Gradul perfect

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 16 februarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O putere perfectă este un număr întreg pozitiv care este o putere întreagă a unui număr întreg pozitiv : . Când numărul este numit pătrat perfect (plin) și , respectiv, cub perfect . Uneori numerele 0 și 1 sunt considerate și puteri perfecte (cum sunt pentru orice ). $n$ $k$ $m$ $n=m^{k)$ $k=2,3$ $n$ $0^{k}=0$ $1^{k}=1$ $k>0$

Secvența de grade perfecte poate fi formată prin enumerarea valorilor posibile pentru și ; primii câțiva dintre membrii săi (inclusiv cei repeți) [1] : $m$ $k$

2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^ {2}=25,\ 3^{3}=27,

2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^ {2}=64,\dots

Primele grade perfecte fără duplicate sunt [2] :

(uneori 0 și 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 264 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Proprietăți

Suma puterilor perfecte inverse (inclusiv duplicate precum ) este 1: $3^{4}=9^{2}=81$

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k)}}=1

care se poate dovedi astfel:

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k)}}=\sum _{m= 2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\ sumă _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m =2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)))=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1 ))-{\frac {1}{m}}\right)=1

Suma unei serii de reciproce ale puterilor perfecte (neincluzând una) fără duplicate este [3] :

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k)) \aprox 0{,}874464368\dots

unde este funcția Möbius și este funcția zeta Riemann . $\mu(k)$ $\zeta (k)$

Potrivit lui Euler , într-una dintre literele pierdute , Goldbach a arătat că suma reciprocelor unei șiruri de puteri perfecte fără una și duplicate este 1: $n_{i}-1$ $\{n_{i}\}$

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\ frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31 }}}+\cdots=1

uneori această afirmație este numită teorema Goldbach-Euler .

În 2002, Preda Mihăilescu a demonstrat că singura pereche de puteri perfecte consecutive este , dovedind astfel conjectura catalană . $2^{3}=8,3^{2}=9$

O problemă nerezolvată este conjectura lui Pillai , conform căreia, pentru orice număr întreg pozitiv dat, există doar un număr finit de perechi de puteri perfecte a căror diferență este egală cu . $k$ $k$

Identificarea gradelor perfecte

Determinarea dacă un număr natural dat este o putere perfectă se poate face în multe moduri diferite, cu diferite niveluri de complexitate . Una dintre cele mai simple astfel de metode este de a lua în considerare toate valorile posibile pentru fiecare dintre divizorii unui număr până la . Dacă divizorii sunt egali, atunci una dintre valori trebuie să fie egală cu dacă într-adevăr este o putere perfectă. $n$ $k$ $n$ $k<n$ $n$ $n_{1},n_{2},\dots ,n_{j)$ $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3} ,\puncte$ $n$ $n$

Această metodă poate fi imediat simplificată luând în considerare numai valorile prime , deoarece pentru compus , unde este un număr prim, poate fi rescris ca . Din această cauză, rezultă că valoarea minimă trebuie să fie în mod necesar primă. $k$ $k=ap$ $p$ $n=m^{k)$ $n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p)$ $k$

Dacă se știe factorizarea completă , de exemplu, , unde sunt numere prime distincte, atunci este o putere perfectă dacă și numai dacă ( este cel mai mare divizor comun al lui ). De exemplu, pentru : deoarece , este a 12-a putere perfectă (și puterea a 6-a perfectă, puterea a patra, cubul și pătratul, deoarece 6, 4, 3 și 2 împart 12). $n$ $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ $p_{i}$ $n$ $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{r})>1$ $\gcd$ $n=2^{9624}$ $\gcd(96,60,24)=12$ $n$

Note

↑ Secvența OEIS A072103 _
↑ Secvența OEIS A001597 _
↑ Weisstein, Eric . Perfect Power (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Link -uri

Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader și Jaume Paradís, Despre o serie de Goldbach și Euler, 2004 (PDF)

Numerele după caracteristicile de divizibilitate
Informatii generale	Factorizarea numerelor întregi Divizibilitate divizor unitar Funcția divizor număr prim Teorema fundamentală a aritmeticii Număr aritmetic
Forme de factorizare	număr prim Numar compus Semiprim număr dreptunghiular Numărul sfenic Număr fără pătrat Multiplu complet Gradul perfect numărul lui Ahile număr neted Număr obișnuit număr grosier număr neobișnuit
Cu divizori limitați	număr perfect Cifre ușor insuficiente Numere ușor redundante Număr multiperfect Numerele hemiperfecte număr hiperperfect număr super perfect prim unitar număr semiperfect număr pararitmic numărul Erdős-Nicolas
Numerele cu mulți divizori	Numere în exces Numerele în exces primitive Numere extrem de redundante Numere super redundante Numere extrem de redundante număr supercompus Un număr foarte supercompus număr ciudat
Legat de secvențele alicote	număr sacru numere amicale numere publice Numere aproape prietenoase
Alte	Nu sunt suficiente numere numere de prieteni numere sublimate Numerele de minereu număr umil Cifre egale număr extravagant

Clase de numere naturale

Puteri și
numere aferente

Numerele de forma
a × 2 b ± 1

Alte numere
polinomiale

Numere
definite recursiv

Seturi de numere
cu
proprietăți specifice

Exprimat
în termeni de sume

Non-ipotenuză
Practic
Principalul semisimplu
Ulama
Wolsenholm

Obținut
cu o sită

numere norocoase

Coduri înrudite
_

Mirtens

numere ondulate

2-dimensională

centrat _	triunghiular pătrat pentagonal hexagonal heptagonală octogonală neunghiulară decagonală stelat
decentrat _	triunghiular pătrat triunghiular pătrat hexagonal octogonală

3 dimensionale

centrat _	tetraedric cub octaedric dodecaedral icosaedric
decentrat _	tetraedric octaedric dodecaedral icosaedric Steaua-octaedrică
piramidal _	pătrat pentagonal hexagonal heptagonală

4-dimensională

centrat _	pentachoric triunghiular într-un pătrat
decentrat _	pentatop

Pseudosimple

Carmichael
Catalana
eliptic
Euler
Euler-Jacobi
Fermă
Frobenius
Luca
Somera - Luca
puternic pseudosimplu

numere combinatorii

Funcții aritmetice

σ( n )	redundant aproape perfect aritmetic colosal de redundant Descartes numere hemiperfecte numere extrem de redundante numere cu componente înalte numere hiperperfecte numere multiperfecte comise practic redundant primitiv usor redundante numerele tau numere maiestuoase numere supraabundente numere supercompozite numere superperfecte
Ω( n )	aproape simplu semisimplu
φ( n )	foarte covalent înalt cu răbdare perfect totient uşor toţios
s( n )	prietenos logodit insuficient semi-perfect

Euclid
numere de avere

Prin divizori

Alți
divizori primi sau
legați
de divizibilitate

Matematică distractivă

Sisteme numerice	număr automorf ciclic Osiris Dudeni cifre egale extravagant Factorion Friedman multumit Nivena Kita Lichrel suma cu cifra lipsă Armstrong palindromic pandigitală parazitar dăunătoare magic primitiv repdigits reunește autogenerat autodescriptivă Smarandsha - Wellena strict non-palindromic schimbatoare deplasare trimorf ondulat vampiri

secvența Aronson
numere de clătite