Vechea teorie cuantică

Vechea teorie cuantică (uneori vechea mecanică cuantică [1] ) este o abordare a descrierii fenomenelor atomice care a fost dezvoltată în 1900-1924 și a precedat crearea mecanicii cuantice . O trăsătură caracteristică a acestei teorii este utilizarea simultană a mecanicii clasice și a unor presupuneri care au intrat în conflict cu aceasta. Baza vechii teorii cuantice este modelul Bohr al atomului , la care mai târziu Arnold Sommerfeld [2] a adăugat cuantificarea componentei z a momentului unghiular , numită neașteptat cuantificare spațială . Cuantificarea componentei z a făcut posibilă introducerea orbitelor electronilor eliptice și propunerea conceptului de degenerare a energiei . Succesul vechii teorii cuantice a fost descrierea corectă a atomului de hidrogen și efectul Zeeman normal .

Instrumentul principal al vechii teorii cuantice este cuantizarea Bohr-Sommerfeld , o procedură care generează un set discret de stări ale mișcării integrate a unui sistem clasic și le definește ca stări permise ale acestui sistem, similar cu orbitele permise în Bohr. model. Sistemul poate fi doar în aceste stări și nu în oricare altele. Această teorie nu poate descrie mișcarea haotică, deoarece necesită închiderea completă a traiectoriilor de mișcare ale sistemului clasic.

Istorie

Punctul de plecare al vechii teorii cuantice (și mecanicii cuantice în general) este apariția chiar la începutul secolului al XX-lea a lucrărilor lui Max Planck privind emisia și absorbția luminii [3] [4] . Dezvoltarea directă a teoriei cuantice a început odată cu introducerea de către Einstein a teoriei cuantice a capacității termice a unui solid . În modelul Einstein, se presupune că fiecare atom din rețea este un oscilator armonic cuantizat independent, ceea ce face posibilă explicarea, alături de legea clasică Dulong-Petit la temperaturi ridicate, scăderea capacității termice la temperaturi scăzute. Cu această tehnică, principiile cuantice au fost extinse la mișcarea atomilor. Debye a îmbunătățit ulterior acest model .

În 1913, Niels Bohr a folosit considerații pe care le-a formulat curând ca principiu de corespondență și a dezvoltat un model al atomului de hidrogen care ar putea explica spectrul său discret prin formularea a două postulate binecunoscute. Mai târziu, Arnold Sommerfeld a dezvoltat ideile lui Bohr prin extinderea modelului său la sisteme integrabile arbitrare folosind principiul invarianței adiabatice a numerelor cuantice. Modelul Sommerfeld era mult mai aproape de mecanica cuantică modernă decât modelul Bohr. .

În anii 1910 și începutul anilor 1920, multe probleme au fost rezolvate cu succes folosind vechea teorie cuantică. Natura spectrelor vibraționale și rotaționale ale moleculelor a devenit clară, a fost descoperit spinul electronului , datorită căruia a fost explicată existența numerelor cuantice cu jumătate întregi. Planck a introdus vibrațiile punctului zero , Sommerfeld a aplicat cu succes modelul Bohr atomului relativist de hidrogen, iar Hendrik Kramers a explicat efectul Stark . Bose și Einstein au propus statistici cuantice pentru fotoni .

Kramers a propus o metodă pentru calcularea probabilităților de tranziție între stările cuantice folosind componentele Fourier ale mișcării, care a fost dezvoltată ulterior de el, împreună cu Werner Heisenberg, într-o mapare matrice semiclasică a probabilităților de tranziție. Apoi, pe baza acestor idei, Heisenberg a construit mecanica matriceală - o formulare a mecanicii cuantice bazată pe matrice de tranziție .

În 1924, Louis de Broglie a dezvoltat teoria ondulatorie a materiei, pe care Einstein a dezvoltat-o puțin mai târziu, derivând o ecuație semiclasică pentru undele materiei. În 1925, Erwin Schrödinger a propus ecuația de undă mecanică cuantică , care a făcut posibilă reunirea tuturor rezultatelor vechii teorii cuantice fără nicio inconsecvență. Mecanica ondulatorie a lui Schrödinger s-a dezvoltat independent de mecanica matriceală a lui Heisenberg, dar experimentele au arătat că ambele metode au prezis aceleași rezultate. Paul Dirac în 1926 a arătat că ambele imagini sunt echivalente și provin dintr-o metodă mai generală - teoria reprezentării [5] .

Apariția mecanicii matriceale și ondulatorii a marcat sfârșitul vechii teorii cuantice .

Principii de bază

Ideea principală a vechii teorii cuantice a fost că mișcarea unui sistem atomic este cuantizată (discretă). Sistemul respectă legile mecanicii clasice cu o singură excepție: nu sunt permise toate mișcările sistemului, ci doar acelea care respectă regula

\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,

unde sunt momentele canonice, sunt coordonatele lor conjugate, sunt numere cuantice, care pot fi doar numere întregi. Integrala este luată de-a lungul unei traiectorii de mișcare închise (pentru fiecare pereche de coordonate-impuls), care corespunde unei energii constante (care este descrisă de funcția Hamilton ). În plus, integrala este aria în spațiul fazelor , care corespunde acțiunii clasice . Acțiunea, totuși, este cuantificată în unități ale constantei lui Planck , motiv pentru care constanta lui Planck este adesea denumită cuantumul de acțiune . $p_{i}$ $q_{i}$ $n_{i}$ $E$ ${\mathcal {H}}$

Pentru ca condiția de cuantizare să aibă sens, mișcarea clasică trebuie separată, adică trebuie să existe coordonate astfel încât mișcarea de-a lungul fiecăreia dintre aceste coordonate să fie periodică (în cazul incomensurabilității perioadelor de-a lungul diferitelor coordonate, totalul mișcarea nu va fi periodică). Vechea teorie cuantică se supune principiului corespondenței , pe baza următoarelor observații: mărimile de cuantificat trebuie să fie invarianți adiabatici [6] . $q_{i}$

Baza experimentală

Radiația corpului negru

Una dintre principalele probleme ale fizicii la sfârșitul secolului al XIX-lea a fost problema radiațiilor corpului negru. Un corp negru este o idealizare fizică: un corp care absoarbe complet radiația incidentă de orice lungime de undă. Substanțele negre reale, de exemplu, funinginea, absorb 99% din radiația incidentă în intervalul de lungimi de undă vizibile, dar absorb radiația infraroșie mult mai rău. Dintre corpurile sistemului solar, un corp absolut negru corespunde cel mai bine Soarelui .

Conform termodinamicii clasice , intensitatea spectrală I(ν) a radiației ar trebui să fie aceeași pentru orice corp absolut negru încălzit la aceeași temperatură. Această predicție este confirmată de experiment. Intensitatea spectrală atinge un maxim la o anumită frecvență ν max și scade la zero de ambele părți ale maximului. Frecvența maximului ν max , precum și înălțimea acestuia, crește cu temperatura.

Încercările de a prezice teoretic forma curbei de intensitate spectrală experimentală a unui corp negru pe baza legile fizicii clasice au condus la formula Rayleigh-Jeans [7] [8] :

$I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.$

Cu excepția regiunii frecvențelor joase, legea formulei Rayleigh-Jeans nu este de acord cu experimentul. El prezice că intensitatea totală a energiei radiate crește la nesfârșit cu frecvența ( catastrofa ultravioletă ), dar în realitate intensitatea totală este finită.

În 1900, Max Planck a postulat [4] că schimbul de energie între atomi și radiația electromagnetică emisă de aceștia are loc în porțiuni discrete de energie, iar cea mai mică porțiune de energie la o frecvență dată ν este egală cu

$E=h\nu$ ,

unde h este constanta lui Planck . În acest caz, numai porțiuni întregi multiple ale energiei hν pot fi transferate în timpul interacțiunii atomilor și radiației . Folosind acest postulat, Planck a derivat o formulă pentru intensitatea spectrală a radiației electromagnetice de echilibru termic a unui corp negru:

$I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT)) - 1},$

care este în excelent acord cu experimentul. Astfel, Planck a rezolvat problema radiației corpului negru, folosind ideea de cuantizare a energiei, care contrazice fizica clasică.

Efect fotoelectric

Efectul fotoelectric este fenomenul de emisie de electroni de către o substanță sub acțiunea luminii (și, în general, a oricărei radiații electromagnetice). Primele studii sistematice ale efectului fotoelectric au fost efectuate de fizicianul rus Stoletov în 1888, care a stabilit mai multe modele importante. Punctul cheie s-a dovedit a fi faptul că energia fotoelectronilor este absolut independentă de intensitatea luminii incidente: o creștere a intensității nu face decât să mărească numărul de electroni ejectați, dar nu și viteza acestora. Cu toate acestea, s-a dovedit că viteza electronilor depinde de frecvența radiației și, odată cu creșterea frecvenței, energia fotoelectronilor crește liniar. Astfel de fenomene erau de neînțeles din punctul de vedere al electrodinamicii clasice .

Explicația teoretică a efectului fotoelectric a fost dată de Albert Einstein în 1905. Folosind ipoteza lui Planck, el a sugerat că lumina nu este emisă doar în porțiuni ( quanta ), ci, în general, este un flux de cuante ( fotoni ) cu energie hν . Cu efectul fotoelectric, o parte din lumina incidentă este reflectată de la suprafață, în timp ce cealaltă parte pătrunde în stratul de suprafață al metalului și este absorbită acolo. Când un electron absoarbe un foton, primește energie de la acesta și, cheltuind o parte din el pe funcția de lucru A afară , părăsește metalul. Astfel, avem ecuația Einstein pentru efectul fotoelectric:

$h \nu = A_{out} + P + eV,$

unde P este energia de ionizare (care pentru metale poate fi setată la zero, deoarece metalul are un număr mare de electroni liberi), eV este energia cinetică a fotoelectronului. Această ecuație a fost în curând testată intens în experimentele lui Robert Millikan , pentru care, printre altele, a primit Premiul Nobel pentru fizică în 1923.

Astfel, fenomenul efectului fotoelectric este o confirmare experimentală a ipotezei lui Planck și a proprietăților corpusculare ale luminii.

Experimentul Frank-Hertz

Un experiment privind împrăștierea inelastică a electronilor de către atomi, efectuat în 1913-1914 de James Frank și Gustav Ludwig Hertz [9] , a confirmat validitatea postulatelor lui Bohr.

În acest experiment, atomii sau moleculele unui gaz mai mult sau mai puțin rarefiat sunt bombardate de electroni lenți. În acest caz, se studiază distribuția vitezelor electronilor înainte și după ciocniri. Dacă ciocnirile sunt elastice, atunci distribuția vitezei nu se modifică; și invers, în timpul ciocnirilor inelastice, unii dintre electroni își pierd energia, dând-o atomilor cu care s-au ciocnit, astfel că distribuția vitezelor se modifică.

Ca rezultat al experimentului Frank-Hertz, s-a constatat că:

la viteze ale electronilor care sunt mai mici decât o anumită viteză critică, ciocnirea este complet elastică, adică electronul nu își transferă energia atomului, ci sară de el, schimbând doar direcția vitezei sale;
la atingerea vitezei critice, impactul devine inelastic, adică electronul își pierde o parte din energia și o transferă atomului, care în acest caz trece într-o altă stare staționară, caracterizată de energie mai mare.

Exemple de aplicații

Proprietățile termice ale oscilatorului armonic

Oscilatorul armonic este cel mai simplu sistem al vechii teorii cuantice. Să scriem Hamiltonianul :

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.

Nivelurile de energie ale sistemului sunt determinate de orbitele de mișcare, iar orbitele sunt selectate după următoarea regulă cuantică: aria din spațiul de fază pe care o acoperă fiecare orbită trebuie să fie întreagă. Rezultă că energia este cuantificată conform regulii lui Planck:

E_n = n\hbar\omega,

rezultat cunoscut, conform căruia se formulează regula de cuantizare a vechii teorii cuantice. Trebuie remarcat faptul că acest rezultat diferă de cel actual prin , deoarece din mecanica cuantică se știe că nivelul zero pentru un oscilator armonic are energie . $\hbar \omega/2$ $\hbar \omega/2$

Mărimile termodinamice pentru un oscilator armonic cuantizat pot fi determinate prin mediarea energiei în fiecare dintre stările discrete:

U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT)) = {\hbar \omega e^{-\frac{\ hbar\omega}{kT}} \over 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},

unde este constanta Boltzmann , este temperatura absolută (care se măsoară în mai multe unități de energie naturală), este funcția de partiție . Este ușor de observat că la temperaturi foarte scăzute (adică atunci când valoarea este mare) energia medie a oscilatorului armonic foarte repede - exponențial - ajunge la zero. Motivul este că este energia caracteristică a mișcării arbitrare la o temperatură , iar dacă este mai mică de , nu este suficient să transferați cel puțin o cantitate de energie către oscilator. Prin urmare, oscilatorul armonic rămâne în starea fundamentală. $k$ $T$ $Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}$ $\beta = \frac{1}{kT}$ $U$ $kT$ $T$ $\hbar \omega$

Aceasta înseamnă că, la temperaturi foarte scăzute, modificarea energiei în raport cu (și, desigur, temperatură) este mică. Modificarea energiei în raport cu temperatura este capacitatea termică; prin urmare, capacitatea termică este mică la temperaturi scăzute, tinde spre zero ca $\beta$

e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.

La temperaturi ridicate (adică la temperaturi scăzute ), energia medie este de . Acest fapt este în concordanță cu legea de echipartiție a termodinamicii clasice: fiecare oscilator armonic la temperatură are o energie medie . Aceasta înseamnă că capacitatea termică a oscilatorului este constantă (în mecanica clasică) și egală cu constanta Boltzmann . Pentru un set de atomi legați prin arcuri (un model acceptabil al unui corp solid), capacitatea termică totală este , unde este numărul de oscilatoare. În general, fiecărui atom îi sunt alocate trei oscilatoare, ținând cont de trei direcții posibile de vibrații în trei dimensiuni. Prin urmare, capacitatea termică a unui solid clasic la o temperatură suficient de ridicată este egală cu un atom, sau per mol, legea Dulong-Petit . $\beta$ $U$ $kT$ $T$ $kT$ $k$ $Nk$ $N$ $3k$ $3R$

Solidele monoatomice la temperatura camerei au aproximativ aceeași capacitate termică per atom, dar nu este cazul la temperaturi scăzute. Pe măsură ce temperatura scade, capacitatea termică scade și ea și ajunge la zero la temperatura zero absolută. Acest fapt este confirmat pentru toate sistemele materiale și constituie a treia lege a termodinamicii . Mecanica clasică nu poate explica a treia lege a termodinamicii deoarece presupune că capacitatea termică nu depinde de temperatură. $3k$

Această contradicție între mecanica clasică și capacitatea de căldură a corpurilor reci a fost observată în secolul al XIX-lea de către Maxwell ; eliminarea acestei contradicții a fost o sarcină dificilă pentru cei care apărau teoria atomică a materiei. Albert Einstein a rezolvat această problemă în 1906 propunând ideea cuantificării mișcării atomice și formulând modelul Einstein , prima aplicare a teoriei cuantice la sistemele mecanice. Puțin mai târziu, Peter Debye a dezvoltat o teorie cantitativă mai precisă a capacității termice a solidelor bazată pe oscilatoare armonice cuantificate cu frecvențe diferite ( modelul Debye ).

Potențial unidimensional

Pentru orice energie E , puteți găsi cu ușurință impulsul p folosind legea conservării energiei :

p = \sqrt{2m ( E - V(q))}.

Această expresie integrează peste toate valorile lui q între punctele de cotitură clasice în care impulsul este zero.

Puț de potențial dreptunghiular

Cel mai simplu caz este o particulă dintr-un puț de potențial dreptunghiular de lungime L , pentru care condiția de cuantizare este următoarea:

2 \int_0^L p dq = nh,

de unde impulsul?

p = \frac{nh}{2L}.

Prin integrarea părții din dreapta a ecuației impulsului, nivelurile de energie pot fi găsite:

E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.

Potențial liniar

Să considerăm un alt potențial - liniar, care corespunde unei forțe constante F. Formularea mecanic-cuantică a acestei probleme este destul de complicată și, spre deosebire de cazurile considerate mai sus, rezultatul semiclasic nu este exact, ci doar tinde către el pe măsură ce numerele cuantice cresc. Avem:

2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,

care dă condiția de cuantizare:

{4\over 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\over F } = nh,

unde puteți determina nivelurile de energie:

E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.

Potențial cuadratic

Rezultatul semiclasic al acestei probleme coincide cu rezultatul mecanic cuantic în cazul calculării energiei stării fundamentale. Condiția de cuantificare va arăta astfel:

2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 kx^2\right) }\ dx = nh,

unde determinăm nivelurile de energie:

E = n \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m)) = n \hbar \omega,

unde este frecvența unghiulară. $\omega$

Rotator

Rotatorul constă dintr-un corp de masă M , care este fixat pe o tijă rigidă fără masă de lungime R și este descris de următorul Lagrangian bidimensional :

\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},

din care se poate exprima momentul unghiular , care depinde de unghiul polar : $L$ $\varphi$

L = MR^2\dot\varphi.

Vechea teorie cuantică cere ca momentul unghiular să fie cuantificat:

L = n\hbar.

În modelul Bohr, o astfel de condiție de cuantizare, care este impusă pe orbite circulare, este suficientă pentru a determina spectrul de energie.

Un rotator rigid tridimensional este descris de două unghiuri θ și φ ale sistemului de coordonate sferice în raport cu o axă Oz aleasă în mod arbitrar. Din nou, doar energia cinetică intră în Lagrangian:

\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \dot\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\dot\varphi \sin\theta)^2}{2},

Impulsurile canonice vor avea forma:

p_{\theta} = \dot\theta,

p_{\varphi} = \dot\varphi \sin^2\theta.

Ecuația pentru φ este trivială, este o constantă: $p_{\varphi}$

p_{\varphi} = l_{\varphi},

care este egală cu componenta z a momentului unghiular. În plus, din condiția de cuantizare rezultă că, după integrarea peste unghiul φ de la 0 la 2π :

l_{\varphi} = m\hbar,

unde m este așa-numitul număr cuantic magnetic. Numele provine de la faptul că componenta z a momentului unghiular este egală cu momentul magnetic al rotatorului de-a lungul axei Oz (evident, dacă particula de la capătul rotatorului este încărcată).

Momentul unghiular total al unui rotator tridimensional este cuantificat în mod similar cu cel bidimensional. Două condiții de cuantificare determină valori arbitrare ale momentului unghiular total și ale componentei sale z folosind numerele cuantice l , m . Aceste condiții sunt prezente și în mecanica cuantică, dar la momentul dominației vechii teorii cuantice, nu era clar cum putea fi cuantificată orientarea momentului unghiular față de o axă Oz aleasă în mod arbitrar. Se părea că de aici ar fi trebuit să decurgă existența unei direcții distincte în spațiu.

Acest fenomen a fost numit cuantizare spațială , dar părea a fi incompatibil cu izotropia spațiului. În mecanica cuantică, momentul unghiular este cuantificat în același mod, dar stările sale discrete de-a lungul unei axe sunt o suprapunere a stărilor de-a lungul celorlalte axe, astfel încât nu apare nicio direcție specială în spațiu în timpul procesului de cuantizare. Prin urmare, acum termenul „ cuantificare spațială ” nu este folosit, ci în schimb termenul „ cuantificare a momentului unghiular ” este folosit.

Atom de hidrogen

Partea unghiulară a atomului de hidrogen este un rotator, care este caracterizat prin numere cuantice l , m . Doar coordonata radială rămâne necunoscută, care este dată de mișcarea periodică unidimensională.

Pentru o valoare fixă a momentului unghiular total L , funcția Hamilton a problemei Kepler clasice are forma (aici variabilele sunt alese astfel încât masa și energia să devină adimensionale):

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.

Fixând energia ca o constantă (negativă) și rezolvând ecuația rezultată pentru impulsul p , avem condiția de cuantizare:

2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,

care determină noul număr cuantic k , care împreună cu numărul l determină nivelurile de energie:

E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.

Este ușor de observat că energia depinde de suma numerelor cuantice k și l , care poate fi notat ca un alt număr cuantic n , care se numește număr cuantic principal . Dacă k este nenegativ, atunci valorile permise ale numărului l pentru un n dat nu pot fi mai mari decât valoarea dată n .

Acest model semiclasic al atomului de hidrogen se numește modelul Sommerfeld, iar orbitele electronilor din el sunt elipse. Modelul lui Sommerfeld a prezis faptul că momentul magnetic al unui atom, care este măsurat de-a lungul unei axe, ar avea doar valori discrete. Acest rezultat părea să contrazică izotropia spațiului, dar a fost confirmat de experimentul Stern-Gerlach . Teoria Bohr-Sommerfeld a fost una dintre cele mai importante etape în dezvoltarea mecanicii cuantice, deoarece a descris posibilitatea divizării nivelurilor de energie ale unui atom într-un câmp magnetic , adică a explicat efectul Zeeman .

Orbită relativistă (problema Kepleriană)

Soluția relativistă pentru nivelurile de energie ale atomului a fost găsită de Arnold Sommerfeld [2] . Să scriem ecuația relativistă pentru energia cu potențial electrostatic :

E = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{ r}

și faceți înlocuirea : $u = \frac{1}{r}$

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{ m_0 c^2} u.

Să scriem expresiile pentru impulsuri:

p_r = m\punct r,

p_{\varphi} = mr^2 \dot \varphi,

atunci raportul lor va fi , iar de aici se poate obține ecuația mișcării ( ecuația lui Binet ): $\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}$

\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi }^2} \right) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,

a cărui soluție arată astfel:

u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.

Deplasarea unghiulară a periapsisului într-o perioadă este

\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).

Condițiile de cuantificare în cazul nostru vor arăta astfel:

\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,

\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,

unde puteți calcula nivelurile de energie:

\frac{E_{n_r, n_{\varphi))}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^ 2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \right) ^{-1/2} - 1,

unde este constanta structurii fine . Acest rezultat coincide cu soluția ecuației lui Dirac [10] . În plus, dacă facem înlocuirea numerelor cuantice și , atunci formula rezultată va coincide cu soluția exactă a ecuației Klein-Gordon [11] . $\alpha = \frac{2\pike^2}{hc}$ $n_r \to n_r + 1/2$ $n_{\varphi} \to l + 1/2$

Valuri De Broglie

În 1905, Einstein a observat că entropia unui câmp electromagnetic într-o cutie, care conform lui Planck este reprezentată de oscilatoare armonice cuantificate, în cazul undelor scurte este egală cu entropia unui gaz de particule punctiforme din aceeași cutie, și numărul de particule este egal cu numărul de cuante. Prin urmare, Einstein a ajuns la concluzia că cuantica poate fi interpretată ca o particulă localizată [12] , o particulă de lumină - un foton .

Argumentul lui Einstein se baza pe termodinamică, pe numărarea numărului de stări, deci era destul de neconvingător. În ciuda acestui fapt, el a înaintat ipoteza că lumina are proprietăți atât de undă, cât și de particule, mai precis, că este o undă electromagnetică staționară cu o frecvență și energie cuantificată: $\omega$

E = n\hbar\omega,

care poate fi reprezentat ca n fotoni cu energii . Dar Einstein nu a putut explica modul în care fotonii sunt legați de o undă. $\hbar \omega$

Fotonii au energie și impuls egale cu , unde este vectorul de undă al unei unde electromagnetice. Acest lucru este cerut de teoria relativității , conform căreia impulsul și energia formează un vector 4 , la fel ca frecvența cu vectorul de undă. $\hbar \mathbf {k}$ $\mathbf {k}$

În 1924, Louis de Broglie a emis ipoteza că materia, în special un electron, este similară cu un foton, descris de o undă care satisface următoarea relație:

p = \hbar k,

sau, scriind numărul de undă în termeni de lungime de undă , $k$ $\lambda$

p = \frac{h}{\lambda}.

Apoi a observat că condiția de cuantizare

\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n

determină schimbarea de fază a undei pe măsură ce se deplasează de-a lungul orbitei clasice. Prin urmare, pentru interferența constructivă, numărul de lungimi de undă care se potrivesc pe o orbită clasică trebuie să fie un întreg. Această condiție explică faptul că orbitele trebuie cuantificate: undele de materie formează unde staționare doar la anumite frecvențe și energii discrete.

De exemplu, pentru o particulă plasată într-o cutie, unda staționară trebuie să se potrivească cu un număr întreg de lungimi de undă între pereții cutiei. Atunci condiția de cuantizare are forma:

n \lambda = 2L,

deci impulsul este cuantificat astfel:

p = \frac{nh}{2L},

determinând astfel nivelurile de energie.

Einstein a dezvoltat această ipoteză în continuare și i-a dat o formă mai riguroasă din punct de vedere matematic, observând că funcția de fază pentru unde într-un sistem mecanic ar trebui identificată cu soluția ecuației Hamilton-Jacobi . Mai târziu, pe baza acestor idei , Schrödinger și-a propus ecuația mecanică cuantică , punând astfel bazele mecanicii ondulatorii.

Matricea de tranziție a lui Kramers

Vechea teorie cuantică a fost formulată doar pentru o anumită clasă de sisteme mecanice. De exemplu, ea nu a lucrat cu absorbția și emisia de radiații. Dar Hendrik Kramers a încercat să găsească reguli după care absorbția și emisia pot fi calculate [13] [14] [15] .

Kramers a admis că orbita unui sistem cuantic poate fi extinsă într- o serie Fourier în termeni de armonici cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței orbitei: $\omega$

X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.

Aici, indicele n se referă la mulțimea de numere cuantice care caracterizează orbita și trebuie să se potrivească cu mulțimea n , l , m a modelului Sommerfeld. Frecvența este frecvența unghiulară a orbitei, k este indicele componentei Fourier. Bohr a presupus că k - a armonică a mișcării clasice corespunde trecerii de la nivelul n la nivelul n − k . $\omega = 2\pi / T_n$

Kramers credea că tranziția între stări este similară cu emisia clasică de radiații, care are loc la frecvențe care sunt multiple ale frecvențelor orbitale. Intensitatea radiației va fi proporțională cu , așa cum ar trebui să fie în mecanica clasică. Dar o astfel de descriere este inexactă dacă frecvențele componentelor Fourier nu corespund exact energiilor de tranziție dintre niveluri. $|X_k|^2$

Mai târziu, aceste idei au fost dezvoltate de Heisenberg , Born și Jordan [16] [17] [18] , ceea ce a dus la apariția mecanicii matriceale .

Limitările vechii teorii cuantice

Vechea teorie cuantică și, în special, modelul Bohr au fost un pas important în dezvoltarea teoriei structurii atomului. La începutul secolului al XX-lea, când aplicarea ipotezelor cuantice era mai mult o artă decât o știință, succesele vechii teorii cuantice au făcut o impresie profundă. Ea a arătat inaplicabilitatea fizicii clasice la fenomenele intra-atomice și marea importanță a legilor cuantice la nivel microscopic. Dar vechea teorie cuantică este doar o etapă de tranziție către crearea unei teorii consistente a fenomenelor atomice, deoarece doar o gamă limitată de probleme pot fi rezolvate în cadrul ei. Principalele motive ale crizei vechii teorii cuantice, care au dus la necesitatea construirii unei noi mecanici cuantice, au fost [19] :

inconsecvență logică internă: teoria nu este nici cuantică, nici clasică;
incapacitatea de a explica efectul anormal Zeeman ;
imposibilitatea calculării intensității liniilor spectrale;
imposibilitatea de a construi o teorie a unui atom multi-electron (în special, un atom de heliu ).

Mai târziu a devenit clar că vechea teorie cuantică este de fapt o aproximare semiclasică a ecuației Schrödinger [20] .

Vezi și

Note

↑ Tipler, Llewellyn, 2007 .
↑ 1 2 Sommerfeld, 1956 .
↑ Planck, 1900 , p. 237.
↑ 1 2 Planck, 1901 , p. 553.
↑ Dirac, 1927 , p. 621-641.
↑ Landau, Lifshitz, 2008 , p. 210.
↑ Strutt, 1900 , p. 539-540.
↑ Blugi, 1905 , p. 545-552.
↑ Franck, Hertz, 1914 , p. 457-467.
↑ Granovsky, 2004 , p. 577-578.
↑ Vakarchuk, 2012 .
↑ Einstein, 1905 , p. 132.
↑ Kramers, 1919 .
↑ Kramers, 1920 , p. 199-223.
↑ Kramers, 1924 , p. 673-674.
↑ Heisenberg, 1925 , p. 879-893.
↑ Născut, Iordania, 1925 , p. 858-888.
↑ Heisenberg, Născut, Iordania, 1926 , p. 557-615.
↑ Shpolsky, 1974 .
↑ Landau, Lifshitz, 2008 .

Literatură

Tipler P. A., Llewellyn R. A. Fizica modernă. - M . : Mir, 2007. - T. 1. - 496 p.
Sommerfeld A. Structura atomului și spectrelor. — M. : GITTL, 1956. — 592+696 p.
Planck M. Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum // Verhandl. Deutsch. fiz. Ges. - 1900. - T. 2.(Traducere rusă: Plank M. Despre teoria distribuției energiei radiației normale de spectru // Lucrări alese. - M . : Nauka, 1975. - 788 p.).
Planck M. Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum // Ann. fizica . - 1901. - T. 4.(Traducere rusă: Plank M. Despre legea distribuției energiei în spectrul normal // Lucrări alese. - M . : Nauka, 1975. - 788 p.).
Dirac PAM Interpretarea fizică a dinamicii cuantice // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1927. - Vol. 113.(Traducere rusă: Dirac P. A. M. Physical interpretation of quantum dynamics // Culegere de lucrări științifice. - M . : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 848 p.).
Strutt JW (Rayleigh). Observații asupra legii radiației complete // Phil. Mag. - 1900. - Vol. 49.
Jeans JH Despre legile radiatiilor // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1905. - Vol. 76.
Franck J. , Hertz GL Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verh. Dtsch. Fiz. Ges. - 1914. - Vol. 16.
Formula lui Granovsky Ya. I. Sommerfeld și teoria lui Dirac . - UFN, 2004. - V. 174, nr. 5.
Vakarchuk I. O. Mecanica cuantică. - ediția a IV-a, suplimentară. — L. : LNU im. Ivan Franko , 2012. - 872 p.
Einstein A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Ann. fizica . - 1905. - (Bd. 17, Nr. 6). (Traducere rusă: Einstein A. Dintr-un punct de vedere euristic privind apariția și transformarea luminii // Culegere de lucrări științifice. - M . : Nauka, 1966. - T. 3. - 632 p.).
Kramers HA Intensitățile liniilor spectrale. Despre aplicarea teoriei cuantice la problema intensităților relative ale componentelor structurii fine și a efectului puternic al liniilor spectrului de hidrogen // Roy. Academia Daneză. - 1919. - 287 p.
Kramers HA Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien // Zs. Fiz. - 1920. - (Bd. 3).
Kramers HA Legea dispersiei și teoria spectrelor lui Bohr // Natura. - 1924. - Vol. 113.
Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zs. Fiz. - 1925. - (Bd. 33). (Traducere rusă: Heisenberg V. Despre interpretarea teoretică cuantică a relațiilor cinematice și mecanice // Lucrări alese (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Născut M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik // Zs. Fiz. - 1925. - (Bd. 34). (Traducere în limba rusă: Born M. , Jordan P. To quantum mechanics // Lucrări alese (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Heisenberg W. , Born M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik. II // Zs. Fiz. - 1926. - (Bd. 35). (Traducere în limba rusă: Heisenberg V. , Born M. , Jordan P. La mecanica cuantică. II // Lucrări alese (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 p.).
Shpolsky E. Fizica atomică. - M. : Nauka, 1974. - T. 1. - 576 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecanica cuantică. Teorie nonrelativistă // Fizica teoretică. - M. : Fizmatlit, 2008. - T. 3. - 800 p.
ter Haar D . Vechea teorie cuantică. - Pergamon Press, 1967. - 206 p.
Tomonaga S. Mecanica cuantică. - Olanda de Nord, 1962. - Vol. 1: Vechea teorie cuantică. — 313 p.
Ponomarev L. I. Sub semnul cuanticului. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 416 p. — ISBN 5-9221-0653-8 .
Spassky B. I. Istoria fizicii. - M .: Şcoala superioară , 1977.

Volumul 1: partea 1 , partea 2 .
Volumul 2: partea 1 , partea 2 .

Kudryavtsev PS Curs de istoria fizicii . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M . : Educaţie , 1982. - 448 p.
Danin D.S. Inevitabilitatea unei lumi ciudate. — 1961.