Probleme Landau

La Congresul Internațional al Matematicienilor din 1912 , Edmund Landau a enumerat patru probleme majore în teoria numerelor prime . Aceste probleme au fost exprimate în discursul său ca „inexpugnabile în starea actuală a matematicii” și sunt acum cunoscute sub numele de probleme Landau .

  1. Conjectura lui Goldbach : Se poate scrie orice număr întreg par mai mare decât 4 ca sumă a două numere prime?
  2. Conjectura gemenă : Există un număr infinit de prime p astfel încât p + 2 să fie și prim?
  3. Conjectura Legendre : Există întotdeauna cel puțin un număr prim situat între două pătrate perfecte succesive ?
  4. Există infinit de numere prime p pentru care p − 1 este un pătrat perfect? Cu alte cuvinte, există un număr infinit de numere prime de forma n 2 + 1? (secvența A002496 în OEIS ).

Toate cele patru probleme pentru 2022 rămân deschise.

Progrese către rezolvarea problemelor

Conjectura lui Goldbach

Teorema lui Vinogradov demonstrează conjectura slabă de Goldbach pentru n suficient de mare . În 2013 , Harald Helfgott a dovedit conjectura slabă pentru toate numerele impare mai mari de 5 [1] . Spre deosebire de problema lui Goldbach, conjectura slabă a lui Goldbach afirmă că orice număr impar mai mare de 5 poate fi exprimat ca suma a trei numere prime. Deși conjectura puternică a lui Goldbach nu a fost nici dovedită, nici infirmată, dovada conjecturii slabe ar urma din demonstrarea ei.

Teorema lui Chen demonstrează că pentru toate n suficient de mari , unde p este prim și q este fie prim, fie semisimplu . Montgomery și Vaughan au arătat că numerele pare care nu pot fi reprezentate ca sumă a două numere prime au o densitate zero [2] .

În 2015, Tomohiro Yamada a demonstrat o versiune explicită a teoremei lui Chen [3] : orice număr par mai mare decât este suma unui număr prim și produsul a cel mult două numere prime.

Conjectura gemenă

Zhang Yitang [4] a arătat că există infinit de perechi prime cu un interval limitat la 70 de milioane, iar acest rezultat a fost îmbunătățit la o lungime de 246 atunci când a fost combinat cu proiectul Polymath [5] . Acceptând ipoteza generalizată Elliot-Halberstam, scorul se îmbunătățește la 6 ( Meinard [6] , Goldston, Pinz și Yildirim [7] ).

Chen a arătat că există infinit de numere prime p (numiți mai târziu prime Chen ) astfel încât p +2 este prim sau semiprim.

Conjectura lui Legendre

Este suficient să verificăm că fiecare decalaj dintre numerele prime mai mari decât p este mai mică decât . Tabelul decalajelor maxime dintre numere prime arată că ipoteza este adevărată până la 4×10 18 [8] . Un contraexemplu în jurul valorii de 10 18 ar avea un interval de cincizeci de milioane de ori mai mare decât cel mediu. Matomaki a arătat că există cel mult exemple care încalcă conjecturi urmate de un decalaj mai mare decât . În special,

[9] .

Rezultatul lui Ingham arată că există un prim între și pentru orice n suficient de mare [10] .

Prime aproape pătrate

Teorema Friedlander-Ivanets arată că un număr infinit de numere prime au forma [11] .

Ivanets a arătat că există un număr infinit de numere de formă cu cel mult doi divizori primi [12] [13] .

Ankeny a demonstrat că dacă ipoteza Riemann generalizată este adevărată pentru funcțiile L pe caracterele Hecke , există infinit de numere prime de forma c [14] .

Deshuilliers și Ivanets [15] , după ce au îmbunătățit rezultatul lui Hooley [16] și Todd [17] , au arătat că există infinit de numere de formă cu un factor prim mai mare cel puțin . Dacă înlocuim exponentul cu 2, obținem enunțul ipotezei.

În schimb, sita lui Brun arată că există numere prime mai mici decât x .

Note

  1. ↑
    • Helfgott, H.A. (2013), Arcuri majore pentru teorema lui Goldbach, arΧiv : 1305.2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2012), Arcuri minore pentru problema lui Goldbach, arΧiv : 1205.5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2013), Conjectura ternară Goldbach este adevărată, arΧiv : 1312,7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975 , p. 353–370.
  3. ↑ * Yamada, Tomohiro (11.11.2015), Teorema lui Chen explicită, arΧiv : 1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014 , p. 1121–1174.
  5. ↑ Polymath, 2014 , p. 12.
  6. ↑ Maynard .
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006 , p. 61–65.
  8. ↑ Andersen .
  9. ↑ Matomäki, 2007 , p. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937 , p. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997 , p. 1054–1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978 , p. 178–188.
  13. ↑ Oliver, 2012 , p. 241–261.
  14. ↑ Ankeny, 1952 , p. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982 , p. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967 , p. 281-299.
  17. ↑ Todd, 1949 , p. 517–528.

Literatură

Link -uri

 Ipoteze despre numere prime
Ipoteze