Multiplu complet

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 21 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Un multiplu complet este un întreg pozitiv care este divizibil cu pătratul fiecăruia dintre divizorii primi .

Definiție echivalentă: un număr care poate fi reprezentat ca , unde și sunt numere întregi pozitive ( numere naturale ). $a^{2}b^{3)$ $A$ $b$

Multiplii completi sunt studiați sistematic de Pal Erdős și György Székeres , numele dat de Solomon Golomb .

Lista multiplilor întregi între 1 și 1000 [1] :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 21, 4, 2, 2, 2, 3 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 675, 676, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 , 968, 972, 1000.

Echivalența a două definiții

Dacă , atunci orice prim în descompunere apare de două ori, iar elementul intră de cel puțin trei ori; astfel încât orice prim din descompunere este inclus cel puțin în pătratul . $m=a^{2}b^{3)$ $A$ $b$ $m$

Pe de altă parte, să fie un număr multiplu complet cu descompunere $m$

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i)}

unde fiecare . Definim egal cu trei dacă este impar și zero în caz contrar și definim . Apoi, toate valorile sunt numere întregi chiar nenegative și toate valorile sunt fie zero, fie trei, deci: $\alpha _{i}\geq 2$ $\gamma _{i)$ $\alpha_i$ $\beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i)$ $\beta _{i}$ $\gamma _{i)$

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i)})(\prod p_{i}^{\gamma _{i)))=(\prod p_{i}^{\ beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

dă reprezentarea dorită ca produs dintre un pătrat și un cub. $m$

Cu alte cuvinte, pentru o expansiune dată, numerele pot fi luate ca produs al factorilor primi incluși în expansiunea cu puteri impare (dacă nu există, atunci 1). Deoarece este un multiplu complet, fiecare factor prim inclus în factorizarea cu un grad impar are un grad de cel puțin 3, deci este un număr întreg. Acum fiecare factor prim are un grad par, deci este un pătrat perfect, să-l notăm ca ; si se dovedeste . De exemplu: $m$ $b$ $m$ $m/b^{3)$ $m/b^{3)$ $m/b^{3)$ $a^2$ $m=a^{2}b^{3)$

m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2)

b=2\times 3=6

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3)}})={\sqrt {2^{2}\times 5^{2))}=10

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3)

Proprietăți matematice

Suma reciprocelor multiplilor întregi converge:

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)))\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ zeta (6)))={\frac {315}{2\pi ^{4))}\zeta (3)

unde is ocolește toate numerele prime , este funcția zeta Riemann și este constanta lui Apéry (Golomb, 1970). $p$ $\zeta (s)$ $\zeta (3)$

Să notăm numărul de numere multiple complete în intervalul . Atunci proporțional cu rădăcina pătrată a lui . Mai precis: $k(x)$ $[1,x]$ $k(x)$ $X$

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2.173\cdots

[2] .

Cei mai mici doi multipli completi consecutivi sunt 8 și 9. Deoarece ecuația lui Pell are un număr infinit de soluții, există și un număr infinit de perechi de multipli completi consecutivi [2] ; Mai general, se pot găsi multipli multipli succesivi găsind o soluție la o ecuație similară cu ecuația lui Pell pentru orice cub . Totuși, unul dintre multiplii completi ai perechii astfel obținute trebuie să fie un pătrat. Potrivit lui Gay, Erdős se întreba dacă există infinit de perechi de numere multiple complete similare cu , în care niciunul dintre numerele din pereche nu este un pătrat. Yaroslav Vroblevsky a arătat că, dimpotrivă, există infinit de astfel de perechi, arătând că are infinit de soluții. $x^{2}-8y^{2}=1$ $x^{2}-ny^{2}=\pm 1$ $n$ $(23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})$ $3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}$

Conform conjecturii Erdős-Mollin-Walsh , nu există trei numere multiple complete consecutive.

Sumele și diferențele multiplilor întregi

Orice număr impar poate fi reprezentat ca diferența a două pătrate consecutive:

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1

În același mod, orice număr care este multiplu de patru poate fi reprezentat ca diferența a două numere care diferă cu doi: . Cu toate acestea, un număr divizibil cu doi, dar nu cu patru, nu poate fi reprezentat ca diferență de pătrate, adică se pune întrebarea: ce numere pare care nu sunt divizibile cu 4 pot fi reprezentate ca diferența a două numere multiple complete. $(k+2)^{2}-k^{2}=4k+4$

Golomb a dat mai multe astfel de reprezentări:

2 = 3 3 − 5 2 10 = 13 3 − 3 7 18 \u003d 19 2 - 7 3 \u003d 3 2 (3 3 - 5 2 ).

Mai întâi, s-a făcut o presupunere că numărul 6 nu poate fi reprezentat în această formă, iar Golomb a sugerat că există infinit de numere întregi care nu pot fi reprezentate ca diferență a două numere multiple complete. Cu toate acestea, Narkiwicz a descoperit că există infinite moduri de a reprezenta numărul 6, cum ar fi

6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,

iar McDaniel [3] a arătat că orice număr are un număr infinit de astfel de reprezentări.

Erdős a presupus că orice număr întreg suficient de mare este suma a cel mult trei multipli completi. Conjectura a fost dovedită de Roger Heath-Brown [4] .

Generalizare

$k$ -numerele complete - numerele în descompunerea cărora apar numere prime cu un grad de cel puţin . $k$

$(2^{k+1}-1)^{k)$ , , sunt multipli -plini în progresie aritmetică . $2^{k}(2^{k+1}-1)^{k)$ $(2^{k+1}-1)^{k+1}$ $k$

În plus, dacă sunt multipli -plini în progresie aritmetică cu diferență , atunci: $a_{1},a_{2},\dots,a_{s)$ $k$ $d$

(a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots, a_{s}(a_{s}+d)^{ k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}

sunt -numere complete în progresie aritmetică. $k$

Pentru - numere multiple complete avem: $k$

a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^ {k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}

Această egalitate dă infinit de seturi de lungimi - multipli completi de numere ale căror sume sunt de asemenea - multipli completi. Nitaj [5] a arătat că există infinit de multe soluții ale ecuației între numere coprime 3-complete. Cohn [6] a construit o familie infinită de soluții pentru ecuația dintre multiplii 3-plini coprimi: triplul $l+1$ $k$ $k$ $x+y=z$ $x+y=z$

X=9712247684771506604963490444281

Y=32295800804958334401937923416351

Z=27474621855216870941749052236511

este o soluție a ecuației . Este posibil să construiți o altă soluție prin adăugarea și eliminarea unui divizor comun. ${\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3))$ $X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3} -49Y^{3})$

Note

↑ Secvența OEIS A001694 _
↑ 12 Golomb , 1970 .
↑ McDaniel, 1982 .
↑ Heath-Brown, 1988 .
↑ Nitaj, 1995 .
↑ Cohn, 1998 .

Literatură

Cohn, JHE O conjectură a lui Erdős asupra numerelor 3-puternice // Math. Comp. - 1998. - T. 67 , nr. 221 . - S. 439-440 . - doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
Pal Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. sci. Szeged. - 1934. - Nr 7 . - S. 95-102 .
Solomon W. Golomb. Numere puternice // American Mathematical Monthly . - 1970. - T. 77 , nr 8 . - S. 848-852 . - doi : 10.2307/2317020 . — .
Richard K Guy. Secțiunea B16 // Probleme nerezolvate în teoria numerelor, ediția a III-a. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Roger Heath Brown. Forme pătratice ternare și sume a trei numere pătrat-pline. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 137-163. — (Seminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
Roger Heath Brown. Sumele a trei numere pătrate pline. — Coloq. Matematică. soc. Janos Bolyai, nr. 51, 1990. - S. 163-171. — (Teoria numerelor, I (Budapest, 1987)).
Wayne L. McDaniel. Reprezentări ale fiecărui număr întreg ca diferență de numere puternice // Fibonacci Quarterly . - 1982. - Nr. 20 . - S. 85-87 .
Abderrahman Nitaj. Pe o presupunere a lui Erdős asupra numerelor 3-puternice // Bull. London Math. soc. . - 1995. - V. 4 , Nr. 27 . - S. 317-318 . - doi : 10.1112/blms/27.4.317 .

Link -uri

Weisstein , Eric W. Număr puternic la Wolfram MathWorld .
Conjectura abc

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant