Divizibilitate

Divizibilitatea este unul dintre conceptele de bază ale teoriei aritmetice și numerelor asociate cu operația de împărțire . Din punctul de vedere al teoriei multimilor , divizibilitatea numerelor intregi este o relatie definita pe multimea numerelor intregi .

Definiție

Dacă pentru un număr întreg și un număr întreg există un astfel de număr întreg , atunci se spune că numărul este divizibil cu sau care împarte $A$ $b$ $q$ $bq=a,$ $A$ $b$ $b$ $A.$

În acest caz, numărul se numește divizor al numărului , dividendul va fi un multiplu al numărului , iar numărul se numește câtul împărțirii la . $b$ $A$ $A$ $b$ $q$ $A$ $b$

Deși proprietatea divizibilității este definită pe întreaga mulțime de numere întregi , de obicei se ia în considerare doar divizibilitatea numerelor naturale . În special, funcția numărului de divizori ai unui număr natural numără doar divizorii săi pozitivi.

Notație

$a\,\vdots \,b$ înseamnă [1] , care este divizibil cu , sau că numărul este un multiplu al . $A$ $b$ $A$ $b$

$b/mijlocul a$ înseamnă că împarte , sau, ceea ce este același: - divizor . $b$ $A$ $b$ $A$

Definiții înrudite

Fiecare număr natural mai mare decât 1 are cel puțin doi divizori naturali: 1 și numărul însuși. În acest caz, numerele naturale care au exact doi divizori se numesc prime , iar cele cu mai mult de doi divizori se numesc compuse . Unitatea are exact un divizor și nu este nici prim, nici compus.
Fiecare număr natural mai mare decât are cel puțin un divizor prim . $unu$
Un divizor propriu al unui număr este orice divizor, altul decât numărul în sine. Numerele prime au exact un divizor propriu, unul.
Se folosește și conceptul de divizori triviali : acesta este numărul în sine și unitatea. Astfel, un număr prim poate fi definit ca un număr care nu are alți divizori decât cei banali.
Indiferent de divizibilitatea unui număr întreg cu un număr întreg , un număr poate fi întotdeauna împărțit cu un rest , adică reprezentat ca: $A$ $b\neq 0$ $A$ $b$ $a=b\,q+r,$ unde . $0\leqslant r<|b|$

În această relație, numărul se numește coeficient incomplet , iar numărul este restul împărțirii cu . Atât câtul cât și restul sunt definite în mod unic.

q

r

A

b

Un număr este divizibil egal cu dacă și numai dacă restul împărțirii cu este zero.

A

b

A

b

Orice număr care le împarte pe ambele și se numește divizor comun ; cel mai mare dintre aceste numere se numește cel mai mare divizor comun . Fiecare pereche de numere întregi are cel puțin doi divizori comuni: și . Dacă nu există alți divizori comuni, atunci aceste numere se numesc prime relativ . $A$ $b$ $+1$ $-unu$
Două numere întregi și se spune că sunt divizibile egal cu un număr întreg dacă fie și , și este divizibil cu , sau nici , nici nu este divizibil cu acesta. $A$ $b$ $m$ $A$ $b$ $m$ $A$ $b$
Se spune că un număr este multiplu al unui număr dacă este divizibil cu fără rest. Dacă un număr este divizibil fără rest prin numere și , atunci se numește multiplu comun al acestora . Cel mai mic astfel de număr natural se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor și . $A$ $b$ $A$ $b$ $c$ $A$ $b$ $c$ $A$ $b$

Proprietăți

Notă: Toate formulele din această secțiune presupun că sunt numere întregi.

a,\,b,\,c

Orice număr întreg este un divizor zero , iar câtul este zero:

\quad0\,\vdots\,a.

Orice număr întreg este divizibil cu unu:

\quad a\,\vdots\,1.

Numai zero este divizibil cu zero:

a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0

iar coeficientul nu este definit în acest caz.

Unul este divizibil doar cu unul:

1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.

Pentru orice număr întreg, există un număr întreg pentru care $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Dacă și atunci Rezultă, de asemenea, că dacă și atunci $a\,\vdots \,b$ $\left|b\right|>\left|a\right|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vdots \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

Pentru a fi necesar și suficient să $a\,\vdots \,b$ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$

Dacă atunci $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

Relația de divizibilitate a numerelor naturale este o relație de ordine nestrictă și, în special, este:
- în mod reflex , adică orice număr întreg este divizibil prin el însuși: $\quad a\,\vdots \,a.$
- tranzitiv , adică dacă și atunci $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antisimetric , adică dacă și atunci $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

În sistemul întreg, doar primele două dintre aceste trei proprietăți sunt valabile; de exemplu, și dar . Adică, raportul de divizibilitate al numerelor întregi este doar o preordonare .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Numărul de divizori

Numărul de divizori pozitivi ai unui număr natural , de obicei notat este o funcție multiplicativă , pentru care formula Dirichlet asimptotică este adevărată : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta}\dreapta).

Iată constanta Euler-Mascheroni , iar pentru Dirichlet acest rezultat a fost îmbunătățit de multe ori și este în prezent cel mai cunoscut rezultat (obținut în 2003 de Huxley). Cu toate acestea, cea mai mică valoare a lui , la care această formulă va rămâne adevărată, este necunoscută (se dovedește că nu este mai mică decât ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

În acest caz, divizorul mediu al unui număr mare n crește în medie ca , ceea ce a fost descoperit de A. Karatsuba [5] . Conform estimărilor computerizate de M. Korolev . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\aprox 0{,}7138067$

Generalizări

Noțiunea de divizibilitate se generalizează la inele arbitrare , cum ar fi numere întregi gaussiene sau un inel polinomial .

Vezi și

Link -uri

Video cu divizibilitate

Note

↑ Vorobyov, 1988 , p. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Teoria numerelor . - M . : Educație, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Teoria analitică a numerelor // Enciclopedie matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
^ Weisstein , Eric W. Dirichlet Divisor Problem (în engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ V. și Arnold. Dinamica, statistica și geometria proiectivă a câmpurilor Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor. M.-L.: Stat. ed. literatura tehnică și teoretică, 1952, 180 p.
Vorobyov N. N. Semne de divizibilitate . - a 4-a ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Divizibilitate // Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 95 . — 352 p.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Britannica (online)

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant