilbraith [1] . Totuși, încă din 1878, François Prot a publicat o presupusă dovadă a aceleiași presupuneri, care, după cum s-a dovedit, era eronată [1] .

Originile ipotezei

Luați în considerare o succesiune de numere prime

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots

Să calculăm valorile absolute ale diferențelor dintre fiecare pereche de termeni vecini și să scriem secvența rezultată:

1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots

Continuând să efectuăm această operație pentru fiecare nouă secvență obținută, vom obține următoarele:

1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots

1,2,0,0,0,0,0,2,\dots

1,2,0,0,0,0,2,\dots

1,2,0,0,0,2,\dots

1,2,0,0,2,\dots

Vedem că primul element al fiecărei secvențe este . $unu$

Ipoteza

Este mai ușor de formulat conjectura Gilbraith dacă introducem o anumită notație pentru secvențele din secțiunea anterioară. notează șirul ordonat de numere prime și definește termenii șirului ca $\{p_{n}\}$ $p_{n}$ $\{d_{n}\}$

d_{n}=p_{n+1}-p_{n)

unde n este natural. De asemenea, considerăm că pentru fiecare natural , definim secvența prin formula $\{d_{n}\}=\{d_{n}^{1}\}$ $k>1$ $\{d_{n}^{k}\}$

d_{n}^{k}=|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|

(aici - acesta nu este o diplomă, ci un superscript) $k$

Conjectura lui Gilbraith afirmă că fiecare membru al secvenței este egal cu . $a_{k}=d_{1}^{k)$ $unu$

Verificare și încercări de probă

Începând cu 2011, nu a existat o dovadă corectă publicată a presupunerii. După cum s-a menționat în introducere, Prot dovadă a afirmației, dar ulterior s-a dovedit a fi greșită Andrew Odlyzhko în 1993 a verificat că este 1 pentru toți [2] , dar conjectura rămâne o problemă deschisă. În loc să calculeze toate rândurile tabelului, Odlyzhko a calculat 635 de rânduri și a constatat că al 635-lea rând începe de la 1 și mai departe până la al -lea element este format doar din numerele 0 și 2. Rezultă că toate rândurile următoare încep de la unul. $d_{1}^{k)$ $k\leqslant n=3{,}4\cdot 10^{11}$ $n$ $n$ $n$

Secvențe pentru numere prime până la 150

În tabelul de mai jos, zerourile sunt evidențiate cu verde, cele cu roșu, două cu albastru și alte numere cu gri. Esența ipotezei este că zona gri nu va ajunge niciodată la coloana roșie de unități.

2	3	5	7	unsprezece	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149
unu	2	2	patru	2	patru	2	patru	6	2	6	patru	2	patru	6	6	2	6	patru	2	6	patru	6	opt	patru	2	patru	2	patru	paisprezece	patru	6	2	zece
unu	0	2	2	2	2	2	2	patru	patru	2	2	2	2	0	patru	patru	2	2	patru	2	2	2	patru	2	2	2	2	zece	zece	2	patru	opt
unu	2	0	0	0	0	0	2	0	2	0	0	0	2	patru	0	2	0	2	2	0	0	2	2	0	0	0	opt	0	opt	2	patru
unu	2	0	0	0	0	2	2	2	2	0	0	2	2	patru	2	2	2	0	2	0	2	0	2	0	0	opt	opt	opt	6	2
unu	2	0	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	0	opt	0	0	2	patru
unu	2	0	0	2	2	0	0	2	2	2	2	2	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	2	opt	opt	0	2	2
unu	2	0	2	0	2	0	2	0	0	0	0	2	2	2	2	2	0	0	0	0	0	2	6	0	opt	2	0
unu	2	2	2	2	2	2	2	0	0	0	2	0	0	0	0	2	0	0	0	0	2	patru	6	opt	6	2
unu	0	0	0	0	0	0	2	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	2	2	2	patru
unu	0	0	0	0	0	2	2	0	2	0	2	0	0	2	0	2	0	0	2	0	0	0	0	2
unu	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	2	2	2	2	0	2	2	0	0	0	2
unu	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	2	0	0	0	2	2	0	2	0	0	2
unu	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	0	2	0	0	2	0	2	2	2	0	2
unu	0	2	2	0	2	2	0	0	2	2	2	2	0	2	2	2	0	0	2	2
unu	2	0	2	2	0	2	0	2	0	0	0	2	2	0	0	2	0	2	0
unu	2	2	0	2	2	2	2	2	0	0	2	0	2	0	2	2	2	2
unu	0	2	2	0	0	0	0	2	0	2	2	2	2	2	0	0	0
unu	2	0	2	0	0	0	2	2	2	0	0	0	0	2	0	0
unu	2	2	2	0	0	2	0	0	2	0	0	0	2	2	0
unu	0	0	2	0	2	2	0	2	2	0	0	2	0	2
unu	0	2	2	2	0	2	2	0	2	0	2	2	2
unu	2	0	0	2	2	0	2	2	2	2	0	0
unu	2	0	2	0	2	2	0	0	0	2	0
unu	2	2	2	2	0	2	0	0	2	2
unu	0	0	0	2	2	2	0	2	0
unu	0	0	2	0	0	2	2	2
unu	0	2	2	0	2	0	0
unu	2	0	2	2	2	0
unu	2	2	0	0	2
unu	0	2	0	2
unu	2	2	2
unu	0	0
unu	0
unu

Vezi și

Note

↑ 1 2 Caldwell, Chris, The Prime Glossary: Gilbreath's Conjecture , < http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture > Arhivat 24 martie 2012 la Wayback Machine .
↑ Odlyzko, AM (1993), Valori absolute iterate ale diferențelor primelor consecutive , Mathematics of Computation vol. 61: 373–380 , < http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/ gilbreath.conj.ps > Arhivat 27 septembrie 2011 la Wayback Machine .

Literatură

V. Serpinsky . Ce știm și ce nu știm despre numerele prime. - L., FizMatLit, 1963.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Gilbraith Conjectura la Wolfram MathWorld .

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa