Aperi constantă

Numere iraționale ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π și π

Constanta lui Apéry ( ing. Constanta lui Apéry , fr. Constante d'Apéry ) este un număr real , notat (uneori ), care este egal cu suma numerelor întregi pozitive reciproce cuburilor și , prin urmare, este o valoare particulară a lui Riemann functia zeta : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\puncte

Valoarea numerică a constantei este exprimată ca o fracție zecimală neperiodică infinită [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1.202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Numit după Roger Apéry , care a demonstrat în 1978 că este un număr irațional ( teorema lui Apéry [3] [4] ). Dovada inițială a fost de natură tehnică complexă, ulterior a fost găsită o versiune simplă a demonstrației folosind polinoamele Legendre . Nu se știe dacă constanta lui Apéry este un număr transcendental . $\zeta (3)$

Această constantă a atras mult timp interesul matematicienilor - încă din 1735, Leonhard Euler [5] [6] a calculat-o cu o precizie de până la 16 cifre semnificative (1,202056903159594).

Aplicații în matematică și fizică

În matematică, constanta lui Apéry apare în multe aplicații. În special, reciproca lui , dă probabilitatea ca oricare trei numere întregi pozitive alese aleatoriu să fie coprime , în sensul că pentru , probabilitatea ca trei numere întregi pozitive mai mici decât (și alese aleatoriu) să fie coprime.simple, tinde la . $\zeta (3)$ $N\la \infty$ ${\textstyle {N}}$ $1/\zeta (3)$

Constanta lui Apéry apare în mod natural într-o serie de probleme din fizică, inclusiv corecții de ordinul doi (și superior) la momentul magnetic anormal al unui electron în electrodinamica cuantică . De exemplu, rezultatul diagramei Feynman cu două bucle , prezentat în figură, oferă (aici, se presupune integrarea 4-dimensională asupra momentului buclelor interne care conțin numai particule virtuale fără masă , precum și normalizarea corespunzătoare, inclusiv gradul de impuls al particulei exterioare ). Un alt exemplu este modelul bidimensional Debye . $6\zeta (3)$ $k$

Relația cu alte funcții

Constanta lui Apéry este legată de valoarea particulară a funcției poligame de ordinul doi:

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

și apare în expansiunea seriei Taylor a funcției gamma :

\Gamma (1+\varepsilon)=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]

unde contribuțiile care conțin constanta Euler-Mascheroni sunt factorizate sub forma . $e^{{-\gamma \varepsilon }}$ ${\textstyle {\gamma )}$

Constanta lui Apéry este, de asemenea, legată de valorile trilogaritmului (un caz special al polilogaritmului ): $\mathrm {Li} _{3}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$

\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Reprezentări în rânduri

Alte serii ai căror termeni sunt inversi cuburilor numerelor naturale sunt, de asemenea, exprimate în termenii constantei lui Apéry:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}} -{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\dreapta)

Alte rezultate binecunoscute sunt suma unei serii care conține numere armonice : ${\textstyle {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

și dublați suma:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{jk(j+k)}}

Pentru a demonstra iraționalitatea , Roger Apéry [3] a folosit reprezentarea: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

unde este coeficientul binom . ${\textstyle {{\binom {2k}{k)}}={\frac {(2k)!}{k!^{2)))}$

În 1773, Leonhard Euler [7] a oferit o reprezentare sub forma unei serii [8] (care a fost ulterior redescoperită de mai multe ori în alte lucrări):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]

în care valorile funcției zeta Riemann a argumentelor pare pot fi reprezentate ca , unde sunt numerele Bernoulli . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\textstyle {B_{{2k))))$

Ramanujan a oferit mai multe reprezentări de serie, care sunt remarcabile prin faptul că oferă câteva cifre semnificative noi la fiecare iterație. Acestea includ [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff a primit rânduri de alt tip [10]

\zeta (3)=14\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac {7}{2}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

precum şi reprezentări similare pentru alte constante . $\zeta(2n+1)$

Au fost obținute și alte reprezentări de serie, printre care:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^ {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\right)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\ ,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left (1+4\,k\dreapta)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250k+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Unele dintre aceste reprezentări au fost folosite pentru a calcula constanta lui Apéry cu multe milioane de cifre semnificative.

În 1998, a fost obținută o reprezentare sub formă de serie [11] , care face posibilă calcularea unui bit arbitrar al constantei Apéry.

Reprezentări sub formă de integrale

Există, de asemenea, un număr mare de reprezentări integrale diferite pentru constanta Apéry, pornind de la formule triviale precum

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

pornind de la cele mai simple definiții integrale ale funcției zeta Riemann [12] , până la cele destul de complexe, precum

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2))\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Iaroslav Blagushin [15] ).

Fracții continuate

Fracția continuă pentru constanta lui Apéry (secvența A013631 în OEIS ) este următoarea:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots )))))) }}\;

Prima fracție continuă generalizată pentru constanta Apéry, care are o regularitate, a fost descoperită independent de Stieltjes și Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Poate fi convertit în:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\puncte }}}}}}}}}}}}}}}}

Aperi a reușit să accelereze convergența fracției continue pentru o constantă:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\puncte }}}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Calcularea cifrelor zecimale

Numărul de cifre semnificative cunoscute ale constantei lui Apéry a crescut semnificativ în ultimele decenii, datorită atât puterii computerului crescute, cât și algoritmilor îmbunătățiți [18] . $\zeta (3)$

Numărul de cifre semnificative cunoscute ale constantei Apéry

\zeta (3)

data	Numărul de cifre semnificative	Autorii de calcul
1735	16	Leonhard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Stiltjes
1996	520 000	Greg J. Fee și Simon Plouffe
1997	1.000.000	Bruno Haible și Thomas Papanikolaou
1997 mai	10 536 006	Patrick Demichel
februarie 1998	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998 martie	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998 iulie	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998 decembrie	128 000 026	Sebastian Wedeniwski [19]
2001, septembrie	200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
februarie 2002	600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
februarie 2003	1.000.000.000	Patrick Demichel și Xavier Gourdon
aprilie 2006	10.000.000.000	Shigeru Kondo și Steve Pagliarulo [20]
ianuarie 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee și Raymond Chan [21]
martie 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee și Raymond Chan [21]
septembrie 2010	100.000.001.000	Alexander J Yee [22]
Septembrie 2013	200 000 001 000	Robert J. Setty [22]
august 2015	250.000.000.000	Ron Watkins [22]
decembrie 2015	400.000.000.000	Dipanjan Nag [22]
august 2017	500.000.000.000	Ron Watkins [22]
mai 2019	1.000.000.000.000	Ian Cutress [22]
iulie 2020	1 200 000 000 000	Seungmin Kim [23]

Alte valori ale funcției zeta la puncte impare

Există multe studii dedicate altor valori ale funcției zeta Riemann în puncte impare la . În special, lucrările lui Vadim Zudilin și Tangay Rivoal arată că un set infinit de numere este irațional [24] , și că cel puțin unul dintre numere , , , sau este irațional [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ $\zeta (5)$ $\zeta (7)$ $\zeta (9)$ $\zeta (11)$

Note

↑ Simon Plouffe, Zeta(3) sau Apery constant to 2000 places , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat la 5 februarie 2008 la Wayback Machine
↑ Secvența OEIS A002117 _
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Asterisque T. 61: 11–13
↑ A. van der Poorten (1979), O dovadă că Euler a ratat... Dovada lui Apéry a iraționalității lui ζ(3). Un raport informal , The Mathematical Intelligencer vol . 1: 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Extras 8 februarie 2011. Arhivat 6 iulie 2011 la Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 octombrie 1735) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae vol. 8: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/ docs /originals/E047.pdf > . Extras 9 februarie 2011. Arhivat 23 iunie 2011 la Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (traducere de Jordan Bell, 2008), Găsirea sumei oricărei serii dintr-un termen general dat , arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1. pdf > . Preluat la 9 februarie 2011. Arhivat 28 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae T. 17: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > . Extras 8 februarie 2011. Arhivat 17 septembrie 2006 la Wayback Machine
^ HM Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions , Taiwanese Journal of Mathematics vol. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu. edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Extras 8 februarie 2011. Arhivat 19 iulie 2011 la Wayback Machine
↑ Bruce C. Berndt (1989), Caietele lui Ramanujan, partea a II -a , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0 -387-96794-3 > . Extras 8 februarie 2011. Arhivat 17 august 2010 la Wayback Machine
↑ Simon Plouffe (1998), Identities inspirated from Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat la 30 ianuarie 2009 la Wayback Machine
↑ DJ Broadhurst (1998), Scări polilogaritmice, serie hipergeometrică și a zece milioane de cifre ale lui ζ(3) și ζ(5) , arXiv (math.CA/9803067) , < http://arxiv.org/abs/math. CA/9803067 > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat 13 iulie 2019 la Wayback Machine
↑ G. M. Fikhtengolts. Un curs de calcul diferențial și integral (ed. a VII-a), p. 769. Știință, Moscova, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxieme reponse. Remarques relatives aux reponses du MM. Franel și Kluyver . L'Intermédiaire des mathematiciens, tomul II, pp. 346-347, 1895.
↑ F. Beukers O notă despre iraționalitatea lui ζ(2) și ζ(3) . Taur. London Math. soc. 11, pp. 268-272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine Redescoperirea integralelor lui Malmsten, evaluarea lor prin metode de integrare a conturului și câteva rezultate aferente. Jurnalul Ramanujan, vol. 35, nr. 1, pp. 21-110, 2014. Arhivat 12 decembrie 2017 la Wayback Machine PDF Arhivat 7 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Steven R. Finch Constante matematice 1.6.6 . Preluat la 10 august 2020. Arhivat din original la 28 noiembrie 2020. (nedefinit)
↑ van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irationity of ζ (3) , The Mathematical Intelligencer vol . 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat la 15 ianuarie 2011 la Wayback Machine
↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1.000.000 places , Project Gutenberg
↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat la 13 noiembrie 2008 la Wayback Machine
↑ 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Preluat la 8 februarie 2011. Arhivat la 9 decembrie 2009 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) - Apery's Constant , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Extras 24 noiembrie 2018. Arhivat 18 noiembrie 2018 la Wayback Machine
↑ Constanta lui Apery | Colecționar Polymath . Preluat la 27 februarie 2021. Arhivat din original la 17 octombrie 2020. (nedefinit)
↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. sci. Paris Ser. eu Matematică. T. 331: 267–270
↑ V. V. Zudilin. Unul dintre numerele ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) este irațional // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , nr. 4(340) . — S. 149–150 .

Link -uri

Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. I.2.4. Aproximații diofantine și iraționalitatea lui ζ(3) // Introducere în teoria numerelor . - VINITI, 1990. - T. 49. - S. 83-89. — 341 p. - (Rezultatele științei și tehnologiei. Seria „Probleme moderne de matematică. Direcții fundamentale”.).
V. Ramaswami (1934), Notes on Riemann's ζ-function , J. London Math. soc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, constanta lui Eric W. Apéry (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric