Numere de prieteni

Numerele prietenoase  sunt două sau mai multe numere naturale cu același indice de redundanță , raportul dintre suma divizorilor numerelor și numărul în sine. Două numere cu aceeași redundanță formează o pereche prietenoasă , n numere cu aceeași redundanță formează un n -tuplu prietenos .

A fi prieteni este o relație de echivalență și, prin urmare, generează o partiție a numerelor naturale pozitive în cluburi ( clase de echivalență ) de numere prietenoase în perechi.

Un număr care nu face parte din nicio pereche prietenoasă se numește pustnic .

Indicele de redundanță al numărului n  este un număr rațional , în care înseamnă suma divizorilor . Un număr n este prietenos dacă există astfel încât . Rețineți că redundanța nu este același lucru cu excesul , care este definit ca .

Redundanța poate fi exprimată și ca , unde funcția divizor a lui c este egală cu suma k -lea puteri ale divizorilor lui n .

Numerele de la 1 la 5 sunt pustnici. Cel mai mic număr prietenos este 6, care se asociază cu 28 cu un indice de redundanță de . Valoarea totală a lui 2 este un număr întreg în acest caz, ceea ce nu este adevărat în multe alte cazuri. Numerele cu un indice de redundanță de 2 sunt cunoscute și ca numere perfecte . Există o serie de probleme nerezolvate legate de numerele prietenoase.

În ciuda asemănării numelor, nu există o relație directă între numerele prietenoase și numerele prietenoase sau numerele însoțitoare , deși definițiile acestor numere folosesc și funcția de divizor.

Exemple

În tabel , numerele albastre sunt dovedite a fi prietenoase (secvența A074902 în OEIS ), numerele roșii sunt dovedite a fi pustnici (secvența A095739 în OEIS ), numerele n care sunt relativ prime cu c (secvența A014567 în OEIS ) nu sunt colorate aici , deși evident că sunt pustnici. Numerele rămase au o stare necunoscută și sunt evidențiate cu galben .

n n n n
unu unu unu 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 patru 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
patru 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 opt 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
opt cincisprezece 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
zece optsprezece 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
unsprezece 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 paisprezece 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
paisprezece 24 12/7 cincizeci 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
cincisprezece 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 optsprezece 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
optsprezece 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 douăzeci 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
douăzeci 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 treizeci 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
treizeci 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Un alt exemplu este că 30 și 140 formează o pereche prietenoasă, deoarece 30 și 140 au același indice de redundanță:

Numerele 2480, 6200 și 40640 sunt membri ai clubului, deoarece toate cele trei numere au un indice de redundanță de 12/5.

Ca exemplu de numere prietenoase impare , luați în considerare 135 și 819 (indice de redundanță 16/9). Există, de asemenea, cazuri în care numerele pare sunt prietenoase cu cele impare, cum ar fi 42 și 544635 (index 16/7).

Un pătrat perfect poate fi un număr prietenos, de exemplu 693479556 (pătratul 26334) și 8640 au un indice de redundanță de 127/36 (acest exemplu este de Dean Hickerson).

Numerele pustnicului

Numerele aparținând unui club de un element, deoarece nu există alte numere prietenoase cu ele, sunt pustnici. Toate numerele prime sunt pustnici. Mai general, dacă numerele n și sunt coprime , adică cel mai mare divizor comun al acestor numere este 1 și, prin urmare, este o fracție ireductibilă, atunci numărul n este un pustnic (secvența A014567 în OEIS ). Pentru un număr prim p avem , iar acest număr este relativ prim pentru p .

Nu se cunoaște nicio metodă generală pentru a determina dacă un număr este un număr de pustnic sau un număr de prieten. Cel mai mic număr a cărui clasificare este necunoscută (din 2009) este numărul 10. Există o sugestie că este un pustnic, dacă nu este, cel mai mic prieten al său este un număr destul de mare, ca și numărul 24 - deși numărul 24 este prietenos, cel mai mic prieten al său este numărul 91.963.648. Pentru numărul 10, nu există un număr prietenos mai mic de 2.000.000.000 [1] .

Cluburi mari

O problemă deschisă este dacă există cluburi infinit de mari sau numere prietenoase reciproc. Numerele perfecte formează un club și există o presupunere că există infinit de numere perfecte (cel puțin atâtea câte sunt numere Mersenne ), dar nu există nicio dovadă. Până în 2018, sunt cunoscute 50 de numere perfecte, iar cel mai mare număr cunoscut are peste 46 de milioane de cifre în notație zecimală . Există cluburi cu membri mai cunoscuți, în special cluburi formate din numere multiperfecte , adică numere al căror indice de redundanță este un număr întreg. Până la începutul anului 2013, clubul numerelor amicale cu un indice de 9 avea 2094 de membri [2] . Deși se știe că cluburile de numere multiperfecte sunt destul de mari (cu excepția numerelor perfecte în sine), există presupuneri că aceste cluburi sunt finite.

Note

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​​​2008 .

Literatură