Metoda Gauss (determinarea orbitei)

Metoda Gauss în mecanica și astrodinamică cerească este utilizată pentru a determina inițial parametrii orbitei unui corp ceresc din trei observații.

În practică, se folosesc mai multe observații pentru a crește acuratețea, dar trei sunt suficiente în teorie. Pe lângă coordonatele cerești ale obiectului, informațiile necesare sunt timpii de observație și coordonatele terestre ale punctelor de observare.

Istorie

În 1801, Ceres a fost descoperit , dar de ceva timp observațiile sale au fost dificile din cauza apropierii lui de Soare, după care a fost greu să-l regăsească pe cer. Carl Friedrich Gauss și-a stabilit sarcina de a-i determina orbita din observațiile disponibile, datorită cărora și-a câștigat faima mondială [1] . Cu toate acestea, metoda descrisă mai jos este potrivită doar pentru determinarea orbitelor cu un focus în corp din care se fac observații, așa că problema lui Gauss a fost mai dificilă.

Vectorul de poziție al observatorului

Vectorul de poziție al observatorului (în sistemul de coordonate ecuatorial ) poate fi calculat cunoscând latitudinea locului de observare și timpul sideral local :

\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}} ))+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +\sin \theta _{n}\ \mathbf { \hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n))))+H_{n}\dreapta]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K))

\mathbf {R_{n}} =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\\mathbf {\hat {I)} +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K)} ,

Unde:

$\mathbf {R_{n}}$ este vectorul de poziție al observatorului;
$Re}$ este raza ecuatorială a corpului pe care se află observatorul;
$f$ - aplatizarea corpului la poli (de exemplu, pentru Pământ - 0,003353);
$\phi _{n}$ — latitudinea geodezică;
$\phi '_{n)$ — latitudine geocentrică;
$H_n$ - inaltime;
$\theta_n$ - ora sideral locală.

Vector de direcție către obiect

Vectorul de direcție către un obiect poate fi calculat folosind declinația și ascensiunea dreaptă :

\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}=\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \ delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K))

Unde:

$\mathbf {{\hat {\rho })_{n)}$ este vectorul direcției unitare către obiect;
$\delta _{n}$ - declinaţie;
$\alpha_{n}$ - ascensiunea dreaptă.

Definiția orbitei

În continuare, trebuie să obțineți vectorul distanță la obiect și nu doar vectorul direcției unitare către acesta.

Pasul 1

Se calculează intervalele dintre observații:

\tau _{1}=t_{1}-t_{2)

\tau _{3}=t_{3}-t_{2)

\tau =t_{3}-t_{1},

unde sunt timpii de observare. $t_{n}$

Pasul 2

Produsele vectoriale sunt calculate :

\mathbf {p_{1}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{2}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{3}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Pasul 3

Produsele mixte se calculează :

D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1} } \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )

D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}

Pasul 4

Se calculează coeficienții de poziție:

A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)

B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\ frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{ 1}}{\tau}}\dreapta]

E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Pasul 5

Se calculează modulul vectorului de poziție al observatorului în momentul celei de-a doua observații:

{R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}

Pasul 6

Coeficienții polinomii sunt calculați pentru a afla distanța:

a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)

b=-2\mu B(A+E)

c=-\mu ^{2}B^{2},

unde este parametrul gravitațional al corpului în jurul căruia are loc rotația. $\mu$

Pasul 7

Căutăm soluții pentru ecuația:

{r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,

unde este distanța până la obiect în momentul celei de-a doua observații. $r_{2}$

O ecuație cubică poate avea până la trei rădăcini reale. Dacă există mai multe dintre ele, trebuie să verificați fiecare dintre ele.

Pasul 8

Distanțele de la punctele de observare la obiect sunt calculate la fiecare moment de observare:

\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{ \tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ stânga(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]

\rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3)))

\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{ \tau _{1))}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1))}\right){r_{2))^{3}+\mu D_{13}\ stânga(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]

Pasul 9

Se calculează vectorii de poziție ai obiectului (în sistemul de coordonate ecuatoriale ):

\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}

\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

Pasul 10

Se calculează coeficienții Lagrange . Din acest motiv, definiția orbitelor devine inexactă:

f_{1}\aprox 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^ {2}

f_{3}\aprox 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^ {2}

g_{1}\aprox \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {1}}^{3}

g_{3}\aprox \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {3}}^{3}

Pasul 11

Vectorul viteză al obiectului este calculat în momentul celei de-a doua observații (în sistemul de coordonate ecuatoriale):

\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)

Pasul 12

Acum știm poziția și viteza obiectului la un moment dat. Prin urmare, este posibil să se determine parametrii orbitei [2] .

Note

↑ Gauss . Preluat la 11 martie 2020. Arhivat din original la 15 mai 2012. (nedefinit)
↑ Mecanica orbitală pentru studenții la inginerie . Preluat la 11 martie 2020. Arhivat din original la 10 noiembrie 2020. (nedefinit)

Literatură

Der, Gim J.. „Noui algoritmi numai pentru unghiuri pentru determinarea inițială a orbitei”. Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). imprima _

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare Puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare