Simetria tetraedrică

Simetrii de involuție C s , (*) [ ] =	Simetria ciclică C nv , (*nn) [n] =	Simetria diedrică D nh , (*n22) [n,2] =
Grupuri politopice , [n,3], (*n32)
Simetria tetraedrică T d , (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică O h , (*432) [4,3] =	Simetria icosaedrică I h , (*532) [5,3] =

Un tetraedru obișnuit are 12 simetrii de rotație (conservare a orientării) și [ simetrii de ordinul 24, implicând o combinație de reflexii și rotații.

Grupul tuturor simetriilor este izomorf cu grupul S 4 , grupul de permutare simetric a patru elemente, deoarece există exact o astfel de simetrie pentru fiecare permutare a vârfurilor tetraedrului. Setul de simetrii care păstrează orientarea formează un grup care este un subgrup alternant A4 al grupului S4 .

Detalii

Chiral și total (sau simetria tetraedrică achirală și simetria piritoedrică ) sunt simetrii punctuale discrete (sau, în mod echivalent, simetrii pe o sferă ). Ele sunt incluse în grupele de simetrie cristalografică ale sigoniei cubice .

În proiecția stereografică , marginile tetrakishexaedrului formează 6 cercuri (sau linii radiale centrale) pe plan. Fiecare dintre aceste cercuri reprezintă o oglindă în simetrie tetraedrică. Intersecția acestor cercuri dă puncte de rotație de ordinul 2 și 3.

proiecție ortogonală	Proiecție stereografică
	4 ori	3x	2 ori
Simetrie tetraedrică chirală, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Simetrie piritoedrică, T h , (3*2), [4,3 + ],
Simetrie tetraedrică achirală, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Simetrie tetraedrică chirală

T , 332 , [3,3] + , sau 23 de ordinul 12 - simetrie tetraedrică chirală sau. Există trei axe de rotație ortogonale de două ori, cum ar fi simetria diedrului chiral D 2 sau 222, și patru axe suplimentare de trei ori. Acest grup este izomorf cu A4 , un grup alternant de 4 elemente. De fapt, acesta este un grup de permutări pare a patru axe de trei ori: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Clasele de conjugație ale lui T sunt:

• identitate
• Rotire 4 × 120° în sensul acelor de ceasornic (văzut de sus): (234), (143), (412), (321)
• Rotire 4 × 120° în sens invers acelor de ceasornic (aceeași)
• Rotire 3 × 180°

Rotațiile de 180° împreună cu transformarea identității formează un subgrup normal de tip Dih 2 cu un grup de factori de tip Z 3 . Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt transformarea identică, „rotația în sensul acelor de ceasornic” și „rotația în sens invers acelor de ceasornic”, corespunzătoare permutărilor a trei axe ortogonale de două ori, menținând în același timp orientarea.

A 4 este cel mai mic grup care arată că inversul cu teorema lui Lagrange nu este adevărată în general — având în vedere un grup finit G și un divizor d al numărului | G |, nu există neapărat un subgrup al grupului G cu ordinul d - grupul G = A 4 ​​nu are un subgrup de ordinul 6.

Subgrupuri de simetrie tetraedrică chirală

Lână Shen	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Structura	Cicluri	Comanda	Index
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	unu
D2 _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		patru	3
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	patru
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	6
C1 _	[ ] +		unsprezece	unu	Z1 _		unu	12

Simetria tetraedrică achirală

T d , *332 , [3,3] sau 4 3m de ordinul 24 este simetria achirală sau tetraedrică completă , cunoscută și sub numele de grupul triunghiular (2,3,3). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, dar cu șase plane de simetrie în oglindă care trec prin fiecare pereche de axe de trei ori. Axele de două ori sunt acum axe S 4 ( 4 ). Td și O sunt izomorfe ca grupuri abstracte - ambele grupuri corespund lui S4 , grupul simetric de 4 elemente. T d este unirea lui T si multimea obtinuta prin combinarea fiecarui element al lui O \ T cu simetria centrala. Vezi și izometria unui tetraedru obișnuit .

Clasele de conjugare ale lui T d sunt:

• identitate
• Rotire 8 × 120°
• Rotire 3 × 180°
• 6 × reflexie despre un plan care trece prin două axe de rotație
• 6 × 90° rotire a oglinzii

Subgrupuri de simetrie tetraedrică achirală

Lână Shen	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Structura	Cicluri	Comanda	Index
T d	[3,3]		*332	43m _	S4 _		24	unu
C 3v	[3]		*33	3m	Dih 3 = S 3		6	patru
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		patru	6
Cs _	[ ]		*	2 sau m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42m _	Dih 4		opt	3
S4 _	[2 + ,4 + ]		2×	patru	Z4 _		patru	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 2		patru	6
C3 _	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	opt
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		unsprezece	unu	Z1 _		unu	24

Simetria piritoedrică

T h , 3*2 , [4,3 + ] sau m 3 de ordinul 24 - simetrie piriteedrică . Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T cu planuri oglindă prin două direcții ortogonale. Axele de trei ori sunt acum axe S 6 ( 3 ) și există simetrie centrală. T h este izomorf cu T × Z 2 — fiecare element al lui T h este fie un element al lui T, fie un element combinat cu simetria centrală. Pe lângă aceste două subgrupe normale, mai există un subgrup normal D 2h ( paralelipiped dreptunghiular ), de tip Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Este un produs direct al unui subgrup normal T (vezi mai sus) cu C i . Grupul de factori este același ca mai sus - Z 3 . Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt transformarea identității, „rotire în sensul acelor de ceasornic” și „rotire în sens invers acelor de ceasornic”, corespunzătoare permutărilor a trei axe de două ori ortogonale cu orientarea păstrată.

Aceasta este simetria unui cub, în ​​care fiecare față este împărțită de un segment în două dreptunghiuri și nici două segmente nu au vârfuri pe aceeași margine a cubului. Simetriile corespund permutărilor pare ale diagonalelor cubului, împreună cu o inversare centrală. Simetria pentagondodecaedrului este extrem de apropiată de simetria cubului descris mai sus. Un piritoedru se poate obtine dintr-un cub cu fete bisectate prin inlocuirea dreptunghiurilor cu pentagoane cu o axa de simetrie si 4 laturi egale, o latura este diferita ca lungime (cea care corespunde segmentului care traverseaza latura patrata a cubului). Adică, fețele cubului ies de-a lungul segmentului de divizare, iar segmentul în sine devine mai mic. Simetria cubului cu fața divizată este un subgrup al grupului de simetrie icosaedrică completă (ca grup de izometrie, nu doar un grup abstract) cu 4 din 10 axe de trei ori.

Clasele de conjugație T h includ clasele de conjugație T cu combinații a două dintre cele 4 clase, precum și fiecare clasă c cu simetrie centrală:

• identitate
• Rotire 8 × 120°
• Rotire 3 × 180°
• simetria centrală
• Rotire a oglinzii 8 × 60°
• 3 × reflexie speculară (față de plan)

Subgrupuri de simetrie piriteedrică

Lână Shen	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Structura	Cicluri	Comanda	Index
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × 2		24	unu
D2h _	[2,2]		*222	hmmm	Dih 2 × Dih 1		opt	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		patru	6
Cs _	[ ]		*	2 sau m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		patru	6
S2 _	[2 + ,2 + ]		×	unu	2 sau Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3 _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	patru
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 4		patru	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	opt
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		unsprezece	unu	Z1 _		unu	24

Corpuri cu simetrie tetraedrică chirală

Icosaedrul, colorat ca un tetraedru snub , are simetrie chirală.

Solide cu simetrie tetraedrică completă

Vezi și

• Simetrie octaedrică
• Simetria icosaedrică
• Grup binar de tetraedri

Note

Literatură

• P. Cromwell. Poliedre. - Regatul Unit: Cambridge University Press, 1997. - P. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Capitolul 11: Grupuri de simetrie finită // Geometrii și transformări. — 2015.

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .