Ipoteza lui Dixon

Conjectura lui Dixon este o presupunere teoretică a numerelor făcută de Linord Dixon în 1904, care afirmă că pentru orice set finit de forme liniare cu , există infinit de numere naturale n pentru care toate valorile formelor vor fi prime în același timp, cu excepția cazului în care există o comparație cu un modul principal care exclude imediat această posibilitate. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j}\geqslant 1$

Formulare

Fie k un număr natural, luăm în considerare k progresii aritmetice cu numere întregi și . Conjectura lui Dixon sugerează că există infinit de multe numere naturale n astfel încât pentru fiecare astfel de n toate k numere sunt prime. Numai cazul trivial este exclus din considerare, când există un prim p astfel încât, pentru orice n , cel puțin un număr este un multiplu al lui p . Această constrângere poate fi reformulată astfel: nu este adevărat că pentru orice n se realizează comparația . În acest din urmă caz, atât mai multe progresii pentru n diferit, cât și o progresie pentru tot n pot fi împărțite la p . De exemplu, pentru 2 progresii întotdeauna , și pentru alte 2 progresii pentru n par și pentru impar - , astfel încât în perechi de progresii și numărul de perechi simple nu este infinit. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j},b_{j)$ $a_{j}\geqslant 1$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j}n+b_{j)$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $n,2n$ $2\mid 2n$ $n,n+3$ $2\mid n$ $2\mid n+3$ $n,2n$ $n,n+3$

De asemenea, observăm că formularea ipotezei devine mai naturală dacă sfera sa este extinsă de la numerele naturale la toate numerele întregi, în special, nu numai numerele pozitive sunt considerate prime , ci și numere negative (care sunt într-adevăr elemente prime din inelul din sens obișnuit). În acest caz, nu este necesar să se solicite pozitivitatea tuturor valorilor tuturor progresiilor și, prin urmare, condiția poate fi slăbită la , iar aceasta din urmă poate fi eliminată cu totul, deoarece altfel nu este o progresie aritmetică. $2,3,5,...$ $-2,-3,-5,...$ $\mathbb {Z}$ $a_{j}n+b_{j)$ $a_{j}\geqslant 1$ $a_{j}\neq 0$ $a_{j}n+b_{j)$

Cazuri speciale

Cazul a fost deja dovedit - aceasta este teorema lui Dirichlet . $k=1$
Cele două cazuri speciale sunt conjecturi binecunoscute: există infinit de numere prime gemene ( n și n + 2 prime) și există infinit de numere Sophie Germain ( n și 2 n + 1 prime).
Conjectura lui Polignac - există infinit de perechi simple de forma , t este un număr natural fix (adică un număr infinit de perechi simple , , etc.). $n,n+2t$ $(n,n+2)$ $(n,n+4)$ $(n,n+6)$
Conjectura prime consecutive: Dacă nu există un prim p astfel încât pentru tot n , atunci numărul de prime consecutive este infinit (acestea sunt din nou perechi , triple , cvadruple etc.) $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ $(n,n+2)$ $(n,n+2,n+6)$ $(n,n+2,n+6,n+8)$
Ca și alte corolare, se poate cita faptul că din conjectura lui Dixon rezultă infinitatea numărului de numere compuse Mersenne și infinitatea numerelor Carmichael care conțin exact 3 factori primi.

Considerații euristice în favoarea ipotezei

Fie numărul de soluții de comparație . După ipoteza ipotezei, și apoi după raționamentul euristic în favoarea ipotezei Bateman-Horn, obținem că densitatea numerelor n care nu depășește x , pentru care toate numerele sunt prime, se estimează prin valoarea $w(p)$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $w(p)<p$ $a_{j}n+b+j$

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^ {x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t)),

aici produsul este preluat peste toate numerele prime p și este logaritmul natural al numărului. Valoarea este echivalentă asimptotic , dar prima expresie ar trebui să fie mai precisă. Când , este ușor de verificat dacă coeficientul va fi egal cu , ceea ce corespunde teoremei Dirichlet (aici este funcția Euler ). $\ln$ $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k)}}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ $k=1$ ${\frac {1}{\varphi (a_{1)}))}$ $\varphi$

Generalizări

Conjectura lui Dixon a fost mai târziu generalizată de Schinzel la conjectura lui Schinzel .

Vezi și

Link -uri

Dickson, L.E. (1904), O nouă extensie a teoremei lui Dirichlet asupra numerelor prime , Messenger of mathematics vol . 33: 155–161 , < https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155 > Arhivat din mai 16, 2016 la Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), Noua carte a înregistrărilor numerelor prime , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://books.google.com/books?id= 72eg8bFw40kC > Arhivat 23 iunie 2016 la Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Arhivat 23 octombrie 2012 la Wayback Machine

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa