Număr dreptunghiular

Un număr dreptunghiular este un număr care este produsul a două numere întregi consecutive [1] , adică are forma în care În unele surse, acest articol numere și numere începând de la 1, dacă nu se specifică altfel. $R_{n}=n(n+1),$ $n\geqslant 1..$ $R_{0}=0;$

Valoarea unui număr dreptunghiular are o semnificație geometrică simplă - este egală cu aria unui dreptunghi cu lățime și înălțime. Prin urmare, multe surse atribuie numere dreptunghiulare clasei de numere ondulate , mai ales că sunt strâns legate de alte tipuri de numere din această clasă [2] . $n+1$ $n.$

Începutul unei secvențe de numere dreptunghiulare:

2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156 , 182, 210 , 240, 272, 306, 342, 342, 306, 342, 380, secvența IS 380 , …


1×2	2×3	3x4	4×5

Proprietăți

Toate numerele dreptunghiulare sunt pare , deci toate, cu excepția numărului 2, sunt compuse .

Media aritmetică a două numere dreptunghiulare consecutive este un număr pătrat :

{\frac {R_{n}+R_{n+1}}{2}}=(n+1)^{2}

Cu alte cuvinte, există întotdeauna un pătrat întreg între numere dreptunghiulare succesive și doar unul (pentru că ). $n^{2}<R_{n}<(n+1)^{2}<R_{n+1}<(n+2)^{2)$

$n$ Al- lea număr dreptunghiular în ordinea este egal cu dublul numărului triunghiular și mai mare decât al- lea număr pătrat : $n$ $n$ $n$

R_{n}=2T_{n}=n^{2}+n

Deoarece un număr triunghiular este de două ori mai mare, un număr dreptunghiular este egal cu suma primelor numere pare. $T_{n}=1+2+3+\ldots +n,$ $R_n$ $n$

Din faptul că numerele întregi consecutive sunt între prime , rezultă:

Fiecare factor prim al unui număr dreptunghiular poate apărea doar în unul dintre factori.
Numerele dreptunghiulare sunt fără pătrat dacă și numai dacă ambele sunt fără pătrat și $n,$ $n+1.$
Numărul de divizori primi diferiți ai unui număr dreptunghiular este suma numărului de divizori primi diferiți și $n$ $n+1.$
$\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {n}}\rceil =n.$ Aici, colțurile lui Iverson sunt rotunjite în jos la cel mai apropiat număr întreg și rotunjite în sus . $\lfloor {x}\rfloor$ $X$ $\lceil {x}\rceil$

Suma este un număr pătrat unde denotă numărul hexagonal centrat de ordinul --lea . ${\displaystyle R_{n}+C_{n+1}^{(6)))$ $(2n+1)^{2},$ ${\displaystyle C_{n+1}^{(6)))$ $(n+1)$

O serie de numere dreptunghiulare reciproce aparține categoriei serii telescopice și, prin urmare, converge:

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1.

Aplicație

Numărul dreptunghiular specifică: $R_n$

numărul de elemente în afara diagonalei matricei pătrate [3] ; $n\ ori n$
numărul de plasări din elemente de 2; $n+1$
- în special, numărul de muchii care conectează (diferite) vârfuri ale unui graf direcționat cu vârfuri (de exemplu, numărul total de litere care pot fi trimise una la alta, pe rând, de către abonat). $(n+1)$ $(n+1)$

Dacă atribuim 25 la dreapta fiecărui număr dreptunghiular, inclusiv 0, obținem o succesiune de numere pătrate care se termină cu 5:

025=5^{2},\ 225=15^{2},\ 625=25^{2},\ 1225=35^{2},\ 2025=45^{2},\ 3025= 55^{2},\ldots

Aceasta rezultă din formula:

(10n+5)^{2}=100n(n+1)+25.

Funcție de generare

Funcția generatoare a unei secvențe de numere dreptunghiulare [4] :

{\frac {2x}{(1-x)^{3))}=2x+6x^{2}+12x^{3}+20x^{4}+\ldots

Note

↑ Britannica (online) . Preluat la 12 noiembrie 2021. Arhivat din original la 12 noiembrie 2021. (nedefinit)
↑ Ben-Menahem, Ari. Enciclopedia istorică a științelor naturale și matematice, volumul 1 . - Springer-Verlag, 2009. - P. 161. - (Referință Springer). — ISBN 9783540688310 .
^ Rummel , Rudolf J. Analiza factorială aplicată . - Northwestern University Press, 1998. - P. 319. - ISBN 9780810108240 .
↑ Mathworld .

Literatură

Conway, JH & Guy, R.K. (1996), Cartea numerelor , New York: Copernicus, p. 33-34 .
Dickson, L.E. (2005), Divizibilitate și primalitate, Istoria teoriei numerelor , voi. 1, New York: Dover, p. 357 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Pronic Number (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Numere alungite la Fun With Num3ers .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant