Con (topologie)

Un con în topologie este un spațiu topologic obținut din spațiul inițial prin contractarea unui subspațiu al cilindrului său ( ) la un punct, adică un spațiu coeficient . Conul peste spațiu este notat cu . $X$ $X\ori\{0\}$ $X\ori[0, 1]$ $(X \times [0, 1])/(X \times \{0\})$ $X$ $\mathrm CX$

Dacă este o submulțime compactă a spațiului euclidian , atunci conul peste este homeomorf la unirea segmentelor de la un punct distins în spațiu, adică definiția unui con topologic este în concordanță cu definiția unui con geometric . Cu toate acestea, conul topologic este o construcție mai generală. $X$ $X$ $X$

Exemple

Un con peste un punct de pe dreapta reală este un interval , un con peste un interval de pe dreapta reală este un triunghi umplut (2-simplex), un con peste un poligon este o piramidă cu bază . Conul de deasupra cercului este conul clasic (cu interior); un con peste un cerc este suprafața laterală a unui con clasic: $p$ $\{p\}\time[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homeomorf la un cerc .

În general, un con peste o hipersferă este homeomorf unei bile cu dimensiuni închise . Un con peste un -simplex este un -simplex. $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Proprietăți

Conul poate fi construit ca un cilindru de cartografiere constantă [1] . $\mathrm CX$ $X \la \{0\}$

Toate conurile sunt conectate pe cale , deoarece orice punct poate fi conectat la un vârf. Mai mult, orice con este contractibil la vârf cu ajutorul homotopiei date de formula . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Dacă este compact și Hausdorff , atunci conul poate fi reprezentat ca spațiul segmentelor de dreaptă care leagă fiecare punct de un singur punct; dacă nu este compact sau Hausdorff, atunci nu este, deoarece în general topologia spațiului coeficient va fi mai subțire decât setul de segmente de linie care se conectează la un punct. $X$ $\mathrm CX$ $X$ $X$ $\mathrm CX$ $X$

În topologia algebrică , conurile sunt utilizate pe scară largă deoarece reprezintă spații ca înglobări într-un spațiu contractibil; în acest sens este important și următorul rezultat: un spațiu este contractibil dacă și numai dacă este o retragere a conului său. $X$

Functor conic

Maparea generează un functor conic , un endofunctor peste categoria spaţiilor topologice . $X\mapsto\mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Sus} \to \mathbf{Sus}$ $\mathbf {Sus}$

Con redus

Conul redus este o construcție peste un spațiu punctat [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\times [0,1] \big) / \big( (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\ dreapta\}\ori [0,1]) \mare)

Înglobarea naturală ne permite să considerăm orice spațiu ascuțit ca un subset închis al conului său redus [3] . $x\mapsto(x,1)$

Vezi și

Supliment (topologie)
Con de cartografiere (topologie)
Con de cartografiere (algebră omologică)
Unire (topologie)

Note

↑ Spanier, 1971 , p. 77.
↑ Switzer, 1985 , p. 13.
↑ Spanier, 1971 , p. 469.

Literatură

Allen Hatcher. Topologie algebrică. - Moscova: Editura MTsNMO, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Elveţian. Topologie algebrică - homotopie și omologie. - Moscova: „Nauka”, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985.
E. Spanier. Topologie algebrică. - Moscova: Mir, 1971.