Numerele gemene

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 decembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Numerele gemene ( prime perechi ) sunt perechi de numere prime care diferă cu 2.

Informații generale

Toate perechile de numere gemene, cu excepția (3, 5), au forma deoarece numerele cu alte resturi modulo 6 sunt divizibile cu 2 sau 3. Dacă luăm în considerare și divizibilitatea cu 5, atunci se dovedește că toate perechile de numere gemene gemenii, cu excepția primilor doi, au forma sau . Pentru orice număr întreg , o pereche este o pereche geamănă dacă și numai dacă este divizibilă cu (o consecință a teoremei lui Wilson ). $18:00\pm 1,$ $30n\pm 1$ $30n+12pm 1$ $30n+18\pm 1$ $m\geqslant 2$ $(m,m+2)$ $4[(m-1)!+1]+m$ $m(m+2)$

Primii gemeni [1] :

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101) , 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241) ), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857) , 859), (881, 883)

Cele mai mari numere prime gemene cunoscute sunt numerele [2] . Au fost găsite în septembrie 2016 ca parte a proiectului de calcul voluntar PrimeGrid [3] [4] . $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$

Se presupune că există infinit de astfel de perechi, dar acest lucru nu a fost dovedit. Prin prima presupunere Hardy-Littlewood de de gemeni primi care nu depășește , se apropie asimptotic $\pi _{2}(x)$ $X$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},

unde este constanta gemenilor simpli : $C_{2}$

C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2))}\right)\aproximativ 0,6601618158468695739278121100145\ldots

[5]

Istorie

Ipoteza existenței unui număr infinit de numere gemene este deschisă de mulți ani. În 1849, de Polignac a avansat o conjectură mai generală (conjectura Polignac ): pentru orice natural există un număr infinit de astfel de perechi de numere prime și că . $k$ $p$ $p',$ $pp'=2k$

Pe 17 aprilie 2013, Ethan Zhang a raportat o dovadă că există infinit de perechi de numere prime care diferă cu cel mult 70 de milioane. Lucrarea a fost acceptată în Annals of Mathematics în mai 2013. Pe 30 mai 2013, matematicianul australian Scott Morrison a anunțat că scorul a fost retrogradat la 59.470.640 [6] . Literal câteva zile mai târziu, matematicianul australian, câștigătorul medaliei Fields, Terence Tao , a demonstrat că limita poate fi redusă cu un ordin de mărime - la 4.982.086 [6] . Ulterior, el a sugerat ca proiectul Polymath să lucreze împreună pentru a optimiza granița.

În noiembrie 2013, matematicianul britanic James Maynard , în vârstă de 27 de ani, a aplicat un algoritm dezvoltat în 2005 de Daniel Goldston, Janos Pints și Sem Yildirim numit GPY (abreviere pentru primele litere ale numelor de familie) și a demonstrat că există infinit de multe vecine. numere prime situate la o distanță de cel mult 600 unul de celălalt. În ziua lansării preprintului lucrării lui James Maynard, Terence Tao a publicat o postare pe blogul său personal cu o propunere de a lansa un nou proiect, polymath8b, iar o săptămână mai târziu, scorul a fost redus la 576, iar pe 6 ianuarie, 2014 până la 270. Cel mai bun rezultat dovedit științific a fost obținut în aprilie 2014 Pace Nielsen de la Universitatea Brigham Young din Utah, 246 [7] [6] .

Presupunând validitatea ipotezei Elliot-Halberstam și generalizarea acesteia, scorul poate fi redus la 12, respectiv 6 [8] .

Teorema lui Brun

Euler a mai aflat ( 1740 ) că o serie de reciproce ale numerelor prime diverge:

{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\dots =\infty ,

ceea ce înseamnă că numerele prime sunt mai frecvente decât pătratele. Matematicianul norvegian Viggo Brun a demonstrat (1919) că și seria de reciproce pentru perechi de gemeni converge: $\pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2))},$

B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+ {\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1 }{17}}+{\frac {1}{19}}\dreapta)+\ldots \aproximativ 1,902160583104.

Aceasta înseamnă că, dacă există infinit de mulți gemeni simpli, atunci ei sunt încă destul de rari în seria naturală. Ulterior, a fost demonstrată convergența unei serii similare pentru gemeni simpli generalizați.

Valoarea se numește constanta Brun pentru gemenii primi. $B_{2}\aproximativ 1,902160583104$

Liste

Cei mai mari gemeni simpli cunoscuți sunt:

Număr	Numărul de zecimale
$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	388342
$3756801695685\cdot 2^{{666669}}\pm 1$	200700
$65516468355\cdot 2^{{333333}}\pm 1$	100355
$70965694293\cdot 2^{200006}\pm 1$	60219
$66444866235\cdot 2^{200003}\pm 1$	60218
$4884940623\cdot 2^{198800}\pm 1$	59855
$2003663613\cdot 2^{{195000}}\pm 1$	58711
$38529154785\cdot 2^{173250}\pm 1$	52165
$194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780
$100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780

Prime triple

Acesta este un triplu de numere prime diferite, dintre care diferența dintre cel mai mare și cel mai mic este minimă. Cele mai mici numere prime care îndeplinesc condiția dată sunt - (2, 3, 5) și (3, 5, 7). Cu toate acestea, mai departe, în toate celelalte triple, diferența dintre cel mai mare și cel mai mic membru este egală cu șase și nu poate fi mai mică. Adică, pentru a generaliza, un triplet este un triplet de numere prime (2, 3, 5), (3, 5, 7) sau $(p,p+2,p+6)$ $(p,p+4,p+6).$

Primele prime triplete [9] :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41) , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193) , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317) ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

Din 2018, cele mai mari triple prime cunoscute sunt , unde (16737 cifre, aprilie 2013 [10] ). $(p,p+4,p+6)$ $p=6521953289619\times 2^{55555}-5$

Prime quadruplets

Cvadruple de numere prime de forma sau gemeni dubli , sau cvadrupleți [11] : $(p,p+2,p+6,p+8),$

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3253, 65, 5, 5, 5, 5, 65, 5, 5, 5) 9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649) (16061, 16063, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649) (16061, 16063, 16063, 16063, 16063, 16063, 18063, 181 406, 4063, 181 406 181, 40643, 15647 , 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429) (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, … 25309), …

Modulul 30 , toate cvadrupleții, cu excepția primului, au forma (11, 13, 17, 19).

Modulul 210 , toți cvadrupleții, cu excepția primului, au forma fie (11, 13, 17, 19), fie (101, 103, 107, 109), fie (191, 193, 197, 199).

Sextupleți de numere prime

Sase de numere prime de forma [12] : $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073) 9, 16073) 9, 473) 3, 16061, 16063, 16067 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

Modulul 210 , toate sextupleții, cu excepția primului, au forma (97, 101, 103, 107, 109, 113).

Vezi și

Note

↑ Secvențele A001359 , A006512 în OEIS
↑ Cele mai mari prime cunoscute
↑ Caldwell, Chris K. Baza de date Prime: 2996863034895*2^1290000-1 . (nedefinit)
↑ Record mondial Twin Primes găsit! (link indisponibil) . Data accesului: 6 ianuarie 2017. Arhivat din original pe 4 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Secvența OEIS A005597 este expansiunea zecimală a constantei prime gemene.
↑ 1 2 3 Serghei Nemalevici. Frate, esti bine? . Publicație online N+1 (6 noiembrie 2015). Data accesului: 10 noiembrie 2015. (Rusă)
↑ Lacune delimitate între numere prime . erudit. Preluat: 27 martie 2014. (nedefinit)
↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 și http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
↑ Secvențe OEIS A007529 , A098414 , A098415 _
↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
↑ Secvențe OEIS A007530 , A136720 , A136721 , A090258 _
↑ Secvența A022008 în OEIS

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa

Clasele numerelor prime
Conform formulei	Fermă (2 2 n + 1) Mersenne (2 p ? 1) Mersenne dublă (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Factorial ( n ! ± 1) Primaria ( p n # ± 1) Euclid ( p n # + 1) Pitagora ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n •2 n ? 1) Cubic ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Kenya (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mori (pardosea( A 3 n ))
Secvențe	Fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Împărțirea unui număr Bella • Motzkina
După proprietăți	Viferikha pereche Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Fericit Fortunovs Ramanujan Pillai Regulat puternic rautacios Supersingular (curbe eliptice) Supersingular (teoria monstruoasă a nonsensului) Bun Supersimplu Higgs Cotient ridicat
Dependent de sistemul numeric	Multumit diedru palindromic Eotsorp Reunește (10 n ? 1)/9 Permutațional Inel trunchiată Strobograme Minim Slab simplu Complet repetat Unic primordial auto-a generat Smarandsha - Wellena
Modele	Gemeni ( p , p + 2) Un lanț de gemeni ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Triplul numerelor prime ( p , p + 2 sau p + 4, p + 6) Cvadruplu de numere prime ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tuplu Înrudite ( p , p + 4) Diferă cu 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( p , 2 p + 1) Lanțuri Cunningham ( p , 2 p ± 1, …) Sigur ( p , ( p ? 1)/2) Progresii ( p + a•n , n = 0, 1, …) Echilibrat (consecutiv p ? n , p , p + n )
La dimensiune	Titanic (+1.000 de caractere) Uriaș (10.000+) Megasimple (1.000.000+) Cel mai mare cunoscut
Numere complexe	Primele Eisenstein Primele gaussiene
Numerele compuse	Pseudosimple Aproape simplu Semisimplu Intersimple
subiecte asemănătoare	Probabil simplu Industrial ilegal Formula numărului prim Intervale între numere prime