Thor Clifford

Torul Clifford este cea mai simplă și mai simetrică încorporare în spațiul euclidian a produsului direct a două cercuri și . Este situat în R 4 și nu în R 3 . Pentru a vedea de ce este necesar R4 , rețineți că dacă și se află în propriile lor spații de încorporare independente și , spațiul produs rezultat va fi R4 și nu R3 . Considerarea populară din punct de vedere istoric a produsului direct a două cercuri ca un tor în R 3 , în schimb, necesită o asimetrie destul de mare a operatorului de rotație pentru al doilea cerc, deoarece cercul are o singură axă z independentă , în timp ce primul cerc are două axe - x și y . $S_{a}^{1}$ $S_{b}^{1}$ $S_{a}^{1}$ $S_{b}^{1}$ $\mathbf {R} _{a}^{2}$ $\mathbf {R} _{b}^{2}$

Cu alte cuvinte, torul din R3 este o proiecție asimetrică cu dimensiunea descrescătoare a torusului Clifford de simetrie maximă în R4 . Relația este ca și cum ai proiecta marginile unui cub pe o bucată de hârtie. O astfel de proiecție creează o imagine de dimensiuni inferioare care arată clar legătura dintre marginile cubului, dar necesită și eliminarea uneia alese arbitrar dintre cele trei axe de simetrie ale cubului.

Dacă fiecare dintre cercuri și are rază , produsul lor Clifford torus se potrivește bine pe sfera de 3 sfere S 3 , care este o subvarietă tridimensională a lui R 4 . Torul Clifford poate fi considerat ca fiind situat în spațiul de coordonate complex C 2 , deoarece spațiul C 2 este echivalent topologic cu R 4 . $S_{a}^{1}$ $S_{b}^{1}$ ${\sqrt {1/2)}$

Torul Clifford este un exemplu de tor pătrat , deoarece este izometric față de un pătrat cu laturile opuse identificate. Este cunoscut sub numele de 2-tor euclidian (aici „2” este dimensiunea topologică). Formele desenate pe el respectă geometria euclidiană ca și cum ar fi plană, în timp ce suprafața în formă de gogoși a unui tor are o curbură pozitivă pe marginea exterioară și o curbură negativă pe cea interioară. Deși torul pătrat are o geometrie diferită față de încorporarea standard în spațiul euclidian, conform teoremei de încorporare Nash , acesta poate fi încorporat în spațiul tridimensional. O astfel de încorporare modifică torul standard cu un set fractal de unde care se deplasează în două direcții perpendiculare de-a lungul suprafeței [1] .

Definiție formală

Cercul unitar S 1 în R 2 poate fi parametrizat prin valoarea unghiului:

S^{1}=\{(\cos {\theta},\sin {\theta})\,|\,0\leqslant \theta <2\pi \}.

Într-o altă copie a lui R 2 va exista o altă copie a cercului unității

S^{1}=\{(\cos {\phi},\sin {\phi})\,|\,0\leqslant \phi <2\pi \}.

Atunci torul Clifford este dat de ecuație

({\sqrt {1/2}})S^{1}\times ({\sqrt {1/2}})S^{1}=\{{\sqrt {1/2}}( \cos {\theta },\sin {\theta },\cos {\phi },\sin {\phi })\,|\,0\leqslant \theta <2\pi ,0\leqslant \phi <2 \pi\}.

Deoarece fiecare copie a lui S 1 este o subvarietă încorporată a lui R 2 , torul Clifford este un torus încorporat în . $\mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} ^{2}=\mathbf {R} ^{4)$

Dacă coordonatele sunt utilizate în R 4 , atunci torul Clifford este dat de ecuație $(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})$

x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1/2=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.\,

Aceasta arată că în R 4 torul Clifford este o subvarietă a unității 3-sfere S 3 .

Este ușor de verificat dacă torul Clifford este suprafața minimă în S 3 .

Derivare alternativă folosind numere complexe

Torusul Clifford este, de asemenea, considerat de obicei o încorporare a torusului în C 2 . În două copii ale lui C , avem următoarele cercuri unitare (de asemenea parametrizate după unghi):

S^{1}=\{e^{i\theta }\,|\,0\leqslant \theta <2\pi \}

și

S^{1}=\{e^{i\phi }\,|\,0\leqslant \phi <2\pi \}.

Acum torul Clifford este dat de ecuație

({\sqrt {1/2}})S^{1}\times ({\sqrt {1/2}})S^{1}=\{{\sqrt {1/2}}( e^{i\theta },e^{i\phi })\,|\,0\leqslant \theta <2\pi ,0\leqslant \phi <2\pi \}.

Ca și înainte, aceasta este o subvarietă încorporată a sferei unității S3 în C2 .

Dacă C 2 , folosim coordonatele ( z 1 , z 2 ), atunci torul Clifford este dat de ecuația

\left|z_{1}\right|^{2}=1/2=\left|z_{2}\right|^{2}.

În torul Clifford definit mai sus, distanța de la orice punct al torusului Clifford până la originea C2 este

{\sqrt {\left|e^{i\theta }\right|^{2}+\left|e^{i\phi }\right|^{2))}=1.

Mulțimea tuturor punctelor aflate la distanța 1 de originea C 2 este o 3-sfere, deci torul Clifford este situat în interiorul acestei 3-sfere. De fapt, torul Clifford împarte aceste 3 sfere în două tori complete congruente . (A se vedea „ Diviziunea Heegaard ” [2] .)

Deoarece O (4) acţionează asupra R 4 ca transformări ortogonale , putem muta torul Clifford „standard” definit mai sus la un alt torus echivalent utilizând rotaţii ale corpului rigid. Toate se numesc „Clifford tori”. Grupul de șase dimensiuni O (4) acționează tranzitiv asupra spațiului tuturor acestor tori Clifford din interiorul 3-sferei. Totuși, această acțiune are un stabilizator bidimensional (vezi „ Acțiunea de grup ”), deoarece rotația în direcțiile meridianului și longitudinei torusului păstrează torusul (spre deosebire de trecerea la un alt torus). Astfel, există un spațiu cu patru dimensiuni al lui Clifford tori [2] . De fapt, există o corespondență unu-la-unu între Clifford tori pe unitatea 3-sferă și perechile de cercuri mari polare. Având în vedere un tor Clifford, cercurile mari polare asociate sunt cercurile primare ale fiecăreia dintre cele două regiuni complementare. În schimb, având în vedere orice pereche de cercuri mari polare, torul Clifford asociat este locul punctelor de pe cele 3 sfere care sunt la aceeași distanță de cele două cercuri.

O definiție mai generală a lui Clifford tori

Torii plati ai unității 3-sfere S 3 care este produsul cercurilor cu raza =r într-unul cu 2 planuri R2 și raza în celălalt plan cu 2 planuri R2 sunt uneori numite și „tori Clifford”. $={\sqrt {1-r^{2)})$

Aceleași cercuri pot fi considerate ca având raze egale cu și pentru un anumit unghi θ în interior (unde includem cazurile degenerate și ). $cos(\theta )$ $sin(\theta )$ $\theta$ $0\leqslant \theta \leqslant \pi /2$ $\theta=0$ $\theta =\pi /2$

Pentru a combina toate astfel de tori ai formei $0\leqslant \theta \leqslant \pi /2$

$T_{\theta}=S(\cos \theta)\times S(\sin \theta)$

(unde S(r) înseamnă un cerc pe planul R 2 având centru =(0,0) și rază =r) este o sferă cu 3 sfere S 3 . (Rețineți că trebuie să includem două cazuri degenerate și , fiecare dintre ele corespunde unui cerc mare S 3 și care împreună formează o pereche de cercuri mari.) $\theta=0$ $\theta =\pi /2$

Acest tor are o zonă $T_{\theta }$

$4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,$

deci doar torul are suprafata maxima posibila . Acest tor este cel mai frecvent numit "torul Clifford" și este singurul tor care are o suprafață minimă în S 3 . $T_{\pi /4}$ $2pi^{2}$ $T_{\pi /4}$ $T_{\theta }$ $T_{\theta }$

O definiție și mai generală a lui Clifford tori în spații de dimensiuni superioare

Orice sferă unitară dintr-un spațiu euclidian uniform R 2n = ℂ n poate fi exprimată în termeni de coordonate complexe după cum urmează: $S^{2n-1}$

$S^{2n-1}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+ \ldots +|z_{n}|^{2}=1\}.$

Apoi, pentru orice numere nenegative, astfel încât , definim un tor Clifford generalizat după cum urmează: $r_{1},\dots,r_{n)$ $r_{1}^{2}+\dots +r_{n}^{2}=1$

$T_{r_{1},\ldots,r_{n}}=\{(z_{1},\ldots,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:|z_{ k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\}.$

Toate aceste Clifford tori generalizate nu se intersectează. Putem concluziona din nou că unirea acestor tori este unitatea (2n-1)-sfera S 2n-1 (unde trebuie să includem din nou cazurile degenerate în care cel puțin una dintre razele r k =0). $T_{r_{1},\dots,r_{n))$

Proprietăți

Torul lui Clifford este „plat”. Poate fi nivelat într-un plan fără a se întinde, spre deosebire de un torus standard de revoluție.
Torul Clifford împarte cele 3 sfere în doi tori solidi congruenți . (În proiecția stereografică , torul Clifford arată ca un tor standard al revoluției. Faptul că împarte 3 sfere în mod egal înseamnă că interiorul proiecției torului este echivalent cu exteriorul său, ceea ce nu este ușor de înțeles vizual) .

Utilizare în matematică

În geometria simplectică , torul Clifford oferă un exemplu de încorporare a unei varietăți simplectice C 2 cu o structură simplectică standard. (Desigur, orice produs al cercurilor imbricate în C dă un tor lagrangian în C 2 , deci nu sunt neapărat tori Clifford.)

Conjectura lui Lawson afirmă că orice tor cu încorporare minimă într-o 3-sferă cu metrică rotundă trebuie să fie un tor Clifford. Această presupunere a fost demonstrată de Simon Bredl în 2012.

Clifford tori și imaginile lor sub mapări conforme sunt minime globale ale funcționalei Wilmore.

Vezi și

Duocylinder
Pachetul Hopf

Note

↑ Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert, 2012 , p. 7218–7223.
↑ 12 Norbs , 2005 , p. 244–246.

Literatură

Borrelli V., Jabrane S., Lazarus F., Thibert B. Flat tori in three-dimensional space and convex integration // Proceedings of the National Academy of Sciences. - Proceedings of the National Academy of Sciences, 2012. - Aprilie ( vol. 109 , numărul 19 ). - doi : 10.1073/pnas.1118478109 . — PMID 22523238 .
Norbs P. A 12-a problemă // The Australian Mathematical Society Gazette. - 2005. - Septembrie ( vol. 32 , numărul 4 ).