Thor (suprafață)
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 august 2022; verificarea necesită 1 editare .Un tor (toroid) este o suprafață de revoluție obținută prin rotirea cercului generator în jurul unei axe care se află în planul acestui cerc și nu îl intersectează [1] .
Mai general, un tor este un spațiu topologic sau o varietate netedă echivalentă cu o astfel de suprafață.
Uneori nu necesită ca axa de rotație să nu intersecteze cercul generator. În acest caz, dacă axa de rotație intersectează cercul generator (sau îl atinge), atunci torul se numește închis , altfel deschis [2] .
Conceptul de tor este definit și în cazul multidimensional. Un tor este un exemplu de grup algebric comutativ și un exemplu de grup Lie .
Istorie
Suprafața toroidală a fost luată în considerare pentru prima dată de către matematicianul grec antic Archytas când a rezolvat problema dublării unui cub . Un alt matematician grec antic, Perseus , a scris o carte despre liniile spiralate - secțiuni ale unui tor după un plan paralel cu axa acestuia.
Axa torusului
Axa de rotație poate intersecta cercul, îl poate atinge și poate fi situată în afara cercului. În primele două cazuri, torul se numește închis, în ultimul - deschis, sau un inel [2] .
- Modificarea distanței față de axa de rotație
Un cerc format din centrele cercurilor generatoare se numește cerc ghid.
Proprietăți topologice
Torul este o suprafață din genul 1 (o sferă cu un mâner). Torul este un spațiu topologic compact .
Torul are caracteristica Euler-Poincare χ=0.
Ecuații
Parametric
Ecuația torului cu distanța de la centrul generatricei la axa de rotație R și cu raza generatricei r poate fi dată parametric astfel:
Algebric
Ecuația neparametrică în aceleași coordonate și cu aceleași raze are gradul al patrulea:
O astfel de suprafață are al patrulea ordin.
Există și alte suprafețe care sunt difeomorfe cu un tor și au o ordine diferită.
, unde x, y sunt numere complexe. Curbă eliptică complexă , suprafață cubică. O încorporare a unui tor într-un spațiu cu 4 dimensiuni. Aceasta este o suprafață de ordinul 2. Curbura acestei suprafețe este 0.
Curbura suprafeței
Un tor în spațiul tridimensional are puncte de curbură pozitivă și negativă . În conformitate cu teorema Gauss-Bonnet, integrala de curbură pe întreaga suprafață a torului este egală cu zero.
Structura grupului
Proprietăți
- Aria suprafeței unui tor ca o consecință a primei teoreme a lui Gulden : .
- Volumul unui corp delimitat de un tor ( tor solid ), ca o consecință a celei de-a doua teoreme Papp-Gulden : .
- Un tor cu un disc decupat („pierced”) poate fi răsturnat în mod continuu ( topologic , adică printr-o serie de difeomorfisme ). În acest caz, două cercuri care se intersectează perpendicular pe el („paralel” și „meridian”) își vor schimba locul. [3]
- Doi astfel de tori „scurgeți” legați împreună pot fi deformați astfel încât unul dintre tori „înghite” pe celălalt. [patru]
- Numărul minim de culori necesare pentru a colora secțiunile unui tor astfel încât regiunile învecinate să fie de culori diferite este de 7. Vezi și Problema cu patru culori .
Secțiuni
- Când un tor este tăiat de un plan tangent , curba de ordinul al patrulea rezultată se dovedește a fi degenerată: intersecția este unirea a două cercuri numite cercuri Villarceau .
- În special, un tor deschis poate fi reprezentat ca o suprafață de revoluție a unui cerc legat de axa de revoluție
- Una dintre secțiunile unui tor deschis este lemniscata Bernoulli , alte linii curbe sunt linii grafice și se numesc curbe Perseus [5] (linii spirale, secțiuni ale torusului printr-un plan paralel cu axa acestuia)
- Unele intersecții ale suprafeței unui tor cu un plan arată ca o elipsă (curbă de ordinul 2). Curba astfel obținută este exprimată printr-o ecuație algebrică de ordinul 4 [6] .
Generalizări
Tor multidimensional
O generalizare a torusului bidimensional este torul multidimensional (de asemenea, n - torus sau hipertor ):
Suprafața revoluției
Un tor este un caz special al unei suprafețe de revoluție .
Vezi și
Note
- ↑ Enciclopedia Matematică, 1985, v.5, p. 405
- ↑ 1 2 Korolev Iuri Ivanovici. Geometrie descriptivă: manual pentru licee. a 2-a ed. . - Editura „Petru”, 2008. - S. 172. - 256 p. — ISBN 9785388003669 . Arhivat pe 17 februarie 2017 la Wayback Machine
- ↑ Pașii pentru inversarea unui tor au fost prezentați în „Topology” de Albert Tucker și Herbert Bailey în Scientific American , ianuarie 1950.
- ↑ Pentru detalii, vezi articolul lui M. Gardner în Scientific American , martie 1977. Alte paradoxuri legate de tori pot fi găsite în articolele lui M. Gardner, publicate în Scientific American în decembrie 1972 și decembrie 1979.
- ↑ Fundamente teoretice pentru rezolvarea problemelor de geometrie descriptivă: Tutorial
- ↑ Intersecția unei sfere și a unui tor de către un plan. Un exemplu de construire a unei „linii de tăiere” pe suprafața unui corp combinat de revoluție . Consultat la 4 noiembrie 2011. Arhivat din original pe 4 martie 2016.
Literatură
- Savelov A. A. Curbe plane: sistematică, proprietăți, aplicații. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 p. Reeditat 2002, ISBN 5-93972-125-7
| Suprafețe compacte și imersiile lor în spațiul tridimensional | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Clasa de homeoformitate a unei suprafețe triangulate compacte este determinată de orientabilitate, numărul de componente de limită și caracteristica Euler. | |||||||
| fara limita |
| ||||||
| cu bordura |
| ||||||
Concepte înrudite |
| ||||||