Дзета -функция римана

Дзе́́а -ф́́ция ри́́аана-функция ком acексного переямая с помощщююююю ряда дириха decât сомомощщюююю ряда дирихахlic : $\ displaystyle \ zeta (s)$ ${\ displaystyle s = \ sigma +it}$ $\ sigma> 1$

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {1^{s}}}+{\ frac {1} {2^{s}}}+{\ frac {1} {3^{s }}}+\ ldots.}

В комплексной полуплоскости ${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {c} \ mid \ operatoname {re} s> 1 \}}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией от $s$ и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки ${\ displaystyle s = 1}$ .

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах , опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, udибо ложныыи. ${\ displaystyle \ operatoname {re} s = 1/2}$

В области ${\ displaystyle \ {s \ mid \ operatoname {re} s> 1 \}}$ также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {{\ text {число}} p \ atop {\ text {простое}}} {\ frac {1} {1-p^{-s}}}.}

Dovada

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена , из которого мы можем извлечь пользу:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

{\ displaystyle \ left (1-{\ frac {1} {2^{s}}} \ dreapta) \ zeta (s) = 1+{\ frac {1} {3^{s}}}+{\ frac {1} {5^{s}}}+{\ frac {1} {7^{s}}}+{\ frac {1} {9^{s}}}+{\ frac {1} { 11^{s}}}+{\ frac {1} {13^{s}}}+\ ldots}

Повторяеivers для следprezeющего:

{\ displaystyle {\ frac {1} {3^{s}}} \ left (1-{\ frac {1} {2^{s}}} \ dreapta) \ zeta (s) = {\ frac {1 } {3^{s}}}+{\ frac {1} {9^{s}}}+{\ frac {1} {15^{s}}}+{\ frac {1} {21^{ s}}}+{\ frac {1} {27^{s}}}+{\ frac {1} {33^{s}}}+\ ldots}

Опять ыч vedere

{\ displaystyle \ left (1-{\ frac {1} {3^{s}}} \ dreapta) \ stânga (1-{\ frac {1} {2^{s}}} \ dreapta) \ zeta ( s) = 1+{\ frac {1} {5^{s}}}+{\ frac {1} {7^{s}}}+{\ frac {1} {11^{s}}}+ {\ frac {1} {13^{s}}}+{\ frac {1} {17^{s}}}+\ ldots,}

где ualаалены ве элементы с делителяapă э и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето.

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ stânga(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1.

Поделим обе стороны на всё, кроме , получим: $\ zeta (s)$

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ left (1-{\ dfrac {1} {2^{s}}} \ dreapta) \ stânga (1-{\ dfrac {1} { 3^{s}}} \ dreapta) \ stânga (1-{\ dfrac {1} {5^{s}}} \ dreapta) \ stânga (1-{\ dfrac {1} {7^{s}} } \ dreapta) \ stânga (1-{\ dfrac {1} {11^{s}}} \ dreapta) \ ldots}},}

что можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p :

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p^{-s}}}.}

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда ${\ displaystyle \ operatoname {re} s> 1}$ , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для $\ zeta (s)$ .

Это равенство представляет собой одно из основных сойств ззета -фуции.

Proprietăți

Если ззять аси Comp este ${\ displaystyle {n \ rightarrow +\ infty}}$ ${\ displaystyle \ sum \ limite _ {n = 1}^{n} {\ frac {1} {n^{s}}} = \ zeta (s)+{\ frac {1} {1-s}} N^{1-s}+{\ frac {1} {2}} n^{-s}-{\ frac {1} {12}} sn^{-1-s}+\ dots}$ ,

справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых (это тринется верной и для всех ). ${\ displaystyle {\ rm {re}} \, s> 1}$ $s$ ${\ displaystyle 2-s \ in {\ mathbb {n}}}$ $\ zeta (s)$

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ lim \ limite _ {n \ dreapta +\ infty} \ left (\ sum \ limite _ {n = 1}^{n} {\ frac {1} {n^{s }}}-{\ frac {n^{1-s}} {1-s}} \ dreapta)}$ , при , кроме ; ${\ displaystyle {\ rm {re}} \, s> 0}$ $S = 1$
${\ displaystyle \ zeta (s) = \ lim \ limite _ {n \ dreapta +\ infty} \ left (\ sum \ limite _ {n = 1}^{n} {\ frac {1} {n^{s }}}-{\ frac {n^{1-s}} {1-s}}-{\ frac {1} {2}} n^{-s} \ dreapta)}$ , при , кроме или ; ${\ displaystyle {\ rm {re}} \, s> -1}$ $S = 1$ $0$
${\ displaystyle \ zeta (s) = \ lim \ limite _ {n \ dreapta +\ infty} \ left (\ sum \ limite _ {n = 1}^{n} {\ frac {1} {n^{s }}}-{\ frac {n^{1-s}} {1-s}}-{\ frac {1} {2}} n^{-s}+{\ frac {1} {12}} sn^{-1-s} \ dreapta)}$ , при , кроя ; д. ${\ displaystyle {\ rm {re}} \, s> -2}$ $S = 1$ $0$ $-unu$

Există formule explicite pentru valorile funcției zeta la puncte întregi par: ${\ displaystyle \ zeta (2m) = (-1)^{m+1} {\ frac {(2 \ pi)^{2m}} {2 (2m)!}} b_ {2m}}$ , где - число бернționționar . $\ displaystyle b _ {{2m}}$

Вастности, ( ряд обратных квадраvenо ),

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^{2}} {6}}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Кроме того, получено значение , где - полига dejaма -фуция ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными , но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) ( Роже Апери , 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное [1] .
La $\ operatoname {re} \, s> 1$
- ${\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}}$ , где - фualцция ёбиуса $\ displaystyle \ mu (n)$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n^{s }}}}$ , где - функция лиувилck ${\ displaystyle \ displaystyle \ lambda (n)}$
- $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , где - число делителей числа $\ displaystyle \ tau (n)$ $\ displaystyle n$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n^ {s}}}}$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta^{2} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {2^{\ nu (n )}} {n^{s}}}}$ , unde este numărul de divizori primi ai numărului $\ displaystyle \ nu (n)$ $\ displaystyle n$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta^{3} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ tau (n^{2 })} {n^{s}}}}$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^{4} (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {n = 1} ^{\ infty} {\ frac {(\ tau (n)) ^{2}} {n^{s}}}}$
La $\operatorname {Re} \,s>2$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n^ {s}}}}$ , где - фualцция эйлера ${\ displaystyle \ displaystyle \ varphi (n)}$
$\ displaystyle \ zeta (s)$ имеет в точке пoростой полюс ыч ычетом , равныы 1. $\ displaystyle s = 1$
Дзета -функция при удовлетв dispoziția $\ displaystyle s \ neq 0, s \ neq 1$ $K$ ,

где

\displaystyle \gamma (z)

— гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].

Для фualцции $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zeta(e)$ ,

введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана , это уравнение приние при:

\ displaystyle \ zeta (s)

\ displaystyle \ \ xi (s) = \ xi (1-s)

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имет лихтионального уравнения Римана , в полуплоскости функция имет лихтионального Как следует из функционального уравнения Римана . Далее , при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой . $\ operatoname {re} \, s <0$ $\ zeta (s)$ $0 = \ zeta (-2) = \ zeta (-4) = \ zeta (-6) = \ puncte$ $\ zeta (s) \ neq 0$ $s\în(0,1)$ $\ Operatoname {re} \, s = {\ frac {1} {2}}$ $0 \ leqslant \ operatoname {re} \, s \ leqslant 1$ $\ Operatoname {re} \, s = {\ frac {1} {2}}$

Из формулы , где - число бернуționn , получаем, ччо . $2 \ zeta (2m) = (-1)^{m+1} {\ frac {(2 \ pi)^{2m}} {(2m)!}} B_ {2m}$ $\ displaystyle b _ {{2m}}$ ${\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^{2}} {6}}}$

Ниже приведены друnțeгие ряды, сizieм sep ${\ displaystyle \ zeta (2)}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ zeta (2) & = 3 \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {k^{2} {\ binom {2k} {k }}}} \\\ end {aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ zeta (2) & = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ sum _ {j = 1}^{\ infty} {\ frac {(i-1 )! (j-1)!} {(i+j)!}} \ end {aligned}}}

Существуют также представления для вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа , позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -й знак его записи без вычисления предыдущих [3] : ${\ displaystyle \ zeta (2)}$ $k$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ zeta (2) = {\ frac {27} {4}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {64^{k} }} \ left [{\ frac {16} {(6k+1)^{2}}}-{\ frac {24} {(6k+2)^{2}}}-{\ frac {8} { (6k+3)^{2}}}-{\ frac {6} {(6k+4)^{2}}}+{\ frac {1} {(6k+5)^{2}}} \ dreapta] \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ zeta (2) = {\ frac {4} {9}} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {729^{k} }} \ left [{\ frac {243} {(12k+1)^{2}}}-{\ frac {405} {(12k+2)^{2}}}-{\ frac {81} { (12k+4)^{4}}}-{\ frac {27} {(12k+5)^{2}}}-\ dreapta. \\-\ stânga. {\ Frac {72} {(12k+ 6)^{2}}}-{\ frac {9} {(12k+7)^{2}}}-{\ frac {9} {(12k+8)^{2}}}-{\ frac {5} {(12k+10)^{2}}}+{\ frac {1} {(12k+11)^{2}}} \ dreapta] \ end {aligned}}}

Ниже приведены формулы для с участием интегралов , полученные с использованием дзента-фи [] 4 [] [ ] ${\ displaystyle \ zeta (2)}$

{\begin{aliniat}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aliniat}}

Некоторые из представлений в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность. ${\ displaystyle \ zeta (2)}$ $\zeta (3)$

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ cfrac {2} {1+{\ cfrac {1^{4}} {3+{\ cfrac {2^{4}} {5+{\ cfrac {3^ {4}} {7+{\ cfrac {\ dots} {\ dots+{\ cfrac {n^{4}} {(2n-1)+\ dots}}}}}}}}}}}}}}

[7]

{\ displaystyle \ zeta (2) = 1+{\ cfrac {1} {1+{\ cfrac {1^{2}} {1+{\ cfrac {1 \ cdot 2} {1+{\ cfrac {2 K {2}} {1+{\ cfrac {n \ cdot (n+1)} {1+ \ dots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ cfrac {5} {3+{\ cfrac {1^{4}} {25+{\ cfrac {2^{4}} {69+{\ cfrac {3^ {4}} {135+{\ cfrac {\ dots} {\ dots+{\ cfrac {n^{4}} {(11n^{2} -11n+3)+\ dots}}}}}}} }}}}}}

[opt]

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {5} {3}}+{\ cfrac {1} {25+{\ cfrac {1^{4}} {69+{\ cfrac {2^{4 }} {135+{\ cfrac {3^{4}} {223+{\ cfrac {\ dots} {\ dots+{\ cfrac {n^{4}} {(11n^{2}+11n+3 )+\ dots}}}}}}}}}}}}}

[9]

Una dintre cele mai scurte reprezentări este că obținem asta , unde este funcția poligamma . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ ${\ displaystyle \ zeta (3) \ aprox 1.202056903159594285399738161511449907649862923404988817922715553 ...}$ $\psi$

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS ) выглядит следующит следующим обмость:

{\ displaystyle \ zeta (3) = [1; 4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,1,1,7, 11,1,1,1, \ cdots] =}

{\ displaystyle = 1+{\ cfrac {1} {4+{\ cfrac {1} {1+{\ cfrac {1} {18+{\ cfrac {1} {1+ \ ldots}}}}}} }} \;}

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

{\ displaystyle \ zeta (3) = 1+{\ cfrac {1} {4+{\ cfrac {1^{3}} {1+{\ cfrac {1^{3}} {12+{\ cfrac { 2^{3}} {1+{\ cfrac {2^{3}} {20+{\ cfrac {3^{3}} {1+{\ cfrac {3^{3}} {28+{\ cfrac {\ dots} {\ dots+{\ cfrac {n^{3}} {1+{\ cfrac {n^{3}} {4 (2n+1)+\ dots}}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Она может ыыть преобразована к виду:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi a reușit să accelereze convergența fracției continue pentru o constantă:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

Из формулы , где - число бернуționn , получаем, ччо . $2 \ zeta (2m) = (-1)^{m+1} {\ frac {(2 \ pi)^{2m}} {(2m)!}} B_ {2m}$ $\ displaystyle b _ {{2m}}$ ${\ displaystyle \ zeta (4) = {\ frac {\ pi ^{4}} {90}}}$

Una dintre cele mai scurte reprezentări este că obținem asta , unde este funcția poligamma . ${\ displaystyle \ zeta (5) =-{\ frac {\ psi ^{(4)} (1)} {24}}}$ ${\ displaystyle \ zeta (5) \ aprox 1.036927551433699263313654864570341680570809195019128119741926779 ...}$ $\psi$

De exemplu:

Дзета-функция Гурвица : $\ zeta (s, q) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} (k+q)^{-s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а 1 не ).

Полилогарифм : $\ Mathrm {li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {z^{k} \ peste k^{s}},$

care este aceeași cu funcția zeta Riemann la z = 1.

Дзета-функция Лерха : $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

care coincide cu funcția Riemann Zeta la z = 1 și q = 1 (deoarece însumarea este de la 0, nu de la 1).

Квантовый аналог ( q -аналог).

Una dintre abordările soluției sale este introducerea funcției Zeta a operatorului [11] . Fie un operator de autoadjuncție definit negativ , care are un spectru pur discret . Mai mult, există un număr real , astfel încât operatorul să aibă o urmă . $A$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$ $\ alpha> 0$ $(I+a)^{-\ alpha}$ $\ zeta _ {a} (s)$ $A$ $s$ $\ Mathrm {re} s> \ alpha$

\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой $S = 0$ $A$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Istorie

Ca funcție a unei variabile reale, funcția Zeta a fost introdusă în 1737 de Euler , care a indicat descompunerea sa într -un produs.

Vezi și

Список всех дзета-функций

Note

↑ зудилин в. В. Оstit ianuarie _ _ - 2001. - т . 56 , № 2 (338) . — С. 215–216 .
— 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \ Zeta (2) . MathWorld . Дата обращения: 29 august 2018. архивировано 29 august 2018 года. (nedefinit)
↑ Connon DF, Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Double Integral . MathWorld . Дата обращения: 29 august 2018. архивировано 29 august 2018 года. (nedefinit)
↑ Weisstein, formula lui Eric W. Hadjicostas . MathWorld . Дата обращения: 29 august 2018. архивировано 29 august 2018 года. (nedefinit)
↑ 12 Steven R. Finch Constante matematice 1.4.4 . Preluat la 10 august 2020. Arhivat din original la 28 noiembrie 2020. (nedefinit)
↑ Fracții continue pentru Zeta (2) și Zeta (3) . TPIEZAS: O colecție de identități algebice . Дата обращения: 29 august 2018. архивировано 29 august 2018 года. (nedefinit)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), O dovadă că Euler a ratat... Demonstrația lui Apéry a iraționalității lui ζ (3) , The Mathematical Intelligencer Т.
↑ Steven R. Finch Constante matematice 1.6.6 . Дата обращения: 10 авгaliza 2020. архивировано 28 ноября 2020 года. (nedefinit)
↑ тахтаджян, 2011 , с. 348.

Literatură

.
- Ed. al 2-lea.
Yanke E., Emde F., Losh F. Funcții speciale: formule, grafice, tabele / per. din a 6 -a ediție germană revizuită, ed. L. I. Sedova. - Ed. al treilea, stereotip. - m .: Nauka, 1977. - 344 p.

Link -uri

Jonathan Sondow și Eric W. Weisstein. Funcția Riemann Zeta (ан§) на сайте Wolfram Mathworld .