Fracție (matematică)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	numărător
numărător	numitor		numitor
Două intrări pentru aceeași fracție

O fracție în aritmetică este un număr format din una sau mai multe părți egale (acțiuni) ale unui [1] .

În matematică, se folosește o definiție oarecum generalizată care face distincția între două tipuri de fracții.

Fracții obișnuite de forma , unde întreg , natural . Spre deosebire de definiția aritmetică, o astfel de fracție poate avea semnul minus . ${\frac {m}{n)}$ $m$ $n$
Scrierea numerelor (nu neapărat fracționale) în sisteme numerice poziționale . Cele mai cunoscute sunt fracțiile zecimale , convenabile pentru oameni, și fracțiile binare , care sunt folosite pentru calcule pe computere [2] .

În notația matematică, o fracție a formei sau un număr dinaintea (deasupra) barei se numește numărător , iar numărul de după bară (sub bară) se numește numitor . Primul acționează ca un dividend , al doilea ca un divizor . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

În algebra generală , fracțiile ordinare formează câmpul numerelor raționale .

Tipuri de fracții

Fracții comune

Fracție obișnuită (sau simplă ) - scrierea unui număr rațional sub forma sau unde O orizontală sau o bară oblică indică un semn de împărțire, care are ca rezultat un coeficient. Dividendul se numește numărător al fracției, iar divizorul este numit numitor . ${\frac {m}{n)}$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Notația comună a fracțiunii

Există mai multe tipuri de scriere a fracțiilor obișnuite în formă tipărită:

½,
1/2 sau ( bara oblică se numește „solidus” [3] ), $^{1}\!/_{2}$
off formula: , ${\frac {1}{2))$
formula litere mici: . ${\tfrac {1}{2))$

Fracții proprii și improprii

O fracție se numește corectă dacă modulul numărătorului este mai mic decât modulul numitorului. O fracție al cărei modul numărător este mai mare sau egal cu modulul numitorului se numește fracție improprie și este un număr rațional , modulo mai mare sau egal cu unu.

De exemplu, fracțiile , și sunt corecte, în timp ce , , și sunt incorecte. Orice număr întreg diferit de zero poate fi reprezentat ca o fracție improprie cu numitor . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $unu$

Fracții mixte

O fracție scrisă ca un întreg nenegativ și o fracție proprie se numește fracție mixtă și este înțeleasă ca suma dintre acest număr și fracția. Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție mixtă (cu semnul minus în față pentru numerele negative). Spre deosebire de o fracție mixtă, o fracție care conține doar numărătorul și numitorul se numește fracție simplă .

De exemplu, . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Fracții compuse

O fracție cu mai multe etaje, sau compusă, este o expresie care conține mai multe linii orizontale (sau, mai puțin frecvent, oblice):

{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}

sau sau .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

În general, semnul fracției într-un sens atât de generalizat este folosit nu numai pentru fracții, ci și pentru notarea compactă a diviziunii și nu numai numere întregi, ci și orice numere reale și complexe, funcții, polinoame și operanzi similari ai diferitelor operații de împărțire. .

Decimale

O fracție zecimală este o înregistrare pozițională a unei fracții în care numitorul nu este dat în mod explicit, dar este înțeles ca un număr întreg, o putere a lui zece (de ex. 100, 1000 etc.). Arată astfel (semnul din afara expresiilor aritmetice este de obicei omis): $+$

\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots

Partea înregistrării care vine înainte de virgulă zecimală , în cazul unei fracții nenegative, este partea întreagă a numărului (fracție), iar cea de după virgulă zecimală este partea fracțională . Orice fracție comună poate fi convertită într-o zecimală , care în acest caz fie are un număr finit de zecimale, fie este o fracție periodică .

Exemplu: O zecimală în format fracție este . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

Decimale cu un număr infinit de cifre la dreapta punctului zecimal reprezintă o serie infinită. De exemplu, 1/3 = 0,333... este o serie infinită de 3/10 + 3/100 + 3/1000 +...

Decimalele pot fi exprimate și în notație exponențială cu exponenți negativi, cum ar fi 6,023 × 10 −7 , ceea ce înseamnă 0,0000006023 (înmulțirea cu , sau echivalent, împărțirea cu mută virgulă zecimală cu 7 locuri la stânga). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

Un alt fel de fracție este procentul ( latină Pro Centum - „o sută”), reprezentat de simbolul % , în care numitorul implicit este întotdeauna 100. Astfel, 51% înseamnă 51/100. Procentele mai mari de 100 sau mai mici de zero sunt tratate în același mod, de exemplu, 311% este egal cu 311/100 și -27% este egal cu -27/100.

Un concept similar de ppm sau părți la mie implică un numitor de 1000 . O desemnare comună pentru părți pe milion este ( părți în engleză per milion - ppm), De exemplu, 75 ppm, înseamnă că proporția este 75 / 1000000.

Sistemul internațional de unități

Denumirea internațională	Rusă	Sistemul SI
ppm	ppm ; _ 1:10 6	micro (mk)
ppb	miliard -1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	trilion -1 ; 1:10 12	pico (p)
ppquad	cvadrilion −1 ; 1:10 15	femto (f)

În general, pentru notarea pozițională a unui număr, puteți utiliza nu numai sistemul numeric zecimal, ci și altele (inclusiv unele specifice, cum ar fi Fibonacci ).

Valoarea unei fracții și proprietatea de bază a unei fracții

O fracție este doar o reprezentare a unui număr. Același număr poate corespunde diferitelor fracții, atât ordinare, cât și zecimale.

Dacă înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții cu aceeași sumă:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

atunci valoarea fracției va rămâne aceeași, deși fracțiile sunt diferite. De exemplu:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

În schimb, dacă numărătorul și numitorul unei fracții date au un divizor comun , atunci ambele părți pot fi împărțite la acesta; această operație se numește reducere de fracție . Exemplu:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- aici numărătorul și numitorul fracției au fost reduse cu un divizor comun .

patru

O fracție ireductibilă este o fracție al cărei numărător și numitor sunt coprim , adică nu au divizori comuni, cu excepția $\pm 1.$

Pentru o fracție zecimală, notația este aproape întotdeauna lipsită de ambiguitate, cu excepția cazului în care notația se termină cu o secvență infinită de fie numai zerouri (care pot fi omise) fie doar nouă. De exemplu:

0,\!999...=1

- două intrări diferite ale unei fracții corespund unui număr ;

2,\!13999...=2,\!14

Operații cu fracții

Această secțiune tratează operațiile pe fracții obișnuite. Pentru operații cu zecimale, consultați Decimal .

Reducere la un numitor comun

Pentru compararea, adăugarea și scăderea fracțiilor, acestea ar trebui convertite ( reduse ) la forma cu același numitor. Să fie date două fracții: și . Procedură: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

Aflați cel mai mic multiplu comun al numitorilor: . $M=[b,d]$
Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu . $m/b$
Înmulțiți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu . $m/d$

După aceea, numitorii ambelor fracții sunt aceiași (egali ). În loc de cel mai mic multiplu comun, în cazuri simple se poate lua ca orice alt multiplu comun, de exemplu, produsul numitorilor. Consultați secțiunea Comparație de mai jos pentru un exemplu . $M$ $M$

Comparație

Pentru a compara două fracții obișnuite, ar trebui să le reduceți la un numitor comun și să comparați numărătorii fracțiilor rezultate. O fracție cu un numărător mai mare va fi mai mare.

Exemplu. Comparați și . . Aducem fracțiile la numitor . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $douăzeci$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Prin urmare, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Adunarea și scăderea

Pentru a adăuga două fracții comune, trebuie să le aduceți la un numitor comun. Apoi adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Exemplul 1 : + = + =

\quad {\frac {1}{2)}

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

LCM al numitorilor (aici și ) este egal cu . Aducem fracția la numitor , pentru aceasta trebuie înmulțit numărătorul și numitorul cu . Sa dovedit . Aducem fracția la același numitor, pentru aceasta numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu . Sa dovedit . Pentru a obține diferența de fracții, acestea trebuie, de asemenea, reduse la un numitor comun și apoi scădeți numărătorii, lăsând numitorul neschimbat: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

LCM al numitorilor (aici și ) este egal cu . Aducem fracția la numitor , pentru aceasta trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul cu . Primim . $2$ $patru$ $patru$ ${\frac {1}{2))$ $patru$ $2$ ${\frac {2}{4))$

Exemplul 2 :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a înmulți două fracții comune, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

În special, pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul cu număr și să lăsați numitorul același:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

În general, numărătorul și numitorul fracției rezultate pot să nu fie coprim, iar fracția poate fi necesar să fie redusă, de exemplu:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Să definim reciproca unei fracții ca o fracție (aici ). Apoi, conform definiției înmulțirii, produsul unei fracții și reciproca ei este 1: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

Pentru a împărți o fracție comună la alta, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

De exemplu:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 {2}}.

Exponentiație și extragerea rădăcinilor

Pentru a ridica o fracție la o putere, trebuie să ridicați numărătorul și numitorul ei la aceeași putere:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Exemplu:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{} 27}}

Pentru a extrage o rădăcină dintr-o fracție, trebuie să extrageți rădăcina corespunzătoare de la numărător și numitor:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Exemplu:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Conversia între diferite formate de înregistrare

Pentru a converti o fracție într-o zecimală, împărțiți numărătorul la numitor. Rezultatul poate avea un număr finit de zecimale, dar poate fi și o fracție periodică infinită . Exemple:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- o perioadă care se repetă la infinit se scrie de obicei între paranteze.

Pentru a converti o zecimală cu un număr finit de zecimale într-o fracție comună, trebuie să reprezentați partea sa fracțională ca un număr natural împărțit la puterea corespunzătoare a lui 10. Apoi partea întregă cu semn este adăugată la rezultat, formând o fracție mixtă. Exemplu:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

O fracție zecimală infinită, în general, nu poate fi reprezentată exact ca una obișnuită. Excepție fac fracțiile zecimale periodice , pentru care o astfel de reprezentare este întotdeauna posibilă [4] .

Un exemplu (consultați și Conversia unei zecimale recurente într-o fracție comună ). Să transformăm o fracție periodică într-o fracție obișnuită. Notăm , apoi de unde: sau: Ca rezultat, obținem: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

Istoria și etimologia termenului

Termenul rusesc fracție , ca și omologii săi din alte limbi, provine din lat. fractura , care, la rândul său, este o traducere a termenului arab cu același sens: rupe, zdrobi . Bazele teoriei fracțiilor obișnuite au fost puse de matematicienii greci și indieni . Prin arabi, termenul, tradus în latină, a trecut în Europa, este menționat deja de Fibonacci (1202). Cuvintele numărător și numitor au fost introduse de matematicianul grec Maxim Planud .

Fracțiile erau calculate în Egiptul antic . Surse matematice despre fracțiile egiptene au supraviețuit până în zilele noastre : Papirus matematic Rinda (c. 1650 î.Hr.) [5] , Scroll matematic egiptean de piele (sec. XVII î.Hr.) [6] , Papirus matematic din Moscova (cca 1850 î.Hr.), tabletă de lemn din Akhmim (c. 1950 î.Hr.) [7] .

În China, fracțiile obișnuite se găsesc în lucrarea „ Matematica în nouă cărți ” (sec. X-II î.Hr.), editată în secolul II î.Hr. e. oficial financiar Zhang Cang. Fracțiile zecimale sunt întâlnite pentru prima dată în China din aproximativ secolul al III-lea d.Hr. e. când se calculează pe tabla de numărare ( suanpan ). În sursele scrise, fracțiile zecimale au fost descrise în format tradițional (nepozițional) de ceva timp, dar treptat sistemul pozițional l-a înlocuit pe cel tradițional [8] . Matematicianul și astronomul persan Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) în tratatul „Cheia aritmeticii” (1427) s-a declarat inventatorul fracțiilor zecimale, deși acestea au fost găsite în scrierile lui Al-Uklidisi. , care a trăit cu cinci secole mai devreme [ 9] .

La început, matematicienii europeni au lucrat numai cu fracții obișnuite, iar în astronomie cu sexagesimal . Denumirea modernă a fracțiilor obișnuite provine din India antică - la început a fost împrumutată de arabi , iar apoi, în secolele XII - XVI , de europeni. La început, fracțiile nu foloseau o bară fracțională: numerele erau scrise în acest fel: Utilizarea unei bare fracționale a devenit constantă doar cu aproximativ 300 de ani în urmă. În Europa, primul om de știință care a folosit și a răspândit sistemul de numărare indian (cunoscut sub numele de „numerele arabe”), inclusiv metoda de scriere a fracțiilor, a fost un comerciant italian, călător, fiul unui funcționar al orașului - Fibonacci (Leonardo de Pisa) [ 10] . O teorie cu drepturi depline a fracțiilor obișnuite și a acțiunilor cu acestea dezvoltată în secolul al XVI-lea ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

În Europa, primele fracții zecimale au fost introduse de Immanuel Bonfils în jurul anului 1350, dar s-au răspândit abia după apariția lucrării The Zece (1585) a lui Simon Stevin . Stevin a scris zecimale în moduri complexe: de exemplu, numărul 42,53 a fost scris ca sau 42 ⓪ 5 ① 3 ② , unde 0 într-un cerc sau deasupra unei linii însemna o parte întreagă, 1 înseamnă zecimi, 2 înseamnă sutimi și așa mai departe. Virgula a fost folosită pentru a separa întreaga parte încă din secolul al XVII-lea [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

În Rusia, fracțiile erau numite acțiuni . În primele manuale rusești de matematică - în secolul al XVII-lea - fracțiile erau numite numere rupte [10] . Termenul fracție , ca analog al latinului fractura , este folosit în Aritmetica lui Magnitsky (1703) atât pentru fracțiile ordinare, cât și pentru cele zecimale.

Generalizări

Ring de privat
O funcție rațională este o fracție compusă din polinoame .

Vezi și

Note

↑ Enciclopedia de matematică, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior . - ed. al 13-lea. — M. : Nauka, 1985. — S. 130. — 544 p.
↑ Manual ParaType .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ Papirusul matematic Rhind .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Zhohov, Cesnokov, Schwarzburd, 1997 .

Literatură

In rusa:

Fracție aritmetică // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - Moscova: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematică: Proc. pentru 5 celule. medie şcoală / ed. N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Cesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. a 4-a. - Ceboksary: Chuv. carte. editura, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Manual de matematică pentru școlile secundare. - Ed. a III-a - Moscova: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 p.

În limba engleză:

Berggren, J. Lennart. Matematica în Islamul medieval // Matematica Egiptului, Mesopotamiei, Chinei, Indiei și Islamului: O sursă . - Princeton University Press , 2007. - P. 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. O istorie a matematicii chineze. Springer (engleză) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Un fragment suplimentar din Stela „Hatnub” // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - ianuarie ( vol. 20 , nr. 1 ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshall. Memoriile Societății Filosofice Americane 232 // Știința Egipteană Antică: O Carte Sursă. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Link -uri

Papirusul matematic Rhind . muzeu britanic. Data accesului: 13 ianuarie 2019.
Bară fracțională (Bară fracțională, Solidus) . Manual ParaType . (nedefinit)

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Fracțiuni ale unui număr (părți ale unui întreg)
valoare variabilă	Procent ( % ) ppm ( ‰ ) Zece miime ( ‱ ) Părți pe milion ( ppm, ppm ) Miliardea parte ( ppb, ppb ) Fracție de trilion ( ppt, trilion -1 )
valoare fixa	1/4 (sfert) 1/3 (al treilea) 1/2 (jumătate) 1/1 (Toate, întregi)
Vezi si	prefixe SI întreaga parte Zecimal Partea fracționată Separator zecimal Fracțiune Parte Distribuie (muzică) Partajare (unitate)