Numere poligonale centrate
Numerele poligonale centrate sunt o clasă de numere figurative plat- gonale ( ) obținute prin următoarea construcție geometrică. În primul rând, un anumit punct central este fixat pe plan. Apoi un -gon regulat este construit în jurul lui cu puncte de vârfuri, fiecare latură conținând două puncte (vezi figura). În plus, noi straturi -gonuri sunt construite în exterior, iar fiecare dintre laturile lor de pe noul strat conține un punct mai mult decât în stratul anterior, adică, începând cu al doilea strat, fiecare strat următor conține mai multe puncte decât cel anterior. Numărul total de puncte din fiecare strat și este luat ca număr poligonal centrat (punctul din centru este considerat stratul inițial) [1] .
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![k \geqslant 3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab03963b958a4370995ed27175f011a1b5ec6608)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Exemple de constructii de numere poligonale centrate:
triunghiular
|
Pătrat
|
Pentagonal
|
Hexagonal
|
|
|
|
|
Din construcție se poate observa că numerele poligonale centrate se obțin ca sume parțiale ale următoarelor serii: (de exemplu, numere pătrate centrate, pentru care formează o succesiune: ) Această serie poate fi scrisă ca , din care se poate vedea care între paranteze este o serie generatoare pentru numere triunghiulare clasice . Prin urmare, fiecare succesiune de numere centrate -gonale, începând de la al 2-lea element, poate fi reprezentată ca unde este o succesiune de numere triunghiulare. De exemplu, numerele pătrate centrate sunt numere triunghiulare cvadruple plus 1, seria generatoare pentru ele este: [2]![{\displaystyle 1+k+2k+3k+4k+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7248c43da3b5143eefaf6b1fb536c6756bb5f8d)
![{\displaystyle k=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f620ee43bf237508d63d92939bac6644dd56e6a6)
![{\displaystyle 1,5,13,25,41\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aade34f9590e3cb681f819c4a36995a603b470c)
![{\displaystyle 1+k(1+2+3+4+\dots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83acad8ec173b6a2ae5bd484d91251a050e723d4)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![{\displaystyle kT_{n}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8b970fc1d7fa3784c8dec67f416e02c9bb87b1)
![{\displaystyle T_{n}(n=1,2,3\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cef23038948d9e92b7bb45d4232b359ef589ecd)
Formula generală [2] pentru al -lea număr de cărbune centrat este:
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![{\displaystyle C_{n}^{(k))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8100d23ed20b0500b3c909c27d887c9d66ecf1)
|
(OCF)
|
Tabel pivot
Numărul de colțuri k |
tip de număr |
Începutul secvenței |
Link către OEIS
|
3 |
Numere triunghiulare centrate |
1, 4, 10, 19, 31, … |
A005448
|
patru |
Numere pătrate centrate |
1, 5, 13, 25, 41, … |
A001844
|
5 |
Numere pentagonale centrate |
1, 6, 16, 31, 51, … |
A005891
|
6 |
Numere hexagonale centrate |
1, 7, 19, 37, 61, … |
A003215
|
7 |
Numere heptagonale centrate |
1, 8, 22, 43, 71, … |
A069099
|
opt |
Numere octogonale centrate |
1, 9, 25, 49, 81, … |
A016754
|
9 |
Numere nouagonale centrate |
1, 10, 28, 55, 91, … |
A060544
|
zece |
Numere decagonale centrate |
1, 11, 31, 61, 101, … |
A062786
|
si asa mai departe.
Note
- ↑ Deza E., Deza M., 2016 , p. 39-40.
- ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , p. 40-41.
Literatură
Link -uri